對(duì)一道幾何最值問(wèn)題的探究*

安徽省合肥市第一中學(xué) (230601)

涂成浪 谷留明(指導(dǎo)教師)

一、初識(shí)題目

圖1

題目在矩形ABCD中,AD長(zhǎng)為3,AB長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)E在矩形ABCD的四邊上運(yùn)動(dòng),如圖1，求點(diǎn)E到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和的最大值？

初看這道題時(shí),以為只需簡(jiǎn)單地作一個(gè)對(duì)稱,再利用三邊關(guān)系求解,但發(fā)現(xiàn)此題求的是最大值,并非常見(jiàn)求最小值問(wèn)題.經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的分析,容易確定所求線段和最大時(shí),點(diǎn)E應(yīng)在線段CD上,下文中只分析這種情況,且點(diǎn)E不在線段CD兩端.根據(jù)直覺(jué),覺(jué)得當(dāng)點(diǎn)E應(yīng)該在與點(diǎn)D或點(diǎn)C重合時(shí),所求線段和取得最大值.

為了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厍蟪鲎钪?先利用函數(shù)來(lái)對(duì)線段和進(jìn)行表達(dá),然后求出它的最大值.

二、討論交流

圖2

經(jīng)討論之后便出現(xiàn)了兩種簡(jiǎn)單且巧妙的方法.我們從幾何角度來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題的.下面只分析點(diǎn)E在線段AB上(不含兩端)時(shí)的情況,證DA+DB>EA+EB.

方法一：如圖2：作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)F,連接BD,FE.延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)G.此時(shí),DA+DB=FD+DB=FG+GD+DB>FG+GB=FG+GE+BE>FE+BE=EA+EB.

運(yùn)用此法,可以證明隨著點(diǎn)E從線段AB中點(diǎn)向點(diǎn)D靠近時(shí),EA+EB逐漸變大.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D或點(diǎn)C重合時(shí),EA+EB取到最大值8.

圖3

方法二：如圖3,構(gòu)造一個(gè)以點(diǎn)A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為DA+DB=8的橢圓,在上半橢圓上取點(diǎn)D,C,使四邊形ABCD為矩形.結(jié)合圖形得線段CD上兩點(diǎn)之間的點(diǎn)都在橢圓內(nèi),所以EA+EB<8=DA+DB.故當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D或點(diǎn)C重合時(shí),EA+EB取到最大值8.

以上兩種方法都是從幾何角度來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題的.方法一從三邊關(guān)系來(lái)證明不等式,方法二構(gòu)造橢圓,利用橢圓的第一定義來(lái)轉(zhuǎn)化邊,類似于根據(jù)點(diǎn)在園內(nèi),得到該點(diǎn)到圓心的距離大于半徑.

三、“自我斗爭(zhēng)”

雖然以上兩種幾何方法已得出結(jié)果,是否可將代數(shù)與幾何相結(jié)合來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？于是經(jīng)過(guò)一番思索,我得到了以下數(shù)形結(jié)合的方法.

圖4

目標(biāo)是證明DA+DB>EA+EB,即證FD+DB>FE+EB,即證FG>FE+EB.如圖4建系,設(shè)E(a,3)(0

相比于一般求最值的題目,本題難點(diǎn)在于求兩條線段的和,這個(gè)方法的基本思路在于用圓的半徑等長(zhǎng),將折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段,然后將要證的大小關(guān)系,轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系.