分?jǐn)?shù)型Marcinkiewicz算子在加權(quán)Morrey空間的有界性

葉曉峰，余 標(biāo)，楊 丹

(華東交通大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330013)

0 引言

設(shè)Sn-1是n(n≥2)中的單位球面，其上誘導(dǎo)的Lebesgue測度dδ=dδ(x′)，這里x′=x/|x|(對任意x≠0)。設(shè)Ω∈L1(Sn-1)是n上的零階齊次函數(shù)，且滿足消失條件：

設(shè)0<α

設(shè)b(x)是n上的局部可積函數(shù)，由μΩ,α和b(x)生成的交換子[b,μΩ,α]定義為：

文獻(xiàn)[1]定義了n維Marcinkiewicz算子μΩ=μΩ,0，證明了當(dāng)Ω∈Lipβ(Sn-1)，0<β≤1時，μΩ是強(p,p)有界，其中1

文獻(xiàn)[9]在研究二階橢圓偏微分方程解的局部正則性問題時，引入了Morrey空間Lp,λ，其相應(yīng)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，參見文獻(xiàn)[10-12]。算子的加權(quán)估計在調(diào)和分析中是非常重要的研究內(nèi)容。文獻(xiàn)[13]結(jié)合Morrey空間和加權(quán)Lebesgue空間，定義了一類加權(quán)Morrey空間Lp,κ(w)，并研究了調(diào)和分析中一些經(jīng)典算子在其上的加權(quán)有界性問題，例如，Hardy-Littlewood極大算子、Calderón-Zygmund奇異積分算子以及分?jǐn)?shù)次積分算子。此后，關(guān)于加權(quán)Morrey空間的研究引起了許多數(shù)學(xué)家的注意[14-17]。

在上述研究的啟發(fā)下，本文討論分?jǐn)?shù)型Marcinkiewicz算子μΩ,α及其交換子在加權(quán)Morrey空間Lp,κ(w)上的有界性。

1 定義和引理

定義1[18]一個權(quán)函數(shù)w屬于Muckenhoupt類Ap，1 1，使得：

(1)

記不等式(1)中常數(shù)C的下確界為[w]Ap。

當(dāng)p=1時，稱w∈A1，如果存在常數(shù)C> 1，使得：

(2)

當(dāng)p=∞時，定義A∞=∪1≤p<∞Ap。

定義2[19]一個權(quán)函數(shù)w屬于Ap,q類，1 1，使得：

(3)

其中，1/p+1/p′=1。記不等式(2)中常數(shù)C的下確界為[w]Ap,q。

當(dāng)p=1時，稱w∈A1,q，11，使得：

(4)

定義3[20]一個權(quán)函數(shù)w屬于反向H?lder類RHr，如果對任意方體Q?n，存在常數(shù)C>0和r>1使得下面的反向H?lder不等式成立：

(5)

若w∈Ap，且1≤p<∞，則對于所有的r>p，有w∈Ar以及對于某個11,使得w∈RHr。利用H?lder不等式可知，當(dāng)w∈RHr時，對于所有的11，對于某個ε>0，有w∈RHr+ε成立。因此，記rw≡sup{r>1:w∈RHr}來表示w關(guān)于反向H?lder條件下的臨界指標(biāo)。

引理1[20]設(shè)w∈Ap，p≥1，則對于任意方體Q?n，存在常數(shù)C>0使得：

w(2Q)≤Cw(Q)。

(6)

一般來說，對于任意λ>1，有：

w(λQ)≤Cλnpw(Q)，

(7)

其中：C是與Q和λ無關(guān)的常數(shù)。

引理2[20]設(shè)w∈Ap∩RHr，p≥1且r>1，則對任意可測集E?Q，存在常數(shù)C1,C2>0，使得：

(8)

(9)

特別地，

(10)

為了研究分?jǐn)?shù)階的情形，需要考慮帶雙權(quán)的加權(quán)Morrey空間。

定義4[13]設(shè)1≤p<∞，0<κ<1，以及u,v是兩個權(quán)函數(shù)，則加權(quán)Morrey空間定義為：

其中：

(11)

則稱f是BMO函數(shù)，記作f∈BMO(n)，其中，Q為n中與坐標(biāo)軸平行的方體。

引理4[22]設(shè)b∈BMO(n)，如果1≤p<∞，則有：

(12)

引理5[23]設(shè)w∈A∞，00，使得：

(13)

定義6 設(shè)Ω是Sn-1上的連續(xù)函數(shù)，若對0<β≤1，及任意x1,x2∈Sn-1，有：

(14)

則稱Ω滿足β階Lipschitz條件，記作Ω∈Lipβ(Sn-1)。

其中：0<α

定義10 對于?δ>0，定義如下與δ相關(guān)的極大函數(shù)：

其中：M是Hardy-Littlewood極大算子。

等價地，可以用球體代替方體來定義加權(quán)Morrey空間、極大函數(shù)、反向H?lder類RHr和Ap權(quán)等。根據(jù)實際需要，本文將使用這兩種等價的定義。為了證明本文的結(jié)論，還需要下列不等式和引理。

引理6[14]設(shè)0<δ<1，1

(15)

對于所有使得左邊式子為有限值的函數(shù)f來說都成立。

引理7[13]設(shè)0<α

引理8[4]設(shè)0<α1，s′

引理9[24](廣義Minkowski不等式)設(shè)(X,dμ)，(Y,dν)是兩個測度空間，F(xiàn)(x,y)是乘積空間X×Y中關(guān)于測度μ×ν的可測函數(shù)。若對于幾乎所有的y∈Y，F(xiàn)(·,y)∈Lp(X,μ)，其中1≤p<∞，則有：

