基于大概念背景下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐與思考
——以《平面與平面垂直的判定(一)》的教學(xué)片斷為例

江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) (211200)

李寬珍

1 問(wèn)題的提出

所謂大概念，并非數(shù)學(xué)學(xué)科中所體現(xiàn)的概念或法則，而是指在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，能夠有效呈現(xiàn)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容所規(guī)定的核心教學(xué)任務(wù)的概念.由于高中數(shù)學(xué)概念比較抽象，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知要求較高，并且數(shù)學(xué)概念又是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵因素，但在實(shí)際教學(xué)中，概念教學(xué)仍然得不到一線教師的重視.大多數(shù)教師認(rèn)為，概念教學(xué)不需要浪費(fèi)太多的時(shí)間和精力，其教學(xué)過(guò)程往往“重結(jié)論，輕過(guò)程”、“重記憶，輕理解”.基于大概念背景下的概念教學(xué)有助于揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)教學(xué)的宗旨，將概念發(fā)生、發(fā)展的動(dòng)態(tài)過(guò)程展示在學(xué)生面前，讓“冰冷的數(shù)學(xué)課堂”變得更加生動(dòng)、 更加火熱. 為此，筆者以《平面與平面垂直的判定(一)》的教學(xué)片斷來(lái)談?wù)劥蟾拍畋尘跋赂咧懈拍罱虒W(xué)，以期拋磚引玉.

2 教學(xué)片斷實(shí)錄

2.1 情境引入 明確方向

師：前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了面面平行的判定和性質(zhì)，我們一起來(lái)回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容(學(xué)生回顧面面平行的判定和性質(zhì)及研究方法).

師：生活中其實(shí)更多的是不平行，我們來(lái)看一下生活中的這樣幾張圖片，并思考這些圖片給你一個(gè)什么樣的印象？(展示生活中常見(jiàn)的圖片：打開(kāi)的書本、筆記本和打開(kāi)的門)

生：這些圖片給我們的印象是兩個(gè)平面相交.

師：很好.兩平面相交的關(guān)系中，其中比較特殊的是兩平面垂直，這個(gè)又是怎么刻畫的呢？能否類比平面角定義平面和平面所成角？

今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)兩個(gè)半平面所成的角和兩平面垂直的概念.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)思路，通過(guò)展示生活中的圖片，引出后面的探究活動(dòng)，讓學(xué)生感受到所學(xué)知識(shí)是渾然一體的，知識(shí)結(jié)構(gòu)更完整更清晰，空間位置關(guān)系的學(xué)習(xí)是連貫的、學(xué)習(xí)方法是相似的.

2.2 關(guān)注過(guò)程 構(gòu)建定義

(1)二面角的概念

師：這三個(gè)圖片，是由我們的幾何圖形怎么演變過(guò)來(lái)的？

利用門、書、電腦三個(gè)生活中的實(shí)例，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，并清晰展示出其變化過(guò)程.

師：我們把這樣的幾何圖形稱為二面角.你知道構(gòu)成二面角的要素是哪些嗎？

課件演示平面角和二面角的生成過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生類比平面角的構(gòu)成要素，學(xué)生思考并建構(gòu)二面角的要素及相關(guān)概念.

師：了解了二面角的概念，那如何作出二面角并寫出二面角的符號(hào)表示呢？

生：類比平面角的表示方法，給出二面角的符號(hào)表示.

圖形表示：平臥式、直立式，同時(shí)黑板上作出圖形.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)多媒體課件演示，類比平面角和二面角，降低了概念的抽象性，使得對(duì)二面角的認(rèn)識(shí)更直觀，將學(xué)生對(duì)二面角的直觀認(rèn)知推向理性認(rèn)知.要定義二面角容易，但是通過(guò)類比得到的概念不突兀，更自然、合理.

