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    類比法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究

    2023-01-11 01:39:12山東省濱州市濱城區(qū)首都師范大學(xué)附屬濱州中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年17期
    關(guān)鍵詞:雙曲線線段向量

    山東省濱州市濱城區(qū)首都師范大學(xué)附屬濱州中學(xué)

    代海霞

    著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō):“類比似乎在一切發(fā)現(xiàn)中有作用,而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它最大的作用.”可見(jiàn),類比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的一種行之有效的思維方式.事實(shí)上,類比是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的數(shù)學(xué)猜想方法之一,由于類比推理所得的真實(shí)性還是有待考量,需要進(jìn)一步嚴(yán)格論證,不少教師持回避或者忽視的態(tài)度.筆者認(rèn)為,類比可以將已有事物與未知事物很好地建立聯(lián)系,并快速探尋到解決問(wèn)題的方法,可以看作一種觸類旁通的思維方式.因此教師合理應(yīng)用類比教學(xué)法,不僅可以強(qiáng)化對(duì)一些概念、定理、公式或知識(shí)點(diǎn)的理解,還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.筆者擬結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談一談自身的一些做法,供大家參考.

    1 善用類比法,促進(jìn)知識(shí)系統(tǒng)化

    大量教學(xué)實(shí)踐表明,孤立的知識(shí)不易記憶且容易遺忘,而系統(tǒng)化、條理化的知識(shí)便于理解和掌握,更利于遷移與運(yùn)用.同時(shí),舊知識(shí)是學(xué)生探究和學(xué)習(xí)新知識(shí)的基石,教師善用類比教學(xué)法,可以很好地聯(lián)系新舊知識(shí),加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系,展示知識(shí)的獲取過(guò)程.這樣,不僅可以有效避免多個(gè)本質(zhì)相似的數(shù)學(xué)知識(shí)散落于學(xué)生的腦海中,還能促進(jìn)知識(shí)的系統(tǒng)化和條理化.因此,以類比法教學(xué)讓學(xué)生比較、分析相似的知識(shí),可以使知識(shí)脈絡(luò)縱橫聯(lián)系,同時(shí)鍛煉學(xué)生抽象歸納能力.

    案例1以“圓錐曲線知識(shí)”的教學(xué)為例.

    在高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)具有較強(qiáng)的抽象性,知識(shí)點(diǎn)間獨(dú)立卻又相互聯(lián)系.基于此,類比法教學(xué)在本單元中可以很好地實(shí)施.例如,橢圓與雙曲線互相之間可以找到影子,二者定義相似度極高,僅僅是離心率的范圍不同及“和”與“差”的區(qū)別,從而是類比法教學(xué)的較好素材.因此,教師可進(jìn)行如下點(diǎn)撥:橢圓與雙曲線在定義上有何不同?學(xué)生很快可以類比得出“橢圓的離心率01”.在符號(hào)上又有何不同之處?同樣類比得出“橢圓是平面內(nèi)一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離‘和’,雙曲線則是求‘差’”.這樣教學(xué),學(xué)生牢牢抓住二者的本質(zhì)區(qū)別進(jìn)行探究,達(dá)到了準(zhǔn)確理解和掌握知識(shí)的目的.更進(jìn)一步地,教師拾級(jí)而上拋出以下問(wèn)題進(jìn)行鞏固.

    顯然,通過(guò)對(duì)概念的類比和問(wèn)題1的解決,不僅鞏固了舊知識(shí),使兩個(gè)概念更具有識(shí)別度,還能讓學(xué)生學(xué)到系統(tǒng)的新知識(shí),同時(shí)一些模糊不清的知識(shí)也可以得以澄清.就這樣,鼓勵(lì)學(xué)生利用類比法去分析、去比較、去反思,進(jìn)而揭示知識(shí)間的聯(lián)系,有效梳理每一個(gè)相似的知識(shí)體系,使每個(gè)知識(shí)環(huán)環(huán)相扣,在去偽存真中讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有效.

    2 善用類比法,深化概念定義

    在一些概念、定義、定理等的教學(xué)中,教師可以有目的地將教材中零散的、具有聯(lián)系性的、易混淆的概念或定義等有機(jī)歸類,合理地利用類比法教學(xué),揭示知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別,使學(xué)生在辨析中加深理解,在對(duì)比中強(qiáng)化記憶,以達(dá)提質(zhì)增效的目的,真正體現(xiàn)新課程理念.當(dāng)然,在具體的教學(xué)實(shí)踐中,用好類比法可以促進(jìn)教學(xué),反之則會(huì)影響教學(xué)效果,更有甚者會(huì)混淆對(duì)概念或定義的理解.作為教師,在備課時(shí)需要深入研究概念是否具備類比教學(xué)法的必要性,進(jìn)而巧設(shè)類比教學(xué)情境,充分激起學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究欲望,讓學(xué)生愉快地自主學(xué)習(xí),通過(guò)類比、聯(lián)系,深刻理解其本質(zhì)屬性,實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的意義建構(gòu).

