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    一題一課 以題研課

    2023-01-11 01:39:12江蘇省宜興市張渚高級中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年17期
    關(guān)鍵詞:公比多角度公差

    江蘇省宜興市張渚高級中學(xué)

    陳云明

    課堂是教學(xué)的主陣地,數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該有一定的廣度、深度,特別是高三復(fù)習(xí)課,更要精心選好試題,針對知識點,完善知識結(jié)構(gòu),激活學(xué)生思維,提升探究能力.其中,“一題一課”教學(xué)是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中一種非常重要的表現(xiàn)形式,對“題”進(jìn)行深度挖掘,以“原題”為本,根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識結(jié)構(gòu),合理設(shè)置,巧妙引導(dǎo),從多層面進(jìn)行“一題多解”嘗試,從多角度進(jìn)行“一題多變”創(chuàng)新,由淺入深,做一題,得一法,會一類,通一片.

    1 一題多解

    一題多解是在教師精心挑選下,利用同一道題目引導(dǎo)學(xué)生用不同的思維方法來破解,利用發(fā)散、聯(lián)想、類比等思維方法對題目進(jìn)行多角度、多方位的分析與思考,利用不同的知識、方法、工具等來分析與處理問題.一題多解能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系,提升數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力與應(yīng)用能力等.

    例1(2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第11題)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),則d+q的值是______.

    分析:此題是以兩個特殊類型的等差數(shù)列與等比數(shù)列加以融合與交匯,結(jié)合數(shù)列{an+bn}的前n項和的表達(dá)式來確定對應(yīng)數(shù)列的公差d與公比q的和式的值問題.

    思維視角一:代數(shù)運(yùn)算.

    解法1:(代數(shù)運(yùn)算法)當(dāng)n=1時,S1=a1+b1=1-1+2-1=1;

    當(dāng)n≥2時,an+bn=Sn-Sn-1=n2-n+2n-1-[(n-1)2-(n-1)+2n-1-1]=2n-1+2n-2.

    則有a2+b2=22-1+2×2-2=4,a3+b3=23-1+2×3-2=8,a4+b4=24-1+2×4-2=14.

    于是a1+d+b1q=4,a1+2d+b1q2=8,a1+3d+b1q3=14.

    將a1+b1=1與以上三式依次對應(yīng)相減,可得

    d+b1(q-1)=3,d+b1q(q-1)=4,d+b1q2(q-1)=6.

    即b1(q-1)=3-d,b1q(q-1)=4-d,b1q2(q-1)=6-d.

    故填答案:4.

    點評:通過n的分類討論以及數(shù)列{an+bn}的前4項的確定,結(jié)合a1+b1=1與相應(yīng)的關(guān)系式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,并結(jié)合條件關(guān)系式的轉(zhuǎn)化建立相應(yīng)的方程,從而得以確定d與q的值.其實,在確定an+bn=2n-1+2n-2時,分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性,直接得以確定an=2n-2,bn=2n-1,進(jìn)而確定公差與公比的值,在解決小題時可以這樣處理,節(jié)省時間.

    思維視角二:公式應(yīng)用.

    解法2:(對比系數(shù)法)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,根據(jù)題意知q≠1.

    則等差數(shù)列{an}的前n項和公式為

    等比數(shù)列{bn}的前n項和公式為

    所以d+q=2+2=4.

    故填答案:4.

    點評:根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式建立相應(yīng)的關(guān)系式,結(jié)合條件Sn=n2-n+2n-1,通過對比相應(yīng)數(shù)列求和中的系數(shù)關(guān)系建立對應(yīng)的方程組,進(jìn)而得以確定相關(guān)參數(shù)d與q的值.

    2 一題多變

    一題多變是在教師精心安排下,在實際教學(xué)過程中,以一道典型例題為模板,在解決問題的基礎(chǔ)上再從多角度、多方位、多層面等思維視角提出不同的問題,以進(jìn)一步加深學(xué)生對知識的理解和掌握.一題多變能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)知識、思想方法和能力的融會貫通、舉一反三、觸類旁通,培養(yǎng)創(chuàng)新思維與創(chuàng)新意識,提升創(chuàng)新能力與核心素養(yǎng).

    故選:D.

    變式方向1:改變題目中的相關(guān)數(shù)據(jù),難度相當(dāng).

    故選:B.

    變式方向2:改變圓錐曲線的類型,難度相當(dāng).

    故選:B.

    變式方向3:改變題目已知條件,難度相當(dāng).

    通過“一題多變”,培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)向機(jī)智及思維的應(yīng)變性,實現(xiàn)提高發(fā)散思維的變通性.

    “一題一課”教學(xué),借助一題多解,一題多變等方式,合理達(dá)到一題一練一測一思一小結(jié).以問題驅(qū)動為導(dǎo)向,教師體現(xiàn)主導(dǎo)作用加以合理引導(dǎo).充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,知識盡可能讓學(xué)生回顧,思路盡可能讓學(xué)生探尋,方法盡可能讓學(xué)生尋找,變式盡可能讓學(xué)生嘗試,從而真正實現(xiàn)知識回顧問題化,思路探尋發(fā)散化,方法尋找多樣化,變式嘗試創(chuàng)新化,全面提升數(shù)學(xué)能力,提高思維品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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