練得實·研得深·悟得透·理得清
——以“圖形的軸對稱”課后作業(yè)設(shè)計為例

錢衛(wèi)華

（浙江省安吉縣實驗初級中學(xué)）

“雙減”背景下如何有效推進作業(yè)改革，是當(dāng)前教育界一個備受關(guān)注的問題.課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)的主陣地，但作為課堂教學(xué)的延伸與補充，以及知識的鞏固和提升，作業(yè)是學(xué)生實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)、形成素養(yǎng)、培育品格的重要途徑.學(xué)生只有通過課后作業(yè)的解決，自發(fā)、獨立地深入學(xué)習(xí)，才能實現(xiàn)知識、能力、素養(yǎng)的發(fā)展和提升，所以作業(yè)是數(shù)學(xué)育人的重要一環(huán).作業(yè)設(shè)計的精準(zhǔn)程度關(guān)系到學(xué)生深度學(xué)習(xí)的效果，其設(shè)計以課程標(biāo)準(zhǔn)和教材為依據(jù)，以學(xué)生現(xiàn)實為基礎(chǔ)，以學(xué)生發(fā)展為主旨.作業(yè)的設(shè)計要立足教材，注重現(xiàn)實，促使學(xué)生“練得實”；前后關(guān)聯(lián)，注重提升，促使學(xué)生“研得深”；落實素養(yǎng)，注重生長，促使學(xué)生“悟得透”；整理反思，注重習(xí)慣，促使學(xué)生“理得清”.本文以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊（以下統(tǒng)稱“浙教版教材”）“2.1圖形的軸對稱”的課后作業(yè)設(shè)計為例對上述論點進行闡釋.

一、當(dāng)前課后作業(yè)設(shè)計中可能存在的問題

學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過重是當(dāng)前義務(wù)教育階段需要解決的重點問題，與之相關(guān)的課后作業(yè)設(shè)計也是教育改革所要破解的難題之一.隨著“雙減”工作的落實，作業(yè)改革也提上了日程.當(dāng)前課后作業(yè)設(shè)計可能存在以下兩個問題：（1）作業(yè)布置的數(shù)量過多、難度過大，以訓(xùn)練學(xué)生的技能為主，忽視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的知識關(guān)聯(lián)與建構(gòu)，忽視學(xué)生思維、素養(yǎng)的形成過程.機械的訓(xùn)練雖然能強化學(xué)生的技能，但也有可能固化學(xué)生的思維，扼殺學(xué)生的創(chuàng)造力，導(dǎo)致學(xué)生常常因為習(xí)題難度過大、解決問題時間過長，而失去學(xué)習(xí)的興趣和動力.（2）教師用于布置課后作業(yè)的教輔資料的更新以當(dāng)年中考試題的添加和調(diào)整為核心，這導(dǎo)致教師過度依賴教輔，缺少自主鉆研，并偏離教學(xué)方向.作業(yè)的講評會占據(jù)大量課堂時間，導(dǎo)致新授課的教學(xué)時間被隱性壓縮，由此導(dǎo)致學(xué)生陷入時間、精力和知識掌握的“兩難”.顯然，這不符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中關(guān)于促進學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的理念，也與“雙減”精神相悖.

二、案例的教學(xué)內(nèi)容分析

1.《標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于“圖形的軸對稱”內(nèi)容的要求

（1）通過具體實例理解軸對稱的概念，探索它的基本性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分.

（2）能畫出簡單平面圖形（點、線段、直線、三角形等）關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形.

（3）理解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì).

（4）認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形.

（5）運用圖形的軸對稱進行圖案設(shè)計.

2.浙教版教材關(guān)于“圖形的軸對稱”的教學(xué)目標(biāo)

（1）了解軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的概念.

（2）理解軸對稱圖形的性質(zhì)：對稱軸垂直平分連接兩個對稱點之間的線段；理解圖形成軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形全等.

（3）會判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，并找出它的對稱軸.

（4）能畫出簡單平面圖形關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形.

3.課堂教學(xué)分析

從課堂教學(xué)反饋來看，學(xué)生基本能理解、區(qū)分軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的概念，會找軸對稱圖形的對稱軸，會畫給定對稱軸的對稱圖形，初步會用軸對稱解決簡單的實際問題.學(xué)生主要存在的問題是軸對稱圖形的開放性設(shè)計，以及軸對稱性質(zhì)的靈活應(yīng)用等.由此，可以看出學(xué)生在課堂上形成的思維尚淺，需要通過課后有效作業(yè)進階形成高階思維.

三、課后作業(yè)設(shè)計案例及說明

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》要求和教學(xué)目標(biāo)設(shè)計，綜合學(xué)生學(xué)情，對浙教版教材“2.1圖形的軸對稱”內(nèi)容的課后作業(yè)設(shè)計如下.

