優(yōu)化運算策略 減少代數(shù)運算

江蘇省石莊高級中學(xué)

張 進

數(shù)學(xué)運算是思維能力與運算技能的有機結(jié)合，是六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，更是高考數(shù)學(xué)考查的四大能力之一，在函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等相關(guān)內(nèi)容中都占據(jù)著重要位置.高考數(shù)學(xué)試題中70%以上的試題都具有一定的運算量，因而，合理研究試題特點、了解算理、改進方法、優(yōu)化策略，減少高考數(shù)學(xué)試題的運算是贏得考試成功的一大重要途徑.下面結(jié)合實例，談一談在教學(xué)中如何優(yōu)化解題策略，切實減少代數(shù)運算，綜合提升復(fù)習(xí)效益.旨在拋磚引玉.

1 回歸本質(zhì)，直達要害

抓住問題的本質(zhì)，包括相關(guān)問題的概念、定義、公式、公理、定理、幾何意義等，抽象出對應(yīng)問題的本質(zhì)屬性，直接利用相關(guān)問題的實質(zhì)，直達要害，可以大大減少運算量，提升解題效率.

分析：引入兩復(fù)數(shù)的和所對應(yīng)的第三個復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，回歸問題本質(zhì)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定平面幾何圖形的特征，結(jié)合菱形的幾何性質(zhì)，以及兩復(fù)數(shù)差所對應(yīng)的圖形元素來確定所求兩復(fù)數(shù)差的模.

圖1

點評：根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)運算的幾何意義，結(jié)合對應(yīng)平面幾何圖形的特征，可以快捷破解有關(guān)復(fù)數(shù)的加、減等對應(yīng)運算問題.結(jié)合幾何意義，可以有效回歸問題本質(zhì)，挖掘問題內(nèi)涵，簡化運算.

2 數(shù)形結(jié)合，以圖助算

數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的基本思想方法之一，更是歷年高考數(shù)學(xué)考查的重點之一.利用數(shù)形結(jié)合思想，有效增加解題過程的直觀性，直觀想象，以圖助算，可以大大減少運算量，提升解題效率.

圖2

同時切線l的斜率為正數(shù)，且小于1，可以直接排除選項B.

故選：D.

點評：直接從熟知的基本曲線圖形入手，通過數(shù)形結(jié)合以及對應(yīng)選項的特征分析加以排除與選擇.利用數(shù)形結(jié)合直觀處理相關(guān)問題時，往往圖形都是比較熟知且較方便作出的，大致草圖偏差只要不太大，就可以直觀形象分析，簡單快捷.

3 把握性質(zhì)，合理建構(gòu)

相關(guān)知識的基本性質(zhì)是對該知識的理解、掌握、綜合、應(yīng)用的深入與拓展，準確把握基本性質(zhì)，構(gòu)建合理數(shù)學(xué)模型與關(guān)系，引入相應(yīng)的參數(shù)、變量、模型等，合理建構(gòu)，直接明確運算目標，可以大大減少運算量，提升解題效率.

例3(2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第11題)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，則d+q的值是______.

分析：正確把握數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合兩特殊數(shù)列所對應(yīng)的和式的函數(shù)表達式，構(gòu)建函數(shù)表達式中對應(yīng)的參數(shù)，建立相應(yīng)的方程，借助系數(shù)的對比來確定，進而有效確定數(shù)列中公差d與公比q的值.

故填答案：4.

點評：正確把握等差數(shù)列與等比數(shù)列和式的函數(shù)基本性質(zhì)，其中等差數(shù)列的前n項和公式Sn=An2+Bn，等比數(shù)列的前n項和公式Sn=C(qn-1)，利用方程的建立與系數(shù)的對比，簡捷地處理對應(yīng)的值問題，很大程度上減少代數(shù)運算量，優(yōu)化過程，提升效益.

4 特殊取值，估算取舍

對于一些數(shù)學(xué)客觀題，借助特殊取值，根據(jù)特殊值(數(shù)或式)這一基本數(shù)學(xué)模型的選取與構(gòu)造，可以用來破解參數(shù)值、函數(shù)值、代數(shù)式等的大小比較，以及不等式的求解與判定等問題，可以大大減少運算量，提升解題效率.

例4(2020年高考數(shù)學(xué)北京卷第6題)已知函數(shù)f(x)=2x-x-1，則不等式f(x)>0的解集是( ).

A.(-1，1) B.(-∞，-1)∪(1，+∞)

C.(0，1) D.(-∞，0)∪(1，+∞)

分析：通過選取特殊值，結(jié)合函數(shù)值的求解與不等式的比較來處理，估算取舍，一步到位，優(yōu)化過程，減少運算量，簡單快捷.

故選：D.

點評：借助特殊取值(數(shù)或式)的應(yīng)用，結(jié)合排除法加以估算取舍，在解答一些客觀題時，有一定的用武之地，簡單易操作，且很大程度上避開了公式的應(yīng)用和復(fù)雜的運算，減少數(shù)學(xué)運算，快捷準確.只是相應(yīng)特殊取值(數(shù)或式)的選取有一定的技巧和局限性.

5 合情推理，弱化運算

在破解一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，借助合情推理，可以在很大程度上優(yōu)化代數(shù)運算的步驟，簡化數(shù)學(xué)運算的過程，弱化數(shù)學(xué)運算，從而有效減少出錯的機會，提升問題的準確率與破解問題的效益.

例5(2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：根據(jù)條件對指數(shù)、對數(shù)問題進行同底化恒等變形，結(jié)合函數(shù)的構(gòu)造以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，合情推理，巧妙轉(zhuǎn)化，進而利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)等來確定相關(guān)參數(shù)的大小關(guān)系.

解析：由于2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x，則知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增.又因為f(2b)=22b+log2(2b)=22b+log2b+1>22b+log2b=2a+log2a=f(a)，可得a<2b.

故選：B.

點評：合理變形與轉(zhuǎn)化，合情推理論證，借助函數(shù)性質(zhì)來分析與判斷參數(shù)的大小關(guān)系.在解答數(shù)學(xué)問題中，不能只是埋頭苦算，要注意合情推理，增加解答過程的“含理量”，優(yōu)化過程，減少運算，特別在大小比較以及立體幾何與代數(shù)推理等問題中有奇效.

高考數(shù)學(xué)中對數(shù)學(xué)運算能力的考查是多角度、多方位、多層面的，尤其重視對數(shù)學(xué)運算算理的考查，很多高考試題需要根據(jù)不同的情況加以靈活處理.因而，平時教學(xué)學(xué)習(xí)與解題過程中，一定要注意數(shù)學(xué)運算的策略與方法，能避免的代數(shù)運算就盡量避免，不能避免的代數(shù)運算一定要注意運算的合理性、簡捷性和準確性，這樣才能在高考中優(yōu)化運算，提升效率，立于不敗之地.