(2)二面角的平面角及作法探究

師：我們知道，張開(kāi)一定角度的筆記本構(gòu)成一個(gè)二面角，那么隨著二面角張口的不同，二面角的大小不同，那如何度量二面角呢？

師：我們可以回憶下，我們是如何刻畫直線與平面所成角的大小的？

生：我們用線面角來(lái)刻畫直線與平面所成的角，也可以用平面角來(lái)表示二面角的大小，師：如何作出這樣的平面角呢？下面我們來(lái)自己動(dòng)手畫一畫.

探究活動(dòng)：每個(gè)學(xué)生用事先準(zhǔn)備好的A4紙折出一個(gè)二面角，畫出一個(gè)平面角，變化二面角的大小，探討找出最合理的平面角來(lái)表示二面角的大小.

師：下面請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)你是如何作出這個(gè)角的？

生：過(guò)棱上任意一點(diǎn)作兩條與棱垂直的直線，這兩條射線所夾的角即為二面角的大小.

師：過(guò)棱上任意一點(diǎn)做一條直線，折成二面角后所成的角能做為二面角大小嗎？為什么？

生：過(guò)棱上任意一點(diǎn)做一條直線時(shí)，當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，二面角為0度，但是此時(shí)的角不是0度，產(chǎn)生矛盾.

師：那能不能在棱上取任意一點(diǎn)，使得重合時(shí)夾角為0度？

生：這樣雖然滿足了重合時(shí)的角度，但是當(dāng)兩個(gè)半平面展開(kāi)成平面角后，夾角不是180度，所以也不滿足題意.

師：很好！只有與棱垂直的兩條線的夾角才可以表示二面角的大小.(同時(shí)把二面角從重合狀態(tài)展開(kāi)到平面大小時(shí)，觀察所作的角的大小，與二面角大小吻合.)

師生一起完善二面角的平面角的概念、表示方法及范圍.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手操作，展示分享學(xué)生的不同結(jié)果，給學(xué)生示錯(cuò)的機(jī)會(huì)，對(duì)各種不同結(jié)果的辨析，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)二面角的平面角的作法由來(lái)是合情合理，自然形成的，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)定義、概念的形成都具有高度的科學(xué)性和合理性.

2.3 例題辨析 承上啟下

師：剛才了解了二面角的概念，那你能不能快速找出下面幾何體中的二面角.

例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角，并說(shuō)說(shuō)二面角的大小. (1)二面角D1-AB-D的大?。?2) 二面角C1-BD-C的大小.

(學(xué)生讀題、搶答，其他同學(xué)糾正，同時(shí)老師點(diǎn)撥講解，并再次回顧二面角及其平面角的概念.)

師：二面角的平面角必須要與棱垂直，當(dāng)平面角是直角時(shí)，稱此時(shí)兩個(gè)平面垂直.那如何證明面面垂直呢？

生：只有用面面垂直的定義，找出二面角的平面角，求出平面角是90度.

師：通過(guò)例1，你發(fā)現(xiàn)這樣證明面面垂直有什么困難？

生：找平面角的過(guò)程繁瑣，有時(shí)還不一定好找.

師：說(shuō)的很好！類似面面平行，這就有必要去尋找面面垂直的判定定理了.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例1的設(shè)置，一方面鞏固二面角的概念，另一方面讓學(xué)生體驗(yàn)定義法的操作性欠佳，啟發(fā)學(xué)生類比面面平行，探索思考更簡(jiǎn)潔的判定定理. 通過(guò)這樣承上啟下的鋪墊，這樣，學(xué)生的主觀能動(dòng)性被激發(fā)，能自主探究新內(nèi)容，而教師只需適時(shí)點(diǎn)撥，順其自然，自然過(guò)渡下一個(gè)內(nèi)容，教學(xué)過(guò)程更加自然、流暢.

2.4 挖掘本質(zhì) 獲得定理

(1)探究面面垂直的判定定理.

師：對(duì)于面面垂直，每次都找角、計(jì)算才能發(fā)現(xiàn)垂直，顯然太過(guò)復(fù)雜，我們需要更具操作性的判定定理. 我們來(lái)看下面這個(gè)實(shí)例.