A組——夯實基礎(chǔ)

1.以下是幾種垃圾分類的圖標(biāo)，其中哪個圖標(biāo)是軸對稱圖形（ ）.

2.如圖1，五角星是軸對稱圖形，它的對稱軸共有（ ）.

圖1

（A）1條 （B）3條

（C）5條 （D）無數(shù)條

3. 如圖2， △ABC 和 △A′B′C′關(guān)于直線l對稱，下列結(jié)論中正確的有（ ）.

圖2

（1） △ABC ≌△A′B′C′；（2）∠BAC= ∠B′A′C′；

（3）直線l垂直平分線段CC′；

（4）直線BC和直線B′C′的交點不一定在直線l上.

（A）1個 （B）2個

（C）3個 （D）4個

4.如圖3，一種滑翔傘的形狀是軸對稱四邊形ABCD，直線AC是其對稱軸，其中∠BAD=150°，∠B=40°，則∠BCD的度數(shù)是____________.

圖3

5.如圖4，正方形ABCD的邊長為6，則圖中陰影部分的面積為 ____________ .

圖4

6.把一張長方形的紙按如圖5所示的方式折疊后，C，D兩點對應(yīng)落在點C′，D′處，若∠OGC′=125°，則∠AOD′的度數(shù)是____________ .

圖5

7. 圖6（a）、圖6（b）均為7 × 6的正方形網(wǎng)格，點A，B，C在格點上. 按要求分別在圖6（a）、圖6（b）中確定一點D，并畫出以A，B，C，D為頂點的四邊形，使其為軸對稱圖形，并畫出其對稱軸.

圖6

【設(shè)計說明】《標(biāo)準(zhǔn)》指出，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為指導(dǎo)，落實立德樹人根本任務(wù)，致力于實現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng).基于此，通過A組習(xí)題夯實基礎(chǔ)，作業(yè)設(shè)計以激發(fā)學(xué)生興趣、調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性為主，面向全體學(xué)生，旨在使學(xué)生通過練習(xí)能夯實基礎(chǔ)，體驗成功的樂趣，樹立學(xué)習(xí)信心.第1題選項中給出的是學(xué)生處理垃圾分類時經(jīng)?？吹降膱D案；第2題中的圖2是學(xué)生在小學(xué)階段就已熟知的圖形，習(xí)題素材源于生活，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生更容易理解概念；第3題是浙教版教材“2.1圖形的軸對稱”中例1的變式，讓學(xué)生逆向思考所作的對稱圖形應(yīng)該具有哪些性質(zhì)；第4題是讓學(xué)生鞏固軸對稱圖形的概念，將軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱放在一起，有利于學(xué)生通過對比，更好地理解兩個概念的區(qū)別與聯(lián)系；第5題和第6題涉及軸對稱的應(yīng)用，在前面研究的基礎(chǔ)上，利用學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使知識自然生成，使學(xué)生體驗成功的樂趣；第7題為開放性問題，旨在激發(fā)學(xué)生的求知欲，進一步加深對軸對稱的理解，有效鞏固、提升學(xué)生的知識薄弱點.本組作業(yè)的設(shè)計以生活情境為素材，注重教材例題、習(xí)題的變式，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實進行有效補充，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，使學(xué)生有興趣、有信心、練得扎實.

B組——提升能力

8.圖8中序號a，b，c，d對應(yīng)的四個三角形，都是如圖7所示的△ABC進行了一次變換之后得到的，其中為通過軸對稱變換得到的是（ ）.

圖7

圖8

（A）a （B）b （C）c （D）d

9.剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù).如圖9，將一張紙片按圖中①②的方式沿虛線依次對折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是（ ）.

圖9

10.如圖10，在3×3的正方形網(wǎng)格圖中，有格點三角形ABC和格點三角形DEF，且△ABC和△DEF關(guān)于某條直線成軸對稱，試在如圖10所示的6個網(wǎng)格中畫出6個這樣的△DEF.（每種方案均不相同.）

圖10

11.如圖11，將長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點A與點C重合，點D落在點G處，EF為折痕.

圖11

（1）求證：△FGC≌△EBC；

（2）若AB=8，AD=4，求四邊形ECGF（即陰影部分）的面積.

