本手保底 妙手進(jìn)階
——對(duì)一道高考題的探究

福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué) (350319)

周 丹

今年全國(guó)新高考語(yǔ)文Ⅰ卷作文圍繞了圍棋的“三手”展開：本手指合乎棋理的正規(guī)下法、妙手指出人意料的精妙下法、俗手指貌似合理，而從全局看通常會(huì)受損的下法.對(duì)于初學(xué)者，要從本手開始，本手是基礎(chǔ)，只有把本手的功夫扎實(shí)了，棋力才會(huì)提高，才會(huì)有創(chuàng)造，才能下出妙手，如果不扎實(shí)基礎(chǔ)一味追求妙手，往往得不償失，下出俗手.解數(shù)學(xué)題，就如同下一盤棋，同樣需要扎實(shí)本手功夫，打好基礎(chǔ)知識(shí)，才能融匯貫通，提升能力，下出妙手.在考場(chǎng)上本手與妙手的區(qū)別往往體現(xiàn)在解題時(shí)間和解題技巧上，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高.本文以2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)試卷第11題為例進(jìn)行探究，領(lǐng)略從本手到妙手進(jìn)階.

一、試題呈現(xiàn)

試題已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)在拋物線C：x2=2py(p>0)上，過(guò)點(diǎn)B(0，-1)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則( ).

A.C的準(zhǔn)線為y=-1 B.直線AB與C相切

C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2

考查意圖：本題是一題多項(xiàng)選擇題，以拋物線為載體，以導(dǎo)數(shù)、向量、不等式為工具，考查了切線、不等式等知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性.

二、“本手”保底

以上解法較為常規(guī)，只要夯實(shí)基礎(chǔ)，就能想到基本的求解方法，只要認(rèn)真運(yùn)算，就能下出本手.從答案的解答過(guò)程可以看出，本題并不是很難，屬于中檔題，此類題目如果能給出更快速的解題方法，那將為后面的題目爭(zhēng)取更多的答題時(shí)間，這就需要掌握更妙的解法，下出妙手.接下來(lái)讓我們一同看看此題如何從本手進(jìn)階到妙手.

三、“妙手”進(jìn)階

對(duì)于選項(xiàng)A：C的準(zhǔn)線為y=-1.只需簡(jiǎn)單將點(diǎn)代入就可以求出p(解法1)，也就是單純掌握好本手就可以迅速判斷此選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.下面就BCD選項(xiàng)介紹妙手的進(jìn)階：

1.對(duì)于選項(xiàng)B：直線AB與C相切

解法2：由y′=2x得曲線C在點(diǎn)A(1，1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y=2x-1，由已知易得，直線AB的方程為y=2x-1，故直線AB與點(diǎn)A處的切線重合，所以B正確.

評(píng)析：若直線AB與C相切，則直線AB即為在點(diǎn)A(1，1)處的切線，而點(diǎn)A處的切線方程和直線AB的方程較易求出，即可進(jìn)行判斷.此種解法避免了聯(lián)立方程，當(dāng)聯(lián)立方程整理過(guò)程復(fù)雜時(shí)，可很好地體現(xiàn)它的優(yōu)越性.

解法3：由y′=2x得曲線C在點(diǎn)A(1，1)處的切線斜率為2，易得，直線AB的斜率也為2，點(diǎn)A處的切線與直線AB有公共點(diǎn)A，故直線AB與點(diǎn)A處的切線重合，所以B正確.

評(píng)析：在解法2的思考下，進(jìn)一步思考發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A處的切線和直線AB有公共點(diǎn)A，只要斜率相同，直線即重合，轉(zhuǎn)而判斷斜率是否相同，即可得出答案.此種解法更注重對(duì)數(shù)學(xué)思維的考查，注重劃歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，較前兩種解法運(yùn)算量更小，速度更快，可以算是本手向妙手的進(jìn)階.

2.對(duì)于選項(xiàng)C：|OP|·|OQ|>|OA|2

同解法1可得x1+x2=k，x1x2=1，y1+y2=k2-2，y1y2=1.

