一道導(dǎo)數(shù)壓軸題的“異構(gòu)”妙解

湖北省荊門市龍泉中學(xué) (448000)

范明輝

一、試題呈現(xiàn)

(2022年第七屆湖北省高三調(diào)研模擬考試第22題)已知函數(shù)f(x)=xex-1，g(x)=a(lnx+x).

(1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求正實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：x2ex>(x+2)lnx+2sinx.

二、試題分析

本題屬于探索創(chuàng)新情境，以指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立求參數(shù)值的問(wèn)題以及證明不等式的問(wèn)題中的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識(shí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力以及分類討論的思想，考查理性思維和數(shù)學(xué)探索的學(xué)科素養(yǎng).

三、異構(gòu)妙解

思路分析：第(1)問(wèn)，將函數(shù)表達(dá)式代入可得xex-a(lnx+x)-1≥0恒成立，對(duì)代數(shù)式“xex”進(jìn)行朗博變形可得xex=elnx·ex=ex+lnx，結(jié)合導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中常用的切線不等式ex≥x+1，可構(gòu)造為[ex+lnx-(lnx+x)-1]+(1-a)(lnx+x)≥0，易知前部分ex+lnx-(lnx+x)-1≥0，而余量函數(shù)y=lnx+x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?-∞,+∞)，故系數(shù)1-a=0，即a=1.

注：所謂“朗博變形”是指利用指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，將形如aex(a>0)代數(shù)式中ex的系數(shù)a變形成elna，進(jìn)一步將aex變形成aex=elna·ex=ex+lna.這種變形技巧被稱為“朗博變形”，通常搭配母函數(shù)y=ex-x-1(即利用函數(shù)y=et及其在t=0處的切線y=t+1得到的切線不等式et≥t+1，將不等式移項(xiàng)得到母函數(shù)y=et-t-1)進(jìn)行異構(gòu)配湊，配湊的結(jié)果即aex=ex+lna=ex+lna-(x+lna)-1+x-lna+1，這里的代數(shù)式ex+lna-(x+lna)-1與et-t-1是同構(gòu)的，都是非負(fù)的，至于多出來(lái)的余量x-lna+1需結(jié)合具體的題目進(jìn)行配湊.

第(2)問(wèn)，將待證不等式移項(xiàng)變形得x2ex-xlnx-2lnx-2sinx>0，觀察到前兩項(xiàng)中含公因式x，提取之后同(1)進(jìn)行朗博變形得x[ex+lnx-(lnx+x)-1]+x2+x-2lnx-2sinx>0，對(duì)于后面出現(xiàn)的x2-2lnx項(xiàng)，可以聯(lián)系常用的切線不等式x-1≥lnx，將其變形為x2-1-lnx2≥0，此時(shí)還剩下x+1-2sinx，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知x-sinx≥0，1-sinx≥0，則待證不等式轉(zhuǎn)化為證明x[ex+lnx-(lnx+x)-1]+x2-1-lnx2+x-sinx+1-sinx>0.這種將原復(fù)雜函數(shù)通過(guò)恒等變形轉(zhuǎn)化為多個(gè)不同的簡(jiǎn)單函數(shù)的構(gòu)造方法就是異構(gòu).

當(dāng)a=1時(shí)，?x0>0，使得x0+lnx0=0，∴φ(x)在(0,x0)上為負(fù)，在(x0,+∞)上為正.∴h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.∴h(x)≥h(x0)=0，符合題意.

當(dāng)a>1時(shí)，?x1>x0，使得x1+lnx1=lna，∴φ(x)在(0,x1)上為負(fù)，在(x1,+∞)上為正.

∴h(x)在(0,x1)上單調(diào)遞減，在(x1,+∞)上單調(diào)遞增.∴h(x1)

當(dāng)a<1時(shí)，?x2

(2)即證x[ex+lnx-(lnx+x)-1]+x2-1-lnx2+x-sinx+1-sinx>0，記F(x)=ex-x-1(x∈R)，則F′(x)=ex-1，∴F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增.∴F(x)≥F(0)=0，即ex-x-1≥0，∴ex+lnx-(lnx+x)-1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x0+lnx0=0時(shí)取等號(hào).

四、小結(jié)反思

以上解法中，第(2)問(wèn)的異構(gòu)解法尤為美妙，主要依托于常用的不等式ex-x-1≥0，x-1-lnx≥0以及三角函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)待證不等式進(jìn)行恒等變形，化歸為證明熟悉的不等式，將未知向已知轉(zhuǎn)化.但是，異構(gòu)法難于構(gòu)造，難于轉(zhuǎn)化，這需要在平時(shí)多加訓(xùn)練，掌握常用的不等式.一旦熟練掌握異構(gòu)法，解決導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問(wèn)題及恒成立問(wèn)題將會(huì)顯得容易.