【設(shè)計說明】深度學(xué)習(xí)不僅要“深”下去，還要“遠”開來；不僅要實現(xiàn)當(dāng)前的教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生掌握知識、形成技能、發(fā)展能力、提升思想水平和精神境界，更要培養(yǎng)能夠進入未來社會歷史實踐的主體.通過B組習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生探究、揭示概念本質(zhì)，注重學(xué)生的能力提升，著眼于學(xué)生的思維發(fā)展，使學(xué)生的學(xué)習(xí)有深度、有寬度.第8題要求從幾種圖形變換中找出軸對稱的圖形，需要學(xué)生理解各種圖形變換的特征，通過比較，對概念理解得更為深刻；第9題讓學(xué)生通過動手操作感悟折疊的實質(zhì)就是軸對稱，兩次折疊就是兩次軸對稱，從而有效揭示軸對稱問題的本質(zhì)；第10題通過開放性設(shè)計，使學(xué)生進一步形成軸對稱的直觀想象，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；第11題從幾何直觀到理性推理，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)的實踐應(yīng)用.B組四道題目的設(shè)計有助于學(xué)生從不同角度理解軸對稱，相互補充，通過比較學(xué)習(xí)，逐步加深學(xué)生對軸對稱的理解，促使學(xué)生研究深刻，促進學(xué)生能力提升、思維生長.

C組——形成素養(yǎng)

12.（1）如圖12，直線l表示草原上的一條河，一少年從A地出發(fā)，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的家中，他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線.（河的寬度忽略不計.）

圖12

（2）如圖13，直線l表示草原上的一條河，一騎馬少年從A地出發(fā)，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的家中，他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線.（河的寬度忽略不計.）

圖13

（3）如圖14，直線a表示草地，直線l表示草原上的一條河，一騎馬少年從A地出發(fā)，先去草地a放牧，然后去河邊讓馬飲水，最后返回位于B地的家中，他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線.（河的寬度忽略不計.）

圖14

13.如圖15，四邊形ABCD中，∠C=58°，∠B=∠D=90°，AB=3 cm，AD=4 cm，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的動點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為_______.

圖15

【設(shè)計說明】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的發(fā)展目標(biāo)，但其形成并不是一朝一夕就能實現(xiàn)的，它是一個潛移默化的滲透、感悟的過程.本組作業(yè)設(shè)計的目的是讓學(xué)生充分體驗核心知識的發(fā)生、發(fā)展過程，感悟知識本質(zhì)，提升關(guān)鍵能力，促進高階思維生長，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過本節(jié)課軸對稱內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，使學(xué)生能應(yīng)用軸對稱解決簡單的問題，如第5題和第6題，但對復(fù)雜情境中有關(guān)軸對稱思想的應(yīng)用，學(xué)生缺乏直觀想象，不能看透問題的本質(zhì)，其實質(zhì)是沒有形成軸對稱模型意識.因此，設(shè)計第12題讓學(xué)生經(jīng)歷完整、系統(tǒng)的訓(xùn)練，通過對比形成認(rèn)知沖突，促使學(xué)生感悟概念本質(zhì)，建立軸對稱模型，從而實現(xiàn)對軸對稱內(nèi)容的深度學(xué)習(xí).同時，設(shè)計第13題跟進強化，讓學(xué)生感悟到解決問題的實質(zhì)就是應(yīng)用軸對稱模型轉(zhuǎn)化線段.使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)源于實踐、應(yīng)用于實踐，在感悟中逐步形成模型思想，并逐步深化模型意識，促進學(xué)生高階思維的生長和發(fā)展，形成幾何直觀素養(yǎng).

D組——整理反思

要求學(xué)生課后補全如圖16所示的整理反思框圖.（實線框內(nèi)容由教師給出，虛線框內(nèi)容由學(xué)生完成.）

圖16 整理反思框圖

【設(shè)計說明】《禮記·大學(xué)》曰：茍日新，日日新，又日新.意思就是要每天及時反省和不斷革新，最終達到“日新”的目的，從而不斷超越自我.作業(yè)設(shè)計不能局限于讓學(xué)生做題，而是要促使學(xué)生養(yǎng)成整理知識、反思提升的習(xí)慣，使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的必備品格.本組作業(yè)設(shè)計的整體框架是關(guān)于本節(jié)課涉及的知識點和數(shù)學(xué)思想的一個思維導(dǎo)圖，以此引導(dǎo)學(xué)生整理知識，厘清知識間的關(guān)聯(lián)，建構(gòu)知識框架，提升思維高度，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).相信學(xué)生一旦養(yǎng)成好習(xí)慣，即可受益終身.正如心理學(xué)家約翰·洛克所說，兒童不是用規(guī)則可以教得好的，規(guī)則總是會被他們忘掉的.但是習(xí)慣一旦培養(yǎng)成功之后，便用不著借助記憶，很容易地、自然地就能發(fā)生作用了.

四、核心素養(yǎng)導(dǎo)向下數(shù)學(xué)課后作業(yè)設(shè)計的四個切入點

作業(yè)是教學(xué)效果的反饋，是課堂教學(xué)的延伸，更是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的載體.作業(yè)的設(shè)計要以課程標(biāo)準(zhǔn)和教材為依據(jù)，以學(xué)生生活現(xiàn)實為基準(zhǔn)，以學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展為導(dǎo)向，使學(xué)生通過作業(yè)練習(xí)的過程，系統(tǒng)、完整地建構(gòu)知識，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中提升能力、生成思維、形成素養(yǎng)，培育品格.

