圖正則重加權(quán)稀疏約束的深度非負(fù)矩陣分解算法用于高光譜圖像解混

蔣永叢， 何 飛

(1. 河南林業(yè)職業(yè)學(xué)院信息與藝術(shù)設(shè)計(jì)系，河南 洛陽(yáng) 471002; 2. 鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引 言

高光譜圖像作為對(duì)地遙感觀測(cè)的一種重要手段，在服務(wù)國(guó)防科技、農(nóng)業(yè)發(fā)展、水資源監(jiān)測(cè)、環(huán)境災(zāi)害等方面發(fā)揮著不可替代的作用[1-3]。但受限于有限的空間分辨率，高光譜圖像中容易出現(xiàn)混合像元，即一個(gè)圖像像元光譜是由一個(gè)或幾個(gè)地物光譜混合而成[4-5]。高光譜解混是一種將圖像混合像元分解成一組最純的端元光譜和其對(duì)應(yīng)的組成豐度的技術(shù)[6]。高光譜解混是解譯高光譜圖像的一種重要途徑，因此對(duì)高光譜解混算法的研究變得格外重要。

當(dāng)前高光譜圖像混合像元分解算法可以大致分為三類。第一類是無(wú)監(jiān)督解混算法，這一類算法從圖像中提取指定數(shù)目端元，然后再采用全約束最小二乘算法估計(jì)端元對(duì)應(yīng)的豐度。典型的算法包括頂點(diǎn)成分分析法（vertex component analysis, VCA ）[7]，空間能量約束的最大單純形體積法（spatial energy prior constrained maximum simplex volume,SENMAV）[8]，空間單純形加權(quán)端元提取法（spatially weighted simplex strategy，SWSS）[9]。第二類算法是有監(jiān)督解混算法，這一類算法采用一個(gè)完備的光譜庫(kù)作為字典，不對(duì)圖像進(jìn)行端元提取，僅需要估計(jì)圖像混合像元的豐度成分。典型算法包括空譜加權(quán)稀 疏 回 歸 法 （ spectral-spatial weighted sparse regression，SSWSR）[10]，光譜多視角協(xié)同稀疏回歸法（spectral multiview collaborative sparse unmixing,SMCSU）[11]。第三類算法是基于非負(fù)矩陣分解（nonnegative matrix factorization, NMF）模型的無(wú)監(jiān)督解混算法。這一類算法將高光譜圖像分解成兩個(gè)非負(fù)矩陣，即端元矩陣和豐度矩陣。由于NMF模型是非凸的，難以獲得全局最小值。因此通常采用針對(duì)端元或豐度的先驗(yàn)知識(shí)來(lái)對(duì)模型施以約束以提升模型的求解精度。典型的基于NMF模型的解混算法包括有L1/2稀疏約束的NMF（L1/2constrained NMF, L1/2-NMF）[12]， 空 間 組 稀 疏 約 束 的 NMF（spatial group sparsity constrained NMF, SGS-NMF）[13]。

當(dāng)前，在圖像處理的研究過(guò)程中，深度學(xué)習(xí)范式越來(lái)越受到研究人員的關(guān)注，因?yàn)樯疃葘W(xué)習(xí)相比傳統(tǒng)算法而言更加關(guān)注數(shù)據(jù)的隱層結(jié)構(gòu)。為了使NMF算法也能獲得學(xué)習(xí)隱層信息的能力，有研究人員提出了深度NMF算法，這類算法通過(guò)將端元矩陣經(jīng)過(guò)多層分解以挖掘圖像的深度信息。典型算法包括有多層非負(fù)矩陣分解算法（multi-layer NMF,MLNMF）[14]，稀疏深度非負(fù)矩陣分解算法（sparse deep NMF, SD-NMF）[15]。但這類算法仍然存在典型問(wèn)題，即在深度分解的過(guò)程中無(wú)法有效地挖掘圖像的先驗(yàn)信息以提升解混性能。

為了有效提升高光譜圖像解混性能，提出了一種圖正則和重加權(quán)稀疏約束的多層深度非負(fù)矩陣分解 算 法 （ graph regularized and reweighted sparsity constrained deep nonnegative matrix factorization,GRS-DNMF）。提出的 GRS-DNMF對(duì)傳統(tǒng) NMF模型分解得到的端元矩陣進(jìn)行多層分解直至到達(dá)指定層數(shù)，并對(duì)各層中豐度矩陣同時(shí)施加圖和稀疏約束以提升模型的魯棒性。模擬數(shù)據(jù)集和真實(shí)數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的GRS-DNMF算法相比其他算法具有明顯解混優(yōu)勢(shì)。本文GRS-DNMF算法的核心創(chuàng)新點(diǎn)在于提出了一種對(duì)非負(fù)矩陣分解進(jìn)行多層分解的深度模型且利用同時(shí)利用稀疏和圖約束對(duì)多層豐度矩陣進(jìn)行正則的方法。

