巧妙換元 解決難題
——換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

李志明

(甘肅省慶陽市正寧縣第四中學(xué) 745307)

換元法作為高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用較為廣泛的一種解題思想，其主要特點是化繁為簡，是在較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子當(dāng)中，通過新變元對原先式子中的復(fù)雜部分進(jìn)行替換或者改造，簡化原式子，進(jìn)而幫助學(xué)生解決問題.換元思想的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，換元能夠?qū)⒃葐栴}由高次轉(zhuǎn)變?yōu)榈痛?，將無理式轉(zhuǎn)變成有理式，超越式轉(zhuǎn)變成代數(shù)式，經(jīng)過換元能夠促使數(shù)學(xué)問題從難變易，從繁變簡.將換元法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)的解題中，學(xué)生就能根據(jù)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，對相關(guān)數(shù)學(xué)題當(dāng)中存有的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把未知問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎獑栴}，通過問題及解題過程的簡化，使學(xué)生實現(xiàn)高效解題，促使學(xué)生的思維力得到明顯提高.

1 換元法概述

1.1 換元法的內(nèi)涵

換元法主要就是指將數(shù)學(xué)題目當(dāng)中的部分復(fù)雜內(nèi)容通過另外的變量實施等效替換，形成原式的簡化形式，或是縮減原題目變量，使得問題簡單易解.一般來說，換元方式中比較常見的形式有三種，即(1)整體換元.比如把x的表達(dá)式f(x)從整體上替換為t，經(jīng)過t表示為與x相關(guān)的新表達(dá)式；(2)通過有關(guān)的關(guān)系，通常指把具有較高相似度的表達(dá)式實施換元，經(jīng)過已知的三角知識以及代數(shù)式之間存在的關(guān)聯(lián)實施換元，即在具體解題時，使用同樣的參數(shù)，表示不同的變量，以此減少變量，實現(xiàn)問題的簡單化；(3)均值換元.在能夠明確地求出變量和時，就可以應(yīng)用均值換元.

1.2 換元法的應(yīng)用技巧

第一，熟練掌握常規(guī)化換元法.面對不同的換元方法，一般都有對應(yīng)的形式，尤其是數(shù)學(xué)中的三角換元.基于此，就難度相對較低的數(shù)學(xué)題來說，學(xué)生只有有效理解與掌握一般換元規(guī)律，才能做出及時且迅速的反應(yīng)，更好更快地完成數(shù)學(xué)題的解答.

第二，注重引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)學(xué)題的形式.對于具有較高難度的數(shù)學(xué)題來說，題目中一般會包含一些隱含條件，此時，教師需引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)題目的相關(guān)條件進(jìn)行分析與梳理，以此為基礎(chǔ)，找出換元的突破點.需特別注意的是，數(shù)學(xué)題具備的難度一般不會影響到換元時的條件.基于此，對數(shù)學(xué)題的條件進(jìn)行分步驟計算，不僅能夠開闊學(xué)生自身的解題思路，而且還能提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確率，實現(xiàn)高效解題.

第三，注重等效條件.換元法在應(yīng)用前后的等效性一般是確保正確解題的關(guān)鍵，但這也是數(shù)學(xué)解題中極易容易被忽視的部分，不論是什么題型，有著什么難度，這都需學(xué)生牢固遵循換元條件的等效性.

2 換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

2.1 換元法在方程問題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，方程屬于基礎(chǔ)性知識，與方程有關(guān)的題目通常貫穿整個高中數(shù)學(xué)階段.但是，數(shù)學(xué)方程通常有許多種類，涉及到的知識點也有很多，特別是結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜的方程，這就會造成解題難度的提高.基于此，在方程解題時，數(shù)學(xué)教師需引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用換元法，把相關(guān)方程類題目進(jìn)行簡化，這不僅能實現(xiàn)解題難度的降低，而且還能使解題效率得到顯著提高.

例1設(shè)[(x4+2x2+1)/x2]+[(x2+1)/x]-2=0，求x的值.

解析在對該題進(jìn)行解決時，通過換元法的應(yīng)用，對方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)變成[(x2+1)2/x2]+[(x2+1)/x]-2=0，令t=(x2+1)/x，構(gòu)造新的方程t2+t-2=0，通過計算可求得：t1=-2，t2=1.然后，開展分類討論，t1=-2時，其方程則為x2+2x+1=0，此時x1=x2=-1.通過檢驗可得，該方程的解為-1.若t2=1時，其方程則為x2-x+1=0，其方程是不能求解的，由此可知，方程的解為-1.