    案例2以“平面向量”的單元教學(xué)起始課為例.

    問(wèn)題2甲車以v1=40km/h的速度行駛,乙車以v2=50km/h的速度行駛,2h后兩車相距______.

    生1:90km.

    生2:10km.

    生3:應(yīng)該是不確定.

    師:為什么呢?

    生3:不僅需要考慮大小,還需要考慮方向.

    師:誰(shuí)還能列舉一些既有大小又有方向的量呢?

    生4:位移、速度、力……

    師:位移、速度和力各自刻畫的內(nèi)容不同,它們有何共性呢?

    生5:既有大小,又有方向.

    師:很好.那有沒(méi)有一種量,它只有大小,卻沒(méi)有方向呢?

    生6:有很多,如年齡、身高、面積……

    師:從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō),只有大小的量叫做數(shù)量或數(shù).而既有大小又有方向的量則定義為向量.(拋出課題)

    師:既然向量是既有大小又有方向的量,那么就需要從數(shù)與形兩個(gè)角度表示向量.

    問(wèn)題3如下表,從表格(如表1)中的三個(gè)角度出發(fā),該如何表示向量?又是如何想出來(lái)的呢?

    表1 實(shí)數(shù)與向量對(duì)比表

    生7:可以用有向線段來(lái)表示,即有起點(diǎn)、有方向、有長(zhǎng)度.(教師板書)

    師:一般我們用AB或者a來(lái)表示線段,那如何表示有向線段呢?(學(xué)生展開(kāi)討論)

    生7:不是,二者表示的向量起點(diǎn)和終點(diǎn)不同.

    …………

    給出向量概念的同時(shí)回憶數(shù)量的概念,再與線段和線段長(zhǎng)度進(jìn)行類比,提供好學(xué)習(xí)的基本線索,使類比物更加清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前,喚醒數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),使類比發(fā)生得自然而明確,讓學(xué)生的思維不斷走向深入,進(jìn)而對(duì)向量的概念有清醒的認(rèn)識(shí),這樣的學(xué)習(xí)效果自然是比較好的.

    3 善用類比法,有效規(guī)整錯(cuò)題

    問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必定要學(xué)會(huì)解題.而學(xué)生隨著所學(xué)知識(shí)的增加,學(xué)習(xí)壓力也逐步增大.那么如何回避錯(cuò)誤解題思路的干擾,提高解題能力呢?筆者認(rèn)為,以類比思想為指導(dǎo)歸納整理錯(cuò)題,可以找到數(shù)學(xué)解題的“著力點(diǎn)”,讓學(xué)生自然認(rèn)識(shí)到解題過(guò)程中的不足,鍛煉數(shù)學(xué)解題能力.這樣不僅可以幫助學(xué)生很好地攻克數(shù)學(xué)難題,避免出現(xiàn)解題的無(wú)頭緒現(xiàn)象,還能提升對(duì)知識(shí)的理解和遷移能力,有效增添數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

    案例3以“橢圓與雙曲線”的習(xí)題練習(xí)為例.

    拋物線知識(shí)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問(wèn)題,不少學(xué)生在此處易混淆不清,導(dǎo)致考試時(shí)頻頻出錯(cuò).為了改變這樣的現(xiàn)狀,筆者深入研究,整合易出錯(cuò)問(wèn)題,設(shè)計(jì)出以下問(wèn)題,讓學(xué)生通過(guò)辨析,逐步厘清概念的本質(zhì)屬性,在真正理解新知的基礎(chǔ)上加以靈活應(yīng)用,以達(dá)到一題多練的效果.

    重新審視錯(cuò)題的過(guò)程就是不斷反思和修正的過(guò)程,可以讓學(xué)生客觀地認(rèn)識(shí)到問(wèn)題,最終實(shí)現(xiàn)自我提升;同時(shí)這一過(guò)程對(duì)于今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也具有較好的指導(dǎo)作用,可以讓學(xué)生的認(rèn)知在不斷辨析和反思中走向深入,在不知不覺(jué)中提升學(xué)習(xí)效率.

    數(shù)學(xué)能力對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性是毋容置疑的,但恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法也是提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的有效保障.總之,作為一種習(xí)得新知的重要方法,類比教學(xué)法對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的作用不言而喻.只不過(guò),需要扎根于課堂的教師基于類比教學(xué)法,為學(xué)生提供具有價(jià)值的學(xué)習(xí)方法,促進(jìn)知識(shí)系統(tǒng)化、深入化,有效規(guī)整錯(cuò)題,讓學(xué)生的認(rèn)知在類比辨析中逐步深入,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

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