1 光譜線性混合模型與非負(fù)矩陣分解算法

高光譜圖像像元混合模型通常假定滿足光譜的線性混合，表述如下：

式中： Y ∈ RB×N——包含個(gè)波段和個(gè)像元的高光譜圖像；

M ∈RB×K——包含個(gè)光譜的端元矩陣；

A∈RK×N——個(gè)光譜的端元所對(duì)應(yīng)的豐度矩陣；

E∈RB×N——噪聲矩陣。

需要指出的是，線性混合模型通常需要滿足兩個(gè)本質(zhì)約束項(xiàng)即豐度非負(fù)約束和豐度和為一約束。

非負(fù)矩陣分解算法是一種將多信號(hào)混合的數(shù)據(jù)分解成兩個(gè)非負(fù)矩陣的乘積的一種有效方式。NMF通常表述如下的形式：

通過(guò)讓上式分別對(duì)兩個(gè)非負(fù)矩陣進(jìn)行最小化優(yōu)化，NMF算法可以有效求解兩個(gè)非負(fù)矩陣，目標(biāo)函數(shù)表述如下：

2 提出的圖正則重加權(quán)稀疏多層深度非負(fù)矩陣分解算法

2.1 模型提出

為了有效提升NMF算法對(duì)高光譜圖像的解混性能，提出了一種基于圖正則和重加權(quán)稀疏約束的多層深度非負(fù)矩陣算法GRS-DNMF。對(duì)于多層深度非負(fù)矩陣算法，其第一層是將進(jìn)行常規(guī)分解，形成和。第二層中，將第一層中的繼續(xù)分解成和。這個(gè)過(guò)程將會(huì)重復(fù)繼續(xù)下去，直至到達(dá)指定的層。對(duì)于多層深度非負(fù)矩陣模型，其最終的多層結(jié)構(gòu)表述如下

對(duì)于第l層，多層深度非負(fù)矩陣分解模塊在該層的模型可以表述如下

為了有效提升模型的魯棒性，增強(qiáng)對(duì)高光譜圖像的分解能力，本文采用圖結(jié)構(gòu)和重加權(quán)稀疏正則項(xiàng)對(duì)模型施以約束。為了有效挖掘圖像和豐度矩陣在局部所具有的本質(zhì)特征，即圖像局部數(shù)據(jù)是空間光譜相似的，其豐度成分也應(yīng)該是相近的。因此，通過(guò)獲取圖像局部數(shù)據(jù)的圖結(jié)構(gòu)并讓其在豐度矩陣局部保持同樣結(jié)構(gòu)能有效提升豐度矩陣的估計(jì)效果。另一方面，豐度矩陣通常是表征圖像中少量端元在混合像元時(shí)的成分。但事實(shí)上，對(duì)于混合像元而言，其通常由少量光譜混合而成，因此豐度矩陣呈現(xiàn)稀疏性。通常研究人員采用或稀疏項(xiàng)，但并沒(méi)有稀疏，而相比是非凸的。為了避免和的問(wèn)題，本文采用重加權(quán)稀疏正則項(xiàng)，通過(guò)引入權(quán)重矩陣來(lái)增強(qiáng)迭代優(yōu)化過(guò)程中豐度矩陣的稀疏性。重加權(quán)同時(shí)具有的稀疏度和的凸結(jié)構(gòu)。通過(guò)融合圖結(jié)構(gòu)和重加權(quán)稀疏正則項(xiàng)，在第l層的模型可以表述為

2.2 模型優(yōu)化

為了方便模型的優(yōu)化，首先將圖正則約束項(xiàng)作如下改寫：

L=D-W——圖拉普拉斯矩陣。

因此原始模型可以重新表述如下：

將非負(fù)和和為一約束寫入模型，則拉格朗日函數(shù)可以表述如下

2.3 算法偽代碼

為了有效闡述所提出的算法的求解流程，本文提供了算法的標(biāo)準(zhǔn)偽代碼。偽代碼如下所示：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)方法

為了有效驗(yàn)證所提出的算法和對(duì)比算法在不同數(shù)據(jù)集上的有效性，本文采用兩種典型的度量方法，即光譜角距離（spectral angle distance, SAD）和均方根誤差（Root Mean Error Square）。SAD 度量原始光譜和從圖像中估計(jì)出的光譜之間的光譜相似度，SAD值越低，表明兩個(gè)光譜相關(guān)性高。和之間的SAD表述如下：

