Heisenberg型群上的一類帶有余項(xiàng)的含權(quán)Hardy不等式

王勝軍

(青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 青海 西寧 810008)

(1)

特別地，a=b=0，上式中的常數(shù)是最佳的。

1 預(yù)備知識(shí)

文獻(xiàn)[6]提出Heisenberg型群，它是Heisenberg群的推廣，是一類與亞橢圓問題相聯(lián)系的Carnot群。作為滿足H?rmander條件的一般向量場(chǎng)的重要模型，Heisenberg型群被更多學(xué)者廣泛研究，并得到許多重要結(jié)果[7-10]。

設(shè)G是具有李代數(shù)G=V1⊕V2的一個(gè)2步Carnot群，且G被賦予內(nèi)積<·,·>，定義映射J:V2→End(V1):

若?ξ2∈V2,|ξ2|=1,映射J(ξ2):V1→V1是正交的，則稱G是一個(gè)Heisenberg型群，簡(jiǎn)稱H型群。

設(shè)X={X1,X2,…,Xm},Y={Y1,Y2,…,Yn}分別是V1,V2的基底，x=(x1,x2,…,xm)∈Rm,y=(y1,y2,…,yn)∈Rn分別是ξ1、ξ2在基底X={X1,X2,…,Xm},Y={Y1,Y2,…,Yn}下的坐標(biāo)。通過文獻(xiàn)[8]，有

△pu=divG(|Gu|p-2Gu),

(2)

其中p>1。

設(shè)ζ=(x,y)∈G,在Heisenberg型群G上得到一個(gè)擬距離為

(3)

相應(yīng)于(3)式的非迷向伸縮為

δτ(x,y)=(τx,τ2y),τ>0,(x,y)∈G。

(4)

與伸縮(4)相應(yīng),G的齊次維數(shù)是Q=m+2n。

通過(2)、(3)式直接計(jì)算知道

(5)

由文獻(xiàn)[11]中的極坐標(biāo)變換可以得到下列Heisenberg型群的極坐標(biāo)變換(x1,x2,…,xm,y1,y2，…,yn)→(ρ,θ,θ1,…,θm-1,γ1,γ2,…,γn-1)。若u(x,y)=ψpv(d),Ω=BR2BR1,0≤R1

(6)

另外，定義中心在0∈G，半徑為R的擬開球?yàn)锽R(x,y)={(x,y)∈G|d(x,y)

2 兩個(gè)重要引理

(7)

對(duì)于一個(gè)任意小的ε>0，定義下列函數(shù):

Vε(x,y)=φ(x,y)ωε,

γ=pθ-2;

(8)

引理1對(duì)于ε>0，下式成立：

i)cε-1-γ≤Jγ(ε)≤Cε-1-γ,γ>-1;

ii)Jγ(ε)=pε/(γ+1)Jγ+1(ε)+Oε(1),

γ>-1;

iii)Jγ(ε)=Oε(1),γ<-1。

(9)

易知,

(10)

(11)

同樣，在(11)式中，利用(10)式證得i)左邊不等式成立。

易知

(12)

從而，利用(12)式，得到

(γ+1)Jγ(ε)。

(13)

又由于

pεJγ+1(ε)。

(14)

通過(6)、(7)式知

(γ+1)Jγ(ε)=pεJγ+1(ε)+Oε(1)。

這樣,ii)得證。

利用極坐標(biāo)變換(6)，有

(15)

當(dāng)γ<-1時(shí)，通過(10)式可知(15)式是有限的，從而在(15)式兩邊取ε→0，證得iii)成立。

引理2?ε→0，下式成立：

|A|pJpθ(ε)+Oε(ε1-pθ)。

證明已知GVε(x,y)=φ(x,y)Gωε+ωεGφ,有

ΠA+ΠA1+ΠA2。

(16)

利用引理1的ii)知,ΠA1、ΠA2=Oε(1),ε→0。

結(jié)合(16)式有

|A|pJpθ(ε)≤ΠA-|A|pJpθ(ε)+Oε(1)=

ΠB+Oε(1)，

(17)

其中

這樣

ΠB≤ΠB1+ΠB2+ΠB3，

(18)

其中

以下證明

ΠB1,ΠB3=Oε(1),ε→0。

(19)

在引理1的ii)中，取γ=-1+pθ，得到

ΠB1=-pA|A|p-2(εJpθ(ε)-θJpθ-1(ε))=

-pA|A|p-2(εJpθ(ε)-

εJpθ(ε)+Oε(1))=Oε(1)。

而

ΠB3≤cε3Jpθ(ε)+cJpθ-3(ε),ε>0。

由1-1后，再次取γ=pθ-2>-1，有

(20)

結(jié)合(17)～(20)式，得到引理2的i)。結(jié)合(17)、(20)式及引理2的i)，有

|A|p-2Jpθ-2(ε)+Oε(1)≤

|A|pJpθ(ε)+Oε(ε1-pθ)。

因此，引理2的ii)成立。

3 一類帶有余項(xiàng)的含權(quán)Hardy不等式

(21)

特別地，在(21)式中取a=b=0，有下列帶有余項(xiàng)的權(quán)Hardy不等式：

(22)式中的常數(shù)是最佳的。

證明為方便證明(21)式成立，首先令

Λ1=Λ1(η)=1+

從而當(dāng)R足夠大時(shí)，在Ω上有Λ0>0,Λ1>0。

(23)

(24)

(25)

利用(23)～(25)式，得

T1(s)-(p-1)AT2(s)T3(s)=

(26)

A|A|p-2d-α|Gd|β(pAΛ1+Λ2-

(27)

通過(26)、(27)式，得到

(28)

又由于

即

(29)

將(28)式代入(29)式，利用(5)式，得到(21)式。

以下證明(22)式中常數(shù)的最佳性。

1)通過引理2的ii)，得到

已知當(dāng)ε→0時(shí)，有Jpθ(ε)→∞，所以當(dāng)ε→0時(shí)，有

2)通過引理2的i)，得到

綜上，完成(22)式中常數(shù)的最佳性證明。