評(píng)析：由根號(hào)內(nèi)部a2+b2形式，可以聯(lián)想到用不等式a2+b2≥2ab來(lái)確定大小關(guān)系，相比解法1的代入、展開、化簡(jiǎn)，運(yùn)算量小了很多，使得解題速度有所提高.

評(píng)析：此種解法的要求較高，需要學(xué)生對(duì)不等式的知識(shí)有更深入的研究和掌握，此塊知識(shí)不作為必學(xué)的知識(shí)，更注重學(xué)生的思考，要靠學(xué)生自己提升，速度快，但是要求高.

3.對(duì)于選項(xiàng)D：|BP|·|BQ|>|BA|2

評(píng)析：直線上兩點(diǎn)間的距離公式，可利用勾股定理轉(zhuǎn)化得出，具有普遍性，在此題中如果能熟練掌握，將大大降低運(yùn)算量，不失為一種好方法.

評(píng)析：有關(guān)線段長(zhǎng)度的大小關(guān)系，當(dāng)在線段都位于同一條直線上時(shí)，常將線段投影到同一直線上進(jìn)行比較，這種轉(zhuǎn)化會(huì)使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.本題中，線段BP、BQ位于同一條直線上，但線段AB不在這條直線上，將其都投影在y軸上時(shí)不能直接進(jìn)行比較，通過(guò)觀察可知直線PQ與x軸所成角明顯大于直線AB與x軸所成角，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)及不等式性質(zhì)，再利用投影逆回去應(yīng)用即可輕松判斷.這種解法，需要學(xué)生有靈敏的數(shù)學(xué)思維和較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力和數(shù)學(xué)推理能力，方法巧妙，可為妙手.

本題是選擇題的倒數(shù)第二題，作為多項(xiàng)選擇題，A、B選項(xiàng)較易判斷，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，對(duì)于C、D選項(xiàng)，涉及函數(shù)、圖像、不等式相關(guān)知識(shí)，此類型問(wèn)題，是很多學(xué)生過(guò)不去的坎，往往讓學(xué)生望而卻步，尤其在不等式的化簡(jiǎn)過(guò)程中式子經(jīng)常較為復(fù)雜，化簡(jiǎn)容易出現(xiàn)問(wèn)題，這就使得學(xué)生一看到不等式問(wèn)題都沒(méi)有信心去化簡(jiǎn)去解決.因此要多探究新的方法，簡(jiǎn)便的方法，使得學(xué)生重拾信心，而這些富有創(chuàng)新性的解法都是在扎實(shí)基礎(chǔ)的前提下產(chǎn)生的，也就是扎實(shí)本手，但是要想出其不意，還要從思維上進(jìn)行培養(yǎng)，從思想上進(jìn)行引領(lǐng)，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，提升妙手，這樣才能達(dá)到培養(yǎng)能力的目的.

四、拓展應(yīng)用

A.-3 B.-2 C.0 D.1

對(duì)比兩種解法，解法1中規(guī)中矩，只需扎實(shí)掌握賦值法探究即可得出答案，相比較而言，解法2從三角函數(shù)和積化和差公式形式上的特征，找到滿足題意的函數(shù)，更注重思維上的提升，強(qiáng)調(diào)化歸轉(zhuǎn)化思想的引領(lǐng)，借助余弦的積化和差公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用簡(jiǎn)單的知識(shí)去解決復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)，真正提升了能力，培育了素養(yǎng)，堪稱精妙.

五、結(jié)語(yǔ)

新課程下的數(shù)學(xué)教學(xué)更要求學(xué)生有良好的思維品質(zhì)，教學(xué)中不只是要求學(xué)生注重基礎(chǔ)知識(shí)，還要建構(gòu)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通.新高考中，知識(shí)是基本的，試題是新穎的，注重考查理性思維，明確的思維方向、充分的思維依據(jù)，能對(duì)事物或問(wèn)題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，能夠幫助關(guān)鍵能力的提升和核心素養(yǎng)的培育.本題從思想上進(jìn)行引領(lǐng)，考查學(xué)生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力，注重培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).