探究活動(dòng)2：以教室里的門為例，在門開(kāi)合的過(guò)程中，你能找出哪些平面是垂直的？你能說(shuō)說(shuō)這是為什么嗎？

生：門在開(kāi)合的過(guò)程中始終與地面垂直，原因是門軸與地面垂直.

師：很好！這樣我們就得到了平面與平面垂直的判定定理.

你能給出證明嗎？

生：根據(jù)定義，要證面面垂直，就要作出二面角的平面角，證明平面角的直角.

經(jīng)過(guò)思考、討論，學(xué)生給出證明.

圖1

證明：如圖1，設(shè)α∩β=l，因?yàn)閙⊥α,l?α，所以m⊥l.設(shè)垂足為點(diǎn)O，點(diǎn)B為直線m異于點(diǎn)O的點(diǎn)，則OB⊥l.在平面α內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O作OA⊥l，則∠AOB即為二面角α-l-β的平面角.因?yàn)閙⊥α,OA?α,所以m⊥OA，即OB⊥OA.所以∠AOB=90°，即二面角α-l-β是直二面角.所以α⊥β

師：非常好！通過(guò)證明，我們又一次理解了二面角的平面角的作法，同時(shí)對(duì)于定理的學(xué)習(xí)，我們的學(xué)習(xí)思路仍然是通過(guò)實(shí)例、找到垂直的條件，然后證明結(jié)論，最終形成判定定理.以后的使用中，我們要注意判定定理的使用條件，在使用中強(qiáng)化對(duì)定理圖形、符號(hào)和結(jié)構(gòu)的理解.

設(shè)計(jì)意圖：在本課起始階段，以多種生活中的案例展示給學(xué)生，保證學(xué)生腦中有面面垂直的印象，通過(guò)充足的案例，引導(dǎo)學(xué)生可以透過(guò)現(xiàn)象挖掘本質(zhì)的東西，通過(guò)探究活動(dòng)，提升了學(xué)生的空間想象能力、抽象概括能力和邏輯推理能力，進(jìn)而培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.5 突破難點(diǎn) 深化問(wèn)題

學(xué)習(xí)判定定理后是熟練運(yùn)用，讓學(xué)生理解證明面面垂直定理的關(guān)鍵是找到線面垂直，并用嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給予證明.

圖2

例題如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：面A1C1CA⊥面B1D1DB.

學(xué)生思考、回答，規(guī)范板書，再次鞏固面面垂直的判定定理需要的條件.

設(shè)計(jì)意圖：例題解析，給出此類證明題的解題步驟，規(guī)范書寫，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生理解解決面面垂直問(wèn)題的基本方法：線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.

2.6 歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

學(xué)生從知識(shí)層面和數(shù)學(xué)思想方面兩方面復(fù)盤、總結(jié)，教師啟發(fā)、補(bǔ)充、完善.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完本節(jié)知識(shí)后，幫學(xué)生建立自己的思維導(dǎo)圖，將其納入其已有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生更好的掌握和理解.

3 教學(xué)思考

以大概念統(tǒng)領(lǐng)具體數(shù)學(xué)知識(shí)，建立具體知識(shí)與大概念的對(duì)接，有利于促進(jìn)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)向核心素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化.大概念背景下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)有助于學(xué)生站在更高思維層次理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù).

3.1 有助于建立數(shù)學(xué)概念體系

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)圍繞大概念進(jìn)行，這樣數(shù)學(xué)不同概念可以通過(guò)更具邏輯形式表現(xiàn)出來(lái).在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生可以主動(dòng)通過(guò)歸納、比較、類比等方法將不同的知識(shí)串聯(lián).

例如，在教學(xué)二面角概念時(shí)，筆者通過(guò)類比平面角的概念、形成及其要素，讓學(xué)生感受二維到三維，低階到高階的思維變化，將新知識(shí)的獲得建立在自己已有的知識(shí)體系內(nèi).這有助于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)中相應(yīng)概念和定義的理解和掌握，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維力.實(shí)際上，構(gòu)建數(shù)學(xué)課程體系是至關(guān)重要的，不僅能夠有效地減輕學(xué)生在新知識(shí)學(xué)習(xí)和知識(shí)復(fù)習(xí)鞏固過(guò)程中的壓力，而且讓學(xué)生在單位時(shí)間內(nèi)達(dá)到更為良好的學(xué)習(xí)效果.