3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集

為了有效驗(yàn)證不同算法在不同場(chǎng)景數(shù)據(jù)集下的解混性能，本文采用兩種數(shù)據(jù)集包括一種模擬數(shù)據(jù)集和一種真實(shí)數(shù)據(jù)集。模擬數(shù)據(jù)集由6種包含有224個(gè)波段的光譜按照一定比例混合而成。為了更好模擬真實(shí)的圖像場(chǎng)景，不同信噪比(signal-tonoise ratio, SNR)的零均值高斯白噪聲將會(huì)添加在模擬圖像中，且豐度矩陣中像元最高的光譜純度為0.8即圖像中并不包含純像元。模擬圖像如圖1所示。

圖1 模擬數(shù)據(jù)集

真實(shí)數(shù)據(jù)集采用高光譜解混標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集Cuprite，該數(shù)據(jù)集由機(jī)載紅外成像光譜儀在美國(guó)內(nèi)華達(dá)州Las Vegas地區(qū)拍攝。原Cuprite數(shù)據(jù)集尺度包含224個(gè)波段，考慮到水汽和噪聲干擾，移除第1～6、105～115、150～170和 221～224波段，保留 182個(gè)波段。圖像采用250×190×182大小的子圖像作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集。采用端元數(shù)目估測(cè)算法對(duì)Cuprite數(shù)據(jù)集進(jìn)行估測(cè)的端元數(shù)目為12。Cuprite數(shù)據(jù)集偽彩色圖像如圖2所示。

圖2 Cuprite數(shù)據(jù)集偽彩色圖像

3.3 對(duì)比算法與參數(shù)選擇

為了有效驗(yàn)證所提出GRS-DNMF算法的有效性，采用3種標(biāo)準(zhǔn)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，分別為端元提取算法VCA，L1/2-NMF算法和MLNMF算法。對(duì)于VCA算法，其是一種典型的無(wú)監(jiān)督算法，僅需要輸入圖像矩陣和指定端元數(shù)目。對(duì)于L1/2-NMF算法，正則參數(shù)可以通過(guò)度量圖像的稀疏度來(lái)確定。對(duì)于MLNMF算法，其涉及到對(duì)端元矩陣和豐度矩陣的稀疏約束和深度層的數(shù)目，這些參數(shù)分別設(shè)置為 3×10-5，7×10-5，10。

本文所提出的GRS-DNMF算法涉及到豐度的圖和稀疏正則項(xiàng)以及深度層的參數(shù)。為了驗(yàn)證不同參數(shù)對(duì)模型解混精度的影響，分別將分別從1×10-5變化到 5×10-1，從 1×10-4變化到 5×10-1，層數(shù) l 從1變化到10。如圖3～圖5所示，當(dāng)，和層數(shù) l分別設(shè)置為1×10-1，1×10-2，3 時(shí) GRS-DNMF能產(chǎn)生最優(yōu)解混結(jié)果。

圖3 GRS-DNMF算法在不同的平均SAD值

圖4 GRS-DNMF算法在不同的平均SAD值

圖5 GRS-DNMF算法在不同層的平均SAD值

3.4 噪聲水平對(duì)算法解混精度的影響

為了度量所提出的算法和三種標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比算法在不同信噪比情況下的端元提取精度，本試驗(yàn)對(duì)模擬數(shù)據(jù)分別添加15 dB至45 dB的零均值高斯噪聲。圖6展現(xiàn)了四種算法在不同信噪比下的端元提取平均SAD的變化趨勢(shì)。如圖所示，隨著噪聲的減弱，所有算法能逐漸獲得較好的端元提取性能。但相比其他算法，本文所提出的算法無(wú)論是在噪聲強(qiáng)度大的情況下還是在弱噪聲的情況下均能獲得最優(yōu)的端元提取精度。

圖6 四種算法在不同SNR下的平均SAD值

3.5 不同算法對(duì)圖像的解混性能評(píng)價(jià)

為了度量所提出的算法和三種標(biāo)準(zhǔn)算法在模擬數(shù)據(jù)下提取端元的精度，本文考慮了在30 dB噪聲的模擬數(shù)據(jù)下的算法性能對(duì)比。表1展現(xiàn)了四種算法在包含了6種端元的模擬數(shù)據(jù)集下的端元提取精度。從表中可以看出，對(duì)于6種端元，所提出的算法能準(zhǔn)確地對(duì)其中三種端元進(jìn)行估計(jì)并且能提供最小的平均SAD值，而MLNMF和L1/2-NMF算法則分別能提供對(duì)另外兩個(gè)和一個(gè)光譜的準(zhǔn)確度量。表2展現(xiàn)了四種算法在模擬數(shù)據(jù)集上對(duì)6種端元所對(duì)應(yīng)的豐度進(jìn)行估計(jì)的結(jié)果。與表1所呈現(xiàn)的結(jié)果類似，對(duì)于三種端元所對(duì)應(yīng)的豐度而言，其依然能提供最優(yōu)的豐度估計(jì)結(jié)果以及最小的平均RMSE值。實(shí)驗(yàn)證明所提出的算法相比其他算法在高光譜解混的任務(wù)中，能提供更優(yōu)異的解混精度。

