也談數(shù)學(xué)歸納法在解題中的應(yīng)用

內(nèi)蒙古巴彥淖爾市臨河區(qū)第一中學(xué)

薛思謙

1 引言

對(duì)于一類與正整數(shù)有關(guān)的命題的論證問題，當(dāng)其他方法無法證明時(shí)，往往想到數(shù)學(xué)歸納法.用數(shù)學(xué)歸納法證明問題分三個(gè)步驟：第一步先證明當(dāng)n取初始值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立.這是第二步的前提，不可省去，初始值n0視題目而定，不一定是1.第二步先假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命題成立，在此基礎(chǔ)上，推證當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.這一步驟是數(shù)學(xué)歸納法最關(guān)鍵的步驟，要求對(duì)有關(guān)表達(dá)式進(jìn)行恰當(dāng)變形，而且在證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立時(shí)，必須以“當(dāng)n=k時(shí)命題成立”為條件，否則是“假數(shù)學(xué)歸納”.第三步則由以上兩個(gè)步驟得出所證結(jié)論.這一步必須規(guī)范書寫，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.由此可見，數(shù)學(xué)歸納法不同于其他數(shù)學(xué)方法，它是一個(gè)特別注重書寫格式和過程規(guī)范的證明方法，這一點(diǎn)要引起大家的注意.在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)歸納法有著廣泛的應(yīng)用.主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式；用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)的整除性；用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論.下文舉例說明.

2 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

對(duì)于有些與正自然數(shù)有關(guān)的等式的證明問題，當(dāng)其他證明方法無能為力或過程太繁瑣冗長(zhǎng)時(shí)，就可以采用數(shù)學(xué)歸納法.

(2)假設(shè)n=k(k≥2，k∈N*)時(shí)，等式成立，即f(1)+f(2)+f(3)+……+f(k-1)=k[f(k)-1]，上式兩邊同時(shí)加上f(k),得

即當(dāng)n=k+1時(shí)等式依舊成立.

由(1)(2)可知，f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n-1)=n[f(n)-1]對(duì)n≥2，n∈N*都成立.

點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清所證等式兩邊各項(xiàng)的規(guī)律，等式兩邊含有的項(xiàng)數(shù)，初始值n0是哪個(gè)數(shù).由n=k出發(fā)證明n=k+1命題也成立時(shí)，除了要考慮等式兩邊變化的項(xiàng)之外，還要充分利用n=k時(shí)的式子.

3 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式，通常出現(xiàn)兩種情況：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小.對(duì)第二類問題可先對(duì)變量n取最初幾個(gè)特殊值分別驗(yàn)證比較，從而得出所證結(jié)論，最后再用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)不等式.

(1)證明：0

證明：(1)①當(dāng)n=1時(shí)顯然成立；

綜合①②可知，0

點(diǎn)評(píng)：本題第(1)問用了數(shù)學(xué)歸納法，第(2)問用的是綜合法，請(qǐng)注意它們之間的區(qū)別.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵還是由n=k成立，推證n=k+1時(shí)也成立，用了歸納假設(shè)后，可采用其他證明不等式的所有方法，如分析法與綜合法、比較法與放縮法等.

4 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題

關(guān)于與正整數(shù)n有關(guān)的指數(shù)型代數(shù)式的整除性問題的證明，一般用到兩種證明方法：一是直接法，即構(gòu)造二項(xiàng)式，并利用二項(xiàng)式定理將其展開進(jìn)行證明；二是利用數(shù)學(xué)歸納法，嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟加以論證.

例3試證(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，(3+1)×7-1=27能被9整除，故命題成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即(3k+1)·7k-1(n∈N*)能被9整除，那么

[3(k+1)+1]·7k+1-1

=(3k+1)·7k+1+3·7k+1-1

=7·(3k+1)·7k+3·7k+1-1

=(3k+1)·7k-1+6·(3k+1)·7k+3·7k+1

=[(3k+1)·7k-1]+(18k+27)·7k，

由歸納假設(shè)(3k+1)·7k-1(n∈N*)能被9整除及(18k+27)·7k是9的倍數(shù)，可得[(3k+1)·7k-1]+(18k+27)·7k能被9整除，即n=k+1時(shí)，命題成立.

由(1)(2)可知，命題對(duì)任意的n∈N*都成立.

點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題，關(guān)鍵還是在第二步，將[3(k+1)+1]·7k+1-1變形成[(3k+1)·7k-1]+(18k+27)·7k，考查等式的變形能力.

5 用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論

先歸納，再猜想，后證明，是一種不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法“聯(lián)合作戰(zhàn)”的解題模式.

(1)求f1(x)，f2(x)；(2)猜想fn(x)的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論.

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由(1)知猜想的結(jié)論正確；

②假設(shè)當(dāng)n=k，k∈N*時(shí)，結(jié)論正確，即有

=(-1)k-1·ak-1·(bc-ad)·k！.[(ax+b)-(k+1)]′

即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

由①②可知，對(duì)一切n∈N*猜想的結(jié)論正確.

點(diǎn)評(píng)：本題的第(1)問，借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)直接求解；第(2)問歸納法推證時(shí)，能借助(1)猜想結(jié)論，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析推證，從而獲證.本題證明的難點(diǎn)有兩個(gè)：一是猜想的結(jié)論不可有絲毫差錯(cuò)，二是從n=k，k∈N*到n=k+1中的式子的變形.

6 結(jié)語(yǔ)

本文最后值得一提的是，數(shù)學(xué)歸納法作為一種數(shù)學(xué)證明的方法，雖然用途比較廣泛，尤其是在高考?jí)狠S題或數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有著不可或缺的作用，但由于它的書寫格式要求比較高，所以建議慎用.當(dāng)采用別的證法也能順利解決問題時(shí)，還是以其他證明方法為上策.