圍繞主題漸次生長(zhǎng)：數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)追求
——以蘇科版數(shù)學(xué)九（下）“二次函數(shù)”習(xí)題課教學(xué)為例

■姜國(guó)生

二次函數(shù)是九年級(jí)的重點(diǎn)內(nèi)容，新授課之后往往要安排必要的習(xí)題課進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，如果教師選擇的習(xí)題比較零散，則不利于學(xué)生掌握同一類問(wèn)題。因此，筆者圍繞二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)問(wèn)題研發(fā)了一節(jié)習(xí)題課，在教研組內(nèi)執(zhí)教公開課后，取得較好的課堂效果，也獲得組內(nèi)同行的好評(píng)。下面，筆者整理本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)，并給出教學(xué)立意的闡釋，供同行們研討。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.基礎(chǔ)熱身

例1如圖1，已知拋物線y=x2。

（1）在圖1中，求拋物線y=x2與直線y=1的兩個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在圖1中，求拋物線y=x2與直線y=4的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離；

圖1

（3）在圖2中，求拋物線y=（x-1）2與直線y=4的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離；

圖2

（4）在圖3中，求拋物線y=-（x+2）2+2與直線y=-2的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離。

圖3

［設(shè)計(jì)意圖］通過(guò)上述4個(gè)題目，學(xué)生對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)圖像的形狀特征更加熟悉，為后續(xù)的變式應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2+mx+n的對(duì)稱軸為直線x=2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3）。將這個(gè)二次函數(shù)的圖像沿y軸向下平移，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)向下平移幾個(gè)單位時(shí)，所得到的新的函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4。

［設(shè)計(jì)意圖］有些學(xué)生先寫出二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x2-4x+3。教師要引導(dǎo)學(xué)生寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x-2）2-1，讓學(xué)生結(jié)合例1積累的圖像特征，得到新的函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離。

2.拾級(jí)而上

例2如圖4，已知正方形OBCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（1，0）、C（1，1）、D（0，1）。試分析拋物線y=（x-h）2（h為常數(shù)）與正方形OBCD的邊的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并指出相應(yīng)的h的取值范圍。

圖4

［設(shè)計(jì)意圖］教師通過(guò)追問(wèn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生自主梳理不同的臨界情形對(duì)應(yīng)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，讓學(xué)生明白本題的本質(zhì)就是拋物線y=（x-h）2（h為常數(shù)）的頂點(diǎn)在x軸上平移。

變式2已知M（x1，y1）、N（x1，y1）為拋物線y=ax2（a≠0）上任意兩點(diǎn)，其中0≤x1＜x2。若對(duì)于x2-x1=1，都 有|y1-y2|≥1，則a的 取 值 范 圍 為__________。

［設(shè)計(jì)意圖］變式2主要是針對(duì)例2的變式訓(xùn)練與學(xué)情反饋。首先，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用“以形助數(shù)”進(jìn)行分析，構(gòu)造出圖5。然后引導(dǎo)學(xué)生分情況討論，其中包括當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)于x2-x1=1，都有|y1-y2|≥1，所以a|x12-x22|≥1，解得a≥1。同理，當(dāng)a＜0時(shí)，解得a≤-1。最后得出a≥1或a≤-1。

圖5

3.拓展提升

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2-2mx+m2-1。直 線y=-x+b與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作垂直于y軸的直線l交拋物線于點(diǎn)P、Q，若△OAP和△OAQ中有且僅有一個(gè)為鈍角三角形，結(jié)合圖像，求m的取值范圍。

［設(shè)計(jì)意圖］教師引導(dǎo)學(xué)生將拋物線表達(dá)式改寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x-m）2-1，讓學(xué)生能看出該拋物線的平移規(guī)律，求出一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x+3。此時(shí)再構(gòu)造圖6、圖7這兩種臨界情形，教師鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合圖形自主分析講解。

圖6

圖7

變式3如圖8，已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=-x2-2x+n、y2=a（x-3）2-n+1（a＞0）滿足對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有y1≤1+2n≤y2成立。直線y=kx-k+1（k＞0）與函數(shù)y1的圖像交于A、B兩點(diǎn)，與函數(shù)y2的圖像交于C、D兩點(diǎn)。若對(duì)于任意的k＞0，都有AB≤CD，結(jié)合函數(shù)圖像，直接寫出a的取值范圍。