評析通過上述例題可知，換元法的運(yùn)用，將原先較為復(fù)雜且高次冪方程轉(zhuǎn)化為低次冪的方程，原先的一元四次方程則被轉(zhuǎn)變成一元二次的方程，該數(shù)學(xué)題的整體難度就會相應(yīng)降低，省去了較多非必要的解題步驟.

2.2 換元法在不等式問題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題中，不等式的證明問題通常是學(xué)生解題中的難點.大部分學(xué)生在解決不等式問題的時候，都感到極其苦惱，不能夠找出合理切入點，解題條件不足.而通過換元法的運(yùn)用，可提供給學(xué)生全新切入點，這不僅能夠使學(xué)生的解題思路更加清晰，而且還能使解題方式更加簡單.

例2已知[(x-1)2/9]+[(y+1)2/16]=1，設(shè)x+y-k>0成立，求k的取值范圍.

解析經(jīng)過換元法的運(yùn)用，對方程實施轉(zhuǎn)化，可設(shè)(x-1)/3=cosα，(y+1)/4=sinα，由此可知，x=1+3cosα，y=-1+4sinα.把x與y代入至x+y-k>0當(dāng)中，就能計算出3cosα+4sinα>k.因為3cosα+4sinα=5sin(α+φ)>k，從而計算得出k<-5時，不等式恒成立.

評析通過上述例題分析，將新元代入題目條件當(dāng)中，就能使不等式當(dāng)中的原先變量條件不斷展現(xiàn)，將其作為基礎(chǔ)，展示全新表達(dá)式，有效運(yùn)用到不等式證明當(dāng)中，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)題解題思路全面簡化.通過換元法的運(yùn)用，不僅能準(zhǔn)確地找出解題切入點，促進(jìn)解題準(zhǔn)確率的提高，而且還對題目證明的后續(xù)討論實施引導(dǎo)，以促使學(xué)生實現(xiàn)高效化解題.

2.3 換元法在函數(shù)值問題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，求函數(shù)最值問題通常是比較常見的，對該類型的題目進(jìn)行有效學(xué)習(xí)，對于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力有著顯著作用.一般來說，函數(shù)最值問題主要就是考察學(xué)生對于函數(shù)定義域、值域等相關(guān)知識的掌握，在對具體問題進(jìn)行解答時，最重要的就是明確函數(shù)的取值范圍，然后對函數(shù)及變量的關(guān)系有效把握，以此實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的有效解答.

評析本題的解答是以新元代換的形式，促使原先看似較為復(fù)雜化的變量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楦忧逦暮唵巫兞筷P(guān)系，并對原先式子的取值范圍實施相應(yīng)的簡化，以促使數(shù)學(xué)題的解題難度有效降低.通過換元法的運(yùn)用，對函數(shù)值的問題進(jìn)行求解時，核心就是找出新元的具體切入點，以完成相應(yīng)的代換工作.

2.4 換元法在輔助函數(shù)換元構(gòu)造中的應(yīng)用

輔助函數(shù)的換元構(gòu)造是相對重要的解題法，函數(shù)屬于高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中極其核心的知識點，該部分知識通常有著明顯的工具性以及導(dǎo)向性，在大多數(shù)的數(shù)學(xué)問題解答中，都需要將函數(shù)作為輔助，以此更好地實現(xiàn)復(fù)雜且難以解決數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)教學(xué)思維的程序化.

解析若m=1，a<0的時候，f(x)=x-aInx-1，x∈(0,+∞)

由于f’(x)=x-a/x>0位于[3,4]上恒成立，那么，f(x)位于區(qū)間[3,4]上呈現(xiàn)增函數(shù).

經(jīng)過輔助函數(shù)的構(gòu)造方法對上述例題進(jìn)行解答，可明顯使原先的數(shù)學(xué)問題與輔助函數(shù)二者的聯(lián)系更加明確，經(jīng)過相應(yīng)的推理，進(jìn)行輔助函數(shù)的構(gòu)造，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的高效化解決，并促使學(xué)生的解題效率得到顯著提高.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，換元法屬于比較常見且實用的一種解題方式，其通常能夠使相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)題得到有效處理與解答.因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時，需注重引導(dǎo)學(xué)生分析與探究換元法，對數(shù)學(xué)題目的相關(guān)條件進(jìn)行合理分析，以實現(xiàn)換元法的靈活運(yùn)用，促使學(xué)生的解題效率得到明顯提高.