表1 不同算法提取6種光譜的SAD值和平均SAD值

表2 不同算法提取6種光譜的RMSE值和平均RMSE值

3.6 算法解混效果的可視化評(píng)價(jià)

為了可視化地展現(xiàn)所提出的算法在30 dB噪聲下進(jìn)行解混任務(wù)后的光譜曲線，圖7展現(xiàn)了6幅由算法提取的光譜和真實(shí)光譜可視化對(duì)比的圖像。由圖7可以觀測(cè)出，對(duì)于真實(shí)光譜而言，由算法所提取的光譜具有較好的擬合效果。同時(shí)，為了可視化展現(xiàn)算法在不同噪聲情況下估計(jì)的豐度和真實(shí)豐度之間的差異性，算法在 15 dB、25 dB、35 dB、45 dB噪聲的模擬數(shù)據(jù)下進(jìn)行了解混任務(wù)并進(jìn)行豐度對(duì)比。圖8展現(xiàn)了豐度對(duì)比圖，相比真實(shí)豐度，在高噪聲的情況下，算法所估計(jì)的豐度雖然能較好地恢復(fù)出真實(shí)豐度但一定程度上仍然受噪聲的影響，如在15 dB情況下。但在噪聲略微減弱的情況下，如25 dB到45 dB，算法則能完整恢復(fù)出真實(shí)豐度。

圖7 GRS-NMF 算法提取的 6 種端元（點(diǎn)劃線）和真實(shí)端元（實(shí)線）的可視化對(duì)比

圖8 GRS-NMF 算法在不同噪聲下估計(jì)的豐度和真實(shí)豐度的可視化對(duì)比

3.7 不同算法在真實(shí)數(shù)據(jù)集上的解混效果

本試驗(yàn)是為了衡量不同算法在地物混合更加復(fù)雜的Cuprite數(shù)據(jù)集下的解混精度。表3展現(xiàn)了4種算法提取12種地物的SAD數(shù)值。如表3所示，在更為復(fù)雜的Cuprite數(shù)據(jù)集下，所提出的算法依然能準(zhǔn)確地估計(jì)出5種地物的光譜，緊接著的是L1/2-NMF算法，其能對(duì)4種地物光譜進(jìn)行估計(jì)，而MLNMF和VCA則分別能獲得2種地物和1種地物的最優(yōu)光譜估計(jì)性能。此外，所提出的算法對(duì)于12種地物能獲得最低的平均SAD值，這證明了該算法具有較強(qiáng)的魯棒性。圖9可視化地展現(xiàn)了提取的12種光譜和光譜庫(kù)之間的對(duì)比。由圖可知，由算法提取出的光譜基本上匹配了標(biāo)準(zhǔn)光譜庫(kù)光譜。此外，圖10展現(xiàn)了算法分解出的12種礦物所對(duì)應(yīng)的豐度。

圖9 GRS-NMF 算法在 Cuprite 數(shù)據(jù)集上提取的 12 種端元（點(diǎn)劃線）和真實(shí)端元（實(shí)線）的可視化對(duì)比

圖10 GRS-NMF算法在Cuprite數(shù)據(jù)集提取的12種豐度的可視化展示

表3 不同算法提取6種光譜的SAD值

4 結(jié)束語(yǔ)

為了有效提升目前高光譜解混算法對(duì)高光譜圖像解譯的水平，提出了一種圖和重加權(quán)稀疏正則的多層深度非負(fù)矩陣分解算法。該算法對(duì)端元矩陣進(jìn)行多層的分解并對(duì)相對(duì)應(yīng)的豐度矩陣施加圖和稀疏約束直至分解至指定層數(shù)。在模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)上的解混實(shí)驗(yàn)對(duì)比中，所提出的算法相比其他算法具有更明顯的魯棒性且能有效提升高光譜圖像的解混能力。實(shí)驗(yàn)證明，所提出的算法在未來(lái)可以有效應(yīng)用于國(guó)防科技領(lǐng)域，成為一種有效的對(duì)地觀測(cè)手段。