1.立足教材，注重現(xiàn)實，促使學(xué)生“練得實”

作業(yè)的基本目的是讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，最終目的是培養(yǎng)能力、形成素養(yǎng)，所以課后作業(yè)設(shè)計并不是簡單的復(fù)制或“炒冷飯”，低效、低層次的機械訓(xùn)練只會浪費學(xué)生寶貴的學(xué)習(xí)時間，使學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣.作業(yè)的設(shè)計要立足課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，注重生活現(xiàn)實，從生活中提煉素材激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從教材研究中加強例題、習(xí)題的變式，從不同視角設(shè)計問題，鞏固、加深學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用，促使學(xué)生“練得實”.例如，A組的7道題從軸對稱圖形的判斷、對稱軸的確定、軸對稱的性質(zhì)及應(yīng)用、利用軸對稱作圖等多角度，讓學(xué)生經(jīng)歷全面、系統(tǒng)的訓(xùn)練，使學(xué)生再次經(jīng)歷知識的生長和發(fā)展過程，牢固地掌握概念，從而使作業(yè)設(shè)計有的放矢、精準(zhǔn)扎實.

2.前后關(guān)聯(lián)，注重提升，促使學(xué)生“研得深”

作業(yè)是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的載體，作業(yè)設(shè)計要秉承“學(xué)為中心”的核心理念，引導(dǎo)學(xué)生在鞏固、理解知識的基礎(chǔ)上，體驗知識的漸進性、關(guān)聯(lián)性和開放性，以此達到深度學(xué)習(xí)、形成素養(yǎng)的目的.因此，教師在設(shè)計作業(yè)時，要注重知識的發(fā)生、發(fā)展及前后關(guān)聯(lián)，使學(xué)生建構(gòu)知識框架，提升思維高度，促使學(xué)生“研得深”，促進學(xué)生高階思維的生長和發(fā)展.例如，B組習(xí)題中，通過設(shè)計逆向思維問題、開放性問題和實踐應(yīng)用問題，有效引導(dǎo)學(xué)生深入體驗應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，從而使學(xué)生在練習(xí)中深刻研究，能力得到提升.

3.落實素養(yǎng)，注重生長，促使學(xué)生“悟得透”

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，評價不僅要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果，還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，激勵學(xué)生學(xué)習(xí)，改進教師教學(xué).作業(yè)的設(shè)計同樣如此，不僅要關(guān)注學(xué)生的作業(yè)效果，更要關(guān)注如何使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在做作業(yè)的過程中感悟形成及提升.設(shè)計作業(yè)時可以把學(xué)生有困難的問題歸類、串聯(lián)，形成比較學(xué)習(xí)，通過這樣的比較，使學(xué)生感悟深刻，從而促進學(xué)生的思維生長，促使學(xué)生“悟得透”.例如，第12題第（1）（2）小題是簡單應(yīng)用一次軸對稱的問題，學(xué)生基本能解決，但對于第12題第（3）小題和第13題，則需要學(xué)生多次應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)，學(xué)生會舉棋不定、心有疑慮，這說明學(xué)生對概念的理解不夠深刻，缺乏軸對稱模型意識.因此，教師在設(shè)計這類問題時，可以把問題的原型演變、延伸、改編成一個題組或系列，使學(xué)生在練習(xí)中經(jīng)歷系統(tǒng)、有序的思考，悟通、悟透，由此促進高階思維的生成與發(fā)展，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.整理反思，注重習(xí)慣，促使學(xué)生“理得清”

巴金說，孩子的成功教育從好的習(xí)慣培養(yǎng)開始.作業(yè)設(shè)計要“將學(xué)生的發(fā)展作為教育事業(yè)的根本”，深度學(xué)習(xí)的背后，還要關(guān)注學(xué)生必備品格的培育.在作業(yè)設(shè)計中，要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會比較、學(xué)會歸納、學(xué)會探究、學(xué)會學(xué)習(xí)，更要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.在課后作業(yè)中以思維導(dǎo)向的形式設(shè)計整理反思環(huán)節(jié)，可以有效幫助學(xué)生梳理知識框架，促使學(xué)生“理得清”.例如，D組的整理反思給學(xué)生提供了一個示范，引導(dǎo)學(xué)生掌握整理的方法，使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)育人.

“雙減”背景下的課后作業(yè)設(shè)計，要秉承“學(xué)為中心”理念，關(guān)注學(xué)生深度學(xué)習(xí)的過程，注意作業(yè)的導(dǎo)向，讓學(xué)生有興趣、有信心完成教師精心設(shè)計的作業(yè)，親歷知識生長、構(gòu)建的過程，從而實現(xiàn)思維生長、素養(yǎng)提升、品格完善.