分類討論思想視域下高中數(shù)學(xué)解題研究

崔 堅(jiān)

(山東省德州市臨邑第一中學(xué) 251500)

高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用分類討論的思想，不僅能夠使數(shù)學(xué)題目得以輕松解決，而且還能使學(xué)生形成相應(yīng)的發(fā)散思維.高中階段的數(shù)學(xué)與其他時(shí)期不同，通常具有較強(qiáng)的抽象性，不易被學(xué)生所理解.而分類討論作為數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想，其在高中數(shù)學(xué)的許多題目解決中都得到廣泛運(yùn)用，如概率、函數(shù)、數(shù)列等，其不僅可以使學(xué)生在解題時(shí)，具有清晰的思路，而且還能將抽象思維轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗笏季S，以確保相關(guān)數(shù)學(xué)題更好的完成.因此，想要使高中數(shù)學(xué)的解題有效性得到顯著提高，就需深化分類討論的探究，以促使復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)題解答更加簡(jiǎn)單，并使學(xué)生形成良好思維習(xí)慣的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績(jī)的提高.

1 分類討論思想及其應(yīng)用價(jià)值與原則

1.1 分類討論思想概述

基于高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科具備的特點(diǎn)，學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，通常會(huì)遇到各種難題，且學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題的時(shí)候，其中還包含著無限的可能，這就造成學(xué)生無法通過常規(guī)的形式進(jìn)行數(shù)學(xué)試題解答.面對(duì)該數(shù)學(xué)問題，學(xué)生需注重具體問題具體分析，依據(jù)數(shù)學(xué)題所限定的范圍，對(duì)其實(shí)施正確劃分，將其分為一個(gè)個(gè)的小區(qū)域開展分析與運(yùn)算，以促使學(xué)生的解題能力得到有效提高，該過程中運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想以及解題技巧就是分類討論的解題思想.

在具體解題中，通過分類討論進(jìn)行劃分的時(shí)候，需以劃分對(duì)象自身的相同或不同處作為依據(jù)，并根據(jù)其相同點(diǎn)以及不同點(diǎn)，將其分成不同種類，這不僅有助于學(xué)生進(jìn)行更好的比較，而且還能準(zhǔn)確找出其差異，并將有相同點(diǎn)的問題劃分到一個(gè)組別，這通常能夠使學(xué)生更有效的掌握相關(guān)數(shù)學(xué)問題間的聯(lián)系.

1.2 分類討論在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價(jià)值

在高中數(shù)學(xué)的解題中，分類討論的思想運(yùn)用通常有著重要價(jià)值.首先，有助于學(xué)生自身解題能力的提高，通過分類討論引導(dǎo)學(xué)生厘清數(shù)學(xué)題當(dāng)中存在的數(shù)學(xué)關(guān)系，以此對(duì)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行準(zhǔn)確解答，并在該過程中，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)試題當(dāng)中存有的數(shù)學(xué)思想深入理解；其次，有助于高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)水平提高，并使學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)難度得到有效降低.在高中數(shù)學(xué)的解題中，通常對(duì)學(xué)生自身的思維能力具有較高的要求，在實(shí)際解題中，通過分類思想的運(yùn)用，不僅能夠有效解決學(xué)生在解題過程中遇到的難題與困難，而且還能使學(xué)生在具體操作中，形成自身獨(dú)特的分類思維，從而使學(xué)生的解題能力得到顯著提高.同時(shí)，將分類討論運(yùn)用于數(shù)學(xué)解題中，可通過“化整為零、積零為整”的教學(xué)形式，不僅可以使學(xué)生構(gòu)建自己對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行有效解決的機(jī)制，而且還能使學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性以及敏銳性得到有效提高，從而確保學(xué)生能夠靈活的學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.

1.3 分類討論在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用原則

首先，統(tǒng)一性原則.高中數(shù)學(xué)的課堂解題中，數(shù)學(xué)教師需注重分類討論，并注重以統(tǒng)一分類的解題標(biāo)準(zhǔn)開展，避免同時(shí)運(yùn)用多樣分類方法.比如，對(duì)三角形實(shí)施分類的時(shí)候，若將其分為銳角、直角、等腰、鈍角、不等邊三角形，由于該分類當(dāng)中出現(xiàn)了兩種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，這種狀況下的分類結(jié)果就是錯(cuò)誤的.

其次，互斥性原則.高中數(shù)學(xué)的解題中運(yùn)用分類討論的方法，數(shù)學(xué)教師需充分明確在分類后每個(gè)子項(xiàng)的關(guān)系是互相排斥的關(guān)系，并保證分類之后的子項(xiàng)之間是無法相容的.

最后，層次性原則.高中數(shù)學(xué)與的解題中運(yùn)用分類討論的解題思想，通常包含一次分類討論以及多次分類討論.對(duì)于一次分類討論而言，其通常指討論的數(shù)學(xué)問題只要開展一次分類即可；而對(duì)于多次分類討論而言，其主要指討論的數(shù)學(xué)問題需實(shí)施多次分析，直至符合相關(guān)要求.

2 分類討論思想下高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用策略

2.1 基于分類討論的函數(shù)問題解答

分類討論不僅是一種數(shù)學(xué)解題方法，而且還是較為常用的一種數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行科學(xué)合理的運(yùn)用，通常能夠使數(shù)學(xué)題的解答更清晰靈活.分類討論的解題思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)問題解答中，有著重要地位，因此，在函數(shù)問題解答中，分類討論的運(yùn)用，首先需對(duì)函數(shù)問題實(shí)施處理與觀察，若該問題不能通過統(tǒng)一的方法實(shí)施研究與解答，則需對(duì)該研究對(duì)象實(shí)施劃分，將整體分為幾個(gè)部分實(shí)施解答，即分類討論.運(yùn)用分類思想時(shí)，需確保研究對(duì)象的準(zhǔn)確劃分，避免條件疏漏或缺失，保證問題解答的準(zhǔn)確性與完整性.函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)解題中占比較大的部分，在對(duì)函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，需對(duì)函數(shù)組成的部分實(shí)施分析，對(duì)于不同自變量，其通常對(duì)應(yīng)著不同函數(shù)，通過函數(shù)運(yùn)算，又會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果.