圖8

［設(shè)計(jì)意圖］學(xué)生可以求出n的值為-1，知道直線y=kx-k+1（k＞0）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，1）。解決本題的關(guān)鍵是教師要啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩條拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M（1，1）中心對(duì)稱，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像觀察，最終求出a的取值范圍。

4.回顧小結(jié)

小結(jié)問(wèn)題1：本節(jié)課繼續(xù)研究的是二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)（比如y=x2），你對(duì)這類函數(shù)的圖像特征有哪些新的認(rèn)識(shí)？

小結(jié)問(wèn)題2：本節(jié)課的變式問(wèn)題與開課時(shí)回顧的二次函數(shù)（比如y=x2）的圖像特征有什么緊密的聯(lián)系？可舉例交流。

［設(shè)計(jì)意圖］通過(guò)課后的小結(jié)問(wèn)題，教師帶領(lǐng)學(xué)生課后回顧和反思，一方面回顧本節(jié)課所學(xué)，另一方面積累本節(jié)課教學(xué)中的解題經(jīng)驗(yàn)和策略。

二、教學(xué)反思

1.聚焦核心知識(shí)，精心選取習(xí)題

在一些重要的章節(jié)學(xué)習(xí)之后，教師會(huì)安排幾個(gè)課時(shí)的習(xí)題課教學(xué)，這對(duì)于鞏固新知是非常必要的。教師如果隨意選取習(xí)題，缺少明確的主線或主題，則難以取得良好的教學(xué)效果，往往會(huì)出現(xiàn)“練過(guò)、講過(guò)，學(xué)生還是出錯(cuò)”的情形。筆者認(rèn)為，安排習(xí)題課首先要明確教學(xué)目標(biāo)，找出教學(xué)主線，圍繞教學(xué)主線精選習(xí)題。這樣一節(jié)課下來(lái)，學(xué)生對(duì)這一類問(wèn)題及變式題就能有著較為全面的理解，學(xué)習(xí)效果也能顯著提升。

2.習(xí)題課要加強(qiáng)前后教學(xué)環(huán)節(jié)的關(guān)聯(lián)

為了防止習(xí)題課走偏成“題海戰(zhàn)術(shù)課”，筆者將本節(jié)課習(xí)題進(jìn)行大致歸類，設(shè)計(jì)成3～4個(gè)題組，每個(gè)題組是一個(gè)教學(xué)活動(dòng)（或教學(xué)環(huán)節(jié)），按由易到難的順序展開教學(xué)。每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)最好有明顯的關(guān)聯(lián)或遞進(jìn)關(guān)系。例如，“基礎(chǔ)熱身”主要是帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)的圖像特征，而后續(xù)的“拾級(jí)而上”“拓展提升”這兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)分別與第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)關(guān)聯(lián)和呼應(yīng)。當(dāng)學(xué)生面對(duì)這些變式問(wèn)題沒(méi)有思路時(shí)，可以“退回”到第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，重新獲得一些思路和啟示后再挑戰(zhàn)難題，這也是一種“以退為進(jìn)”的解題策略。

3.精心預(yù)設(shè)小結(jié)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回顧反思

筆者發(fā)現(xiàn)，很多習(xí)題課教學(xué)的最后都沒(méi)有課堂小結(jié)的時(shí)間。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“習(xí)題課教學(xué)環(huán)節(jié)能促進(jìn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)的主題、經(jīng)典圖形、重要性質(zhì)有一個(gè)重新審視、積累經(jīng)驗(yàn)的作用?！比绫疚闹械男〗Y(jié)問(wèn)題一樣，教師可以圍繞本節(jié)課所學(xué)，預(yù)設(shè)幾個(gè)有針對(duì)性的小結(jié)問(wèn)題，然后讓學(xué)生在這些小結(jié)問(wèn)題的引領(lǐng)之下學(xué)會(huì)回顧反思，促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)分享和知識(shí)積累；還可以讓學(xué)生課后繼續(xù)圍繞本節(jié)課訓(xùn)練的主線，把曾經(jīng)練習(xí)過(guò)的同類習(xí)題收集、整理在一起，讓學(xué)生以解題隨筆或數(shù)學(xué)寫作的方式梳理成文，在潛移默化中提升解題能力。