引理10[24](Kolmogorov不等式)若T是弱(p,q)型，其中1≤p,q<∞且0

(16)

2 定理的證明

引理11[25]設(shè)0<α

是弱(L1(w),Lq(wq))有界的，即對所有λ>0，存在一個與f無關(guān)的常數(shù)C>0，使得：

引理12 設(shè)0<α

證明由廣義Minkowski不等式有：

再利用Iα的弱(L1(w),Lq(wq))有界性即可得證。引理12證畢。

引理13 設(shè)0<α0，使得：

對于任意的x∈n和任意具有緊支集的光滑函數(shù)f都成立。

證明設(shè)x∈n，B=B(x0,r)為包含x的球，B*=B(x0,2r)，要證該結(jié)論，只需要證明：

將f分解為f=f1+f2，其中f1=fχB*，χB*表示球體B*的特征函數(shù)，C=(μΩ,αf2)B，利用不等式(a+b)s≤Cs(as+bs)，其中Cs=max{1,2s-1}，00，

根據(jù)引理12，μΩ,α是弱(1,q)型算子，則利用Kolmogorov不等式，有：

下面估計I2，利用H?lder不等式，有：

下面估計|μΩ,αf2(y)-μΩ,αf2(ω)|，記

J:=|μΩ,αf2(y)-μΩ,αf2(ω)|≤J1+J2+J3，

因為J1與J2類似，所以只要對J1進(jìn)行估計。注意x0,y,ω∈B(x0,r)，z∈n/B*，易知|x0-z|～|y-z|～|ω-z|，又Lipβ?L∞，故Ω(x)是本性有界的，再由廣義Minkowski不等式和中值定理，有：

同理可得J2≤CMαf(x)。最后估計J3，利用廣義Minkowski不等式，有：

下面分別對J31，J32進(jìn)行估計，已知|x0-z|～|y-z|～|ω-z|，則：

故

因為Lipβ?L∞，故Ω(x)是本性有界的，再利用中值定理，有：

故

結(jié)合J1，J2，J3的估計，可得：

綜合上面對I1,I2的估計，可得：

引理13證畢。

定理1 設(shè)0<α

證明應(yīng)用引理13得到的Sharp極大函數(shù)估計結(jié)果，以及引理6和引理7，有：

定理1證畢。

定理2 設(shè)0<α

‖[b,μΩ,α]f‖Lq,κq/p(wq/p,w)≤C‖b‖‖f‖Lp,κ(w)。

證明固定一個球體B=B(x0,r)，B*=B(x0,2r)，要證該定理，只需要證明

將f分解為f=f1+f2，其中f1=fχB*，

由Ap,q權(quán)的定義，容易驗證

w∈Ap,q，當(dāng)且僅當(dāng)wq∈A1+q/p′。

(17)

因為wq/p∈A1，利用式(17)，可以推出w1/p∈Ap,q，又由引理8，交換子[b,μΩ,α]是從Lp(wp)到Lq(wq)有界的，只要w∈Ap,q。根據(jù)這一結(jié)果和引理1，有：

(18)

在估計K2之前，先對[b,μΩ,α]進(jìn)行處理：

利用廣義 Minkowski不等式，可得：

(19)

利用H?lder不等式和Ap權(quán)條件，可得：

(20)

將式(20)結(jié)果代入到式(19)，有：

因此，

因為wq/p∈A1，由引理3，有w∈A1∩RHq/p，由此推出：

(21)

此外，通過引理5可知：

(22)

運用式(21)和式(22)的結(jié)果，因此：

因此，

(23)

對于Ⅱ1項，利用H?lder不等式，有：

(24)

設(shè)ω(y)=w-p′/p(y)=w1-p′(y)，因為wq/p∈A1,由引理3,有w∈A1∩RHq/p，進(jìn)而推出ω∈A∞。由引理5可得：

(25)

將式(25)代入到式(24)，有：

因此，

(26)

現(xiàn)在估計最后一項Ⅱ2。因為b∈BMO(n)，通過簡單的計算可得：

|b2j+1B-bB|≤C·j‖b‖BMO。

(27)

根據(jù)式(27)和式(20)，可以推出

因此：

(28)

結(jié)合式(26)和式(28)的估計，得到：

(29)

綜合式(18)和式(29)的估計，然后關(guān)于所有的球體B?n取上確界。定理2證畢。

定理3設(shè)0<α0和任意球體B，存在一個與f無關(guān)的常數(shù)C>0使得：

證明借鑒文獻(xiàn)[13]中定理3.6的證明思想。對于任意給定的λ>0和任意的球體B，同樣分解f=f1+f2，其中f1=fχB*，

wq({x∈B:|μΩ,αf(x)|>λ})≤

wq({x∈B:|μΩ,αf1(x)|>λ/2})+wq({x∈B:|μΩ,αf2(x)|>λ/2})=:L1+L2。

根據(jù)引理12，μΩ,α是弱(L1(w),Lq(wq))有界的，再利用引理1推出：

(30)

對于L2項，應(yīng)用廣義 Minkowski不等式可得：

因為w∈A1,q，由A1,q權(quán)條件可得：

因為w∈A1,q，則一定存在某個r*>1，使得wq∈RHr*。進(jìn)一步，根據(jù)引理2可知：

因此，

(31)

在不等式(31)中，級數(shù)收斂是因為

如果{x∈B:|μΩ,αf2(x)|>λ/2}=?，則

顯然成立。

如果{x∈B:|μΩ,αf2(x)|>λ/2}≠?，則根據(jù)不等，式(31)有：

這等價于

因此，

(32)

結(jié)合式(30)和式(32)的估計，定理3證畢。