例1(對(duì)函數(shù)問題中的變量x進(jìn)行分類討論)求函數(shù)y=|x+1|+|x+2|-2的值域.

2.2 基于分類討論的數(shù)列問題解答

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題教學(xué)中，數(shù)列周期性和等比數(shù)列求和等相關(guān)問題都和分類討論相關(guān)，學(xué)生通過分類討論的解題思想運(yùn)用對(duì)數(shù)列問題的解答思路進(jìn)行整理，并清楚地認(rèn)識(shí)到題目當(dāng)中是概念劃分、條件劃分、集合劃分，以此將問題清楚地分為不同狀況實(shí)施解答，因?yàn)椴糠謹(jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)在進(jìn)行定義的時(shí)候，會(huì)依據(jù)分類概念實(shí)施，因此，學(xué)生在對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答的時(shí)候，需注重分類討論.通過分類討論的解題思想，不僅能夠使學(xué)生形成謹(jǐn)慎的邏輯以及嚴(yán)密的思維，而且還能使學(xué)生通過大量的習(xí)題練習(xí)，充分理解與掌握該解題思想的運(yùn)用方式與本質(zhì)，并對(duì)分類的規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，從而使學(xué)生更好的解決相關(guān)數(shù)學(xué)與問題.

例2假設(shè)首項(xiàng)是正數(shù)的等比數(shù)列{an}公比是q，前n項(xiàng)和為Sn>0(n=1，2，3，…)，那么q的取值范圍是____.

2.3 基于分類討論的概率問題解答

分類討論的解題思想，是高考中對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力進(jìn)行考查的重點(diǎn)，學(xué)生需善于分析與思考，通過分類討論對(duì)復(fù)雜的概率問題進(jìn)行解答，并使條件不清晰的相關(guān)數(shù)學(xué)問題更加清晰明了.將分類討論的解題思想運(yùn)用于概率問題解題中，通常能夠使概率事件的分類更清晰.在對(duì)概率問題進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，其主要的內(nèi)容就是引導(dǎo)學(xué)生充分了解、掌握相關(guān)概率事件的集合與某件事在全部事件中的具體發(fā)生概率，不論是分母，還是分子，通過分類討論的正確運(yùn)用，對(duì)概率計(jì)算的正確性有著重要影響.在對(duì)概率相關(guān)問題進(jìn)行解答時(shí)，學(xué)生需注重對(duì)事件的分析不遺漏且不重復(fù)，對(duì)分類對(duì)象進(jìn)行清晰掌握，并通過統(tǒng)一化的分類標(biāo)準(zhǔn)，確保分類討論解題思想的準(zhǔn)確應(yīng)用.

例3某地的奧運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，共有編號(hào)是1,2,3,4，…，18的共18名火炬，從中只能選擇出3名擔(dān)任火炬手，選擇的火炬手編號(hào)通常能形成公差是3的等差數(shù)列的概率是( ).

A.151 B.168 C.1306 D.1408

解析該試題中，其不僅涉及到概率問題，而且還涉及到數(shù)列知識(shí)，學(xué)生在具體解題中，通過分類討論梳理好相應(yīng)的解題思路，首先，對(duì)問題的概型實(shí)施整理，該問題是古典概型的問題，求取基本事件，就是總情況是17×16×3.然后，根據(jù)相關(guān)規(guī)律選出相應(yīng)的火炬手，即a=1的時(shí)候，火炬手的選擇方式有幾種；b=2的時(shí)候，火炬手的選擇方式有幾種；c=3的時(shí)候，火炬手的選擇方式有幾種.經(jīng)過分類討論的狀況相加，得出概率是168，故選B.

2.4 基于分類討論的不等式問題解答

高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，其難點(diǎn)通常是不等式求解，該類型數(shù)學(xué)題通常對(duì)高中生而言具有相應(yīng)的難度.在這種狀況下，數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)時(shí)，就需注重分類討論解題思想的運(yùn)用，以促使學(xué)生在對(duì)不等式問題實(shí)施解答時(shí)，能夠應(yīng)用分類討論，這不僅可以使學(xué)生自身的解題思路更加清晰，而且還能使學(xué)生的解題能力以及解題效率得以顯著提高.

例4已知函數(shù)f(x)=|x+a-1|+|x-2a|，當(dāng)f(1)<3時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析首先，根據(jù)f(1)<3可得，|a|+|1-2a|<3，并對(duì)a實(shí)施分類討論，第一，當(dāng)a≤0的時(shí)候，可得：-a+(1-2a)<3，對(duì)其使求解，得出：a>-2/3，以此得出結(jié)果：-2/3-2，因此，以此得到的結(jié)果是：0

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，分類討論的思想運(yùn)用通常是有效且普遍的解題方法，這不僅可以使學(xué)生有效解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，而且還能確保學(xué)生準(zhǔn)確解決問題的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)解題效率的提高.因此，學(xué)生只有充分掌握分類討論的思想標(biāo)準(zhǔn)，才能促進(jìn)其自身數(shù)學(xué)能力的增強(qiáng).將分類討論的思想運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，教師可積極引導(dǎo)學(xué)生理解與運(yùn)用該思想，以促使學(xué)生在分類討論過程中，形成良好的邏輯思維，并實(shí)現(xiàn)學(xué)生全面發(fā)展.