3.2 有助于學(xué)生知識(shí)的融會(huì)貫通

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)習(xí)內(nèi)容和課堂時(shí)長(zhǎng)的受限，不少知識(shí)模塊被拆分成多節(jié)課，在不同的課堂上呈現(xiàn).這樣做就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)生對(duì)這塊整體的思路被切斷打亂，等到下節(jié)課再開(kāi)始時(shí)，學(xué)生就容易對(duì)這塊知識(shí)的理解出現(xiàn)斷層，銜接不暢，進(jìn)而影響整體知識(shí)的融會(huì)貫通.

例如，在講授二面角的平面角時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生回憶線面角是如何刻畫的，進(jìn)而想到面面角也可以用平面角來(lái)刻畫張口大小.這樣基于大概念教學(xué)理念的教學(xué)銜接讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的新知識(shí)不會(huì)有突兀感，意識(shí)到教師在不同課堂上所教的知識(shí)其實(shí)是一個(gè)整體.一旦學(xué)生意識(shí)到這種這種連接鋪墊，原本數(shù)學(xué)教材中的碎片化內(nèi)容就可通過(guò)重新整合，以更有系統(tǒng)性的方式展示在學(xué)生面前.長(zhǎng)期以往，學(xué)生就能順利串聯(lián)數(shù)學(xué)課堂的知識(shí)，數(shù)學(xué)思維的廣闊性、深刻性得到有效培養(yǎng)，從而提高數(shù)學(xué)基本素養(yǎng).

3.3 問(wèn)題探究是課堂教學(xué)的主線

大概念直指核心概念，是一條思維線，有一定的探索性和生成性，可以通過(guò)問(wèn)題探究，激發(fā)學(xué)生的求知欲.基于大概念背景下的教學(xué)，就要精心設(shè)計(jì)有思維含量的問(wèn)題和探究活動(dòng).例如，在探索二面角的平面角用什么角來(lái)刻畫時(shí)，筆者事先給每位學(xué)生一張A4紙，引導(dǎo)學(xué)生將A4紙對(duì)折成二面角，用筆畫出二面角的平面角，并在二面角開(kāi)合的過(guò)程中，驗(yàn)證這樣的平面角是否正確.引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手畫圖、討論等多種活動(dòng)中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在潛移默化中得到了發(fā)展.這樣，基于學(xué)生已有的生活和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，利用樸素的素材、簡(jiǎn)易的手段，用數(shù)學(xué)核心問(wèn)題和探究活動(dòng)統(tǒng)領(lǐng)整節(jié)課，就能讓教學(xué)脈絡(luò)更加清晰，達(dá)到了“牽一發(fā)而動(dòng)全身”之功效.

4 結(jié)語(yǔ)

基于大概念背景下的概念教學(xué)，有利于學(xué)生進(jìn)行學(xué)法遷移，讓學(xué)生對(duì)單元知識(shí)有整體認(rèn)識(shí)，善于能夠把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).另外大概念教學(xué)的課堂節(jié)奏要慢一點(diǎn).教師不要追求快節(jié)奏，要舍得給學(xué)生時(shí)間.例如，在探究平面角的獲得時(shí)， 讓學(xué)生不斷比畫，驗(yàn)證，給學(xué)生很大的思考空間，而不是讓學(xué)生局限于某一道題.學(xué)生通過(guò)交流辨析，對(duì)空間角的理解會(huì)更加深刻.

總之，大概念是當(dāng)今教學(xué)改革的熱點(diǎn)，但是每個(gè)教師都要保持清醒的認(rèn)識(shí)，只有深刻理解了大概念的內(nèi)涵，才能在教學(xué)中靈活運(yùn)用，彰顯其價(jià)值，進(jìn)而更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).