加強的Wirtinger不等式及其幾何應(yīng)用

曾春娜，賓 芮，董 旭，馬 磊

(1 重慶師范大學 數(shù)學科學學院，重慶 401331；2 廣東茂名幼兒師范?？茖W校 理學院，廣東 茂名525000)

(1)

等號成立當且僅當存在常數(shù)a、b，使得u(θ)=acosθ+bsinθ。不等式(1)即為經(jīng)典的連續(xù)可微函數(shù)的Wirtinger不等式。關(guān)于不等式(1)最著名的應(yīng)用之一是平面上經(jīng)典的等周不等式[1-3]

L2≥4πA,

(2)

等號成立當且僅當C為圓周，其中L為歐氏平面R2中簡單閉曲線C的周長，A為C所圍成的面積。Wirtinger不等式離散方面的推廣及其幾何方面的應(yīng)用可參見文獻[4]，其他方面的詳細推廣參見文獻[5-6]。

(3)

另一方面，Benson獨立地證明了u(θ)以2π為周期且λ=2π的不等式(3)，其主要運用一種非常巧妙的構(gòu)造方法，并將其運用到幾何,得到了如下形式的Bonnesen型不等式[8]:

L2-4πA≥4πd2。

(4)

其中：L為R2上簡單光滑閉曲線C的周長；A為其所圍成的面積；P為C的中心；l1、l2為C的一對平行支撐線；l3平行于l1、l2且位于它們中間的位置；d為P到l3的距離。Wirtinger不等式在離散形式方面的加強及其幾何應(yīng)用參見文獻[9-12]。

設(shè)C為R2中簡單閉曲線，其等周虧格定義為Δ(C)=L2-4πA。等周虧格刻畫了C與圓周的接近程度，最早的等周虧格的下界估計是下列經(jīng)典的Bonnesen型不等式：

Δ(C)=L2-4πA≥π2(re-ri)2。

(5)

其中：L、A分別為R2上簡單閉曲線C的周長及其所圍成的面積；ri和re分別為簡單閉曲線C的最大內(nèi)接圓半徑和最小外接圓半徑。隨后，Bonnesen得到了一系列不等式

Δ(C)=L2-4πA≥B,

(6)

其中B為與C有關(guān)的幾何不變量，滿足如下性質(zhì)：1)B≥0；2)B=0當且僅當C為圓周。如今形如(6)式的不等式稱為Bonnesen型不等式，最近諸多Bonnesen型不等式被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)與證明[13-19]，且在常曲率平面(球面與雙曲平面)也得到了很多類似的Bonnesen型不等式[20-22]。

R2中常見的Bonnesen型不等式有下列形式：

這些Bonnesen型不等式幾何證明已經(jīng)相當豐富，但是其分析方面的證明沒有離散情形的結(jié)果豐富。關(guān)于中心對稱的簡單閉曲線的Bonnesen型不等式的純分析證明也相對較少?；诖?，本文擬對Wirtinger不等式的加強形式進一步推廣，作為這些推廣的直接應(yīng)用,我們得到了中心對稱閉凸區(qū)域的幾個Bonnesen型不等式的分析證明。

1 預(yù)備知識及主要引理

本節(jié)主要回顧凸幾何中關(guān)于支撐函數(shù)等方面的基礎(chǔ)知識以及引理。與凸幾何有關(guān)的知識主要來自經(jīng)典文獻[23-24]。

設(shè)凸集K為R2中簡單閉曲線C圍成的區(qū)域，其支持函數(shù)定義為：任意選取坐標系xOy，自原點O引射線OP，作垂直于OP且與K相交的任一直線G(p,θ)，集合{p}的上確界記為h，即

h=sup{p:G(p,θ)∩K≠?}，

其中G∩K≠?表示G與K的交非空。與h對應(yīng)的直線G(p,θ)為K的支持線，稱為K沿θ方向的支持線。由支持函數(shù)定義可知h(θ)是以2π為周期的函數(shù)。特別地，K為圓盤當且僅當其支持函數(shù)為

h(θ)=c+acosθ+bsinθ,

其中θ∈[0,2π]，且a、b、c為常數(shù)。當K為關(guān)于原點對稱的凸集時，h(θ)=h(θ+π)。此時，h(θ)為以π為周期的函數(shù)。

設(shè)K為R2上簡單閉曲線C所圍成的閉凸區(qū)域，則其邊界周長L與面積A可表示為

(7)

(8)

設(shè)ri、re分別為閉凸區(qū)域K的最大內(nèi)接圓半徑和最小外接圓半徑,K為原點對稱凸集，則

ri=min{h(θ):0≤θ≤2π},

re=max{h(θ):0≤θ≤2π}。

(9)

引理1設(shè)g(x)、g′(x)∈L2[a,b],其中b>a>0,g(a)=g(b)=0，則

(10)

引理2設(shè)h(x)是以T>0為周期的連續(xù)函數(shù)，則?a有

(11)

證明設(shè)x=t+T,dx=dt，則

因而，

2 主要結(jié)果

本節(jié)結(jié)果最初的想法主要來源于不等式(3)及由Benson給出的特殊形式(u(θ)為以2π為周期的函數(shù))。無論是不等式(3)還是由Benson給出的特殊形式，它們的證明都極具技巧性。這里，我們運用函數(shù)的周期性，獲得了當u(θ)為以π為周期的函數(shù)時不等式(3)的一類特殊形式，這些不等式包含了文獻[8]的結(jié)果。最后,作為應(yīng)用,我們得到了一些特殊凸體的Bonnesen型不等式的分析證明。

θ0∈[0,π]。

(12)

證明令g(θ)=u(θ)-u(θ0)，因為u(θ)是以π為周期的函數(shù)，則

g(θ0+π)=u(θ0+π)-u(θ0)=

u(θ0)-u(θ0)=g(θ0)=0。

由引理1可知

即

由u(θ)是以π為周期的函數(shù)，結(jié)合引理2可知

(13)

證明因為M=max{u(θ):0≤θ≤π}，則?θM∈[0,π]，使得u(θM)=M。在定理1中,取θ0=θM，可得(13)式成立。

(14)

證明因為m=min{u(θ):0≤θ≤π},則?θm∈[0,π],使得u(θm)=m。在定理1中,取θ0=θm,可知(14)式成立。

(15)

證明因為m=min{u(θ):0≤θ≤π}，M=max{u(θ):0≤θ≤π},則

注1推論3中，當u(θ)是以2π為周期的連續(xù)可微函數(shù)時，不等式(15)由Benson[8]利用一種特殊的技巧得到。

(16)

(17)

證明將推論1中的(13)式與推論2中的(14)式左右兩邊對應(yīng)相加再除以2，得

因為

可知(16)、(17)式均成立。

注2(17)式包含了推論3中的(15)式，這里相當于從另一個角度給出了推論3的一個新證明。

定理2設(shè)K為R2中具有光滑邊界(K的支撐函數(shù)二階連續(xù)可微)且關(guān)于原點對稱的閉凸區(qū)域，其面積和周長分別記為A、L，最大內(nèi)接圓半徑與最小外接圓半徑分別記為ri、re，則

(18)

(19)

(20)

(21)

L2-4πA≥π2(re-ri)2。

(22)

又

由于K關(guān)于原點對稱，由(9)式可知

將以上等式分別帶入推論1～4中的(13)～(17)式，得

因此，(18)～(22)式成立。