U型微電熱驅(qū)動(dòng)器理論模型及瞬態(tài)位移特性

盧星帆，王新杰，陳 浩

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

微驅(qū)動(dòng)器，也稱微執(zhí)行器或致動(dòng)器，主要承擔(dān)著將MEMS(Micro-Electro-Mechanical System)系統(tǒng)的控制信號(hào)和電能間接或直接轉(zhuǎn)化為可控運(yùn)動(dòng)和功率輸出的作用。根據(jù)驅(qū)動(dòng)方式的不同，微驅(qū)動(dòng)器主要分為以下幾類：靜電型、壓電型、電磁型及電熱型等[1]。電熱型驅(qū)動(dòng)器是指在電壓作用下由于熱膨脹差產(chǎn)生膨脹變形，并最終擠壓自由端朝某一方向偏移的一種驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)。其本質(zhì)是導(dǎo)電材料通電由于焦耳熱效應(yīng)產(chǎn)熱，從而將電能轉(zhuǎn)化為熱能，同時(shí)驅(qū)動(dòng)器由于熱膨脹效應(yīng)發(fā)生彎曲變形，從而將熱能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，實(shí)現(xiàn)電-熱-力之間的能量轉(zhuǎn)換。

微電熱驅(qū)動(dòng)器的電-熱-力耦合模型對(duì)于驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性分析及實(shí)際應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)意義，也是目前微電熱驅(qū)動(dòng)器研究的重點(diǎn)之一。建立U型微電熱驅(qū)動(dòng)器的電-熱耦合模型途徑主要有兩種：一種以Huang等[2-5]為代表，通過(guò)對(duì)驅(qū)動(dòng)器上的微元進(jìn)行傳熱分析，基于能量守恒定律和傅里葉導(dǎo)熱定律，得到熱傳導(dǎo)微分或偏微分方程；另一種以Beatriz 等[6-9]為代表，將驅(qū)動(dòng)器分割成幾個(gè)獨(dú)立的集總熱單元，采用等效電路法，建立電-熱耦合等效模型。而對(duì)于熱-力耦合模型，Huang等[2]采用虛力原理對(duì)U型微電熱驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行受力分析，建立U型微電熱驅(qū)動(dòng)器變形協(xié)調(diào)方程，求解得到驅(qū)動(dòng)器末端位移。Hussein等[10]在此基礎(chǔ)上，考慮虛力對(duì)驅(qū)動(dòng)器中各梁軸向拉、壓的影響，對(duì)變形協(xié)調(diào)方程進(jìn)行了完善。上述兩種構(gòu)建電-熱耦合模型的途徑，均未考慮U型電熱微驅(qū)動(dòng)器的耦合理論存在材料參數(shù)隨溫度變化及非連續(xù)性邊界等問(wèn)題。而針對(duì)微驅(qū)動(dòng)器或微運(yùn)動(dòng)部件的動(dòng)態(tài)響應(yīng)測(cè)試方法，多采用無(wú)接觸的光學(xué)放大測(cè)量技術(shù)。陳津平等[11]建立了MEMS驅(qū)動(dòng)器面外運(yùn)動(dòng)的全息干涉測(cè)量系統(tǒng)，利用Mirau顯微干涉技術(shù)不斷捕獲干涉條紋的圖像，從而對(duì)驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)位移進(jìn)行測(cè)量,這種測(cè)量方法測(cè)量速度快、精度高，但只能用于測(cè)量面外運(yùn)動(dòng)的位移且經(jīng)濟(jì)成本較高。曹云[12]使用高速攝像技術(shù)捕捉到了萬(wàn)向慣性開關(guān)的閉合過(guò)程，并采用亞像素邊緣檢測(cè)算法進(jìn)行特征提取，測(cè)量精度達(dá)到了微米級(jí)，但沒(méi)有消除圖像噪音對(duì)測(cè)量可能帶來(lái)的影響。由此可以看出，基于光學(xué)放大測(cè)量技術(shù)可實(shí)現(xiàn)微驅(qū)動(dòng)器微米級(jí)別的位移測(cè)量，但目前還未有相關(guān)文獻(xiàn)采用基于邊緣檢測(cè)算法的光學(xué)放大測(cè)量技術(shù)對(duì)微電熱驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)位移實(shí)現(xiàn)可視化測(cè)量。

本文首先建立U型微驅(qū)動(dòng)器瞬態(tài)位移的電-熱-力耦合模型，并通過(guò)仿真對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證；然后，搭建基于高速攝像的光學(xué)測(cè)量系統(tǒng)，結(jié)合連續(xù)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的圖像快速檢測(cè)算法，實(shí)現(xiàn)微電熱驅(qū)動(dòng)器瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)的可視化測(cè)量；最后，基于搭建的可視化測(cè)量系統(tǒng)，對(duì)U型微電熱驅(qū)動(dòng)器在不同形式電壓激勵(lì)下的瞬態(tài)位移特性進(jìn)行測(cè)試分析。本文主要貢獻(xiàn)如下：

1)提出一種全新的電-熱耦合模型求解方法，并在建立電-熱耦合模型的過(guò)程中考慮到了材料參數(shù)受溫度的非線性影響以及非連續(xù)性邊界等問(wèn)題，使得理論模型更加精確。

2)提出一種基于邊緣檢測(cè)算法的光學(xué)放大測(cè)量技術(shù)，并搭建了測(cè)量系統(tǒng)對(duì)微電熱驅(qū)動(dòng)器的輸出位移進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量誤差較小。

3)探究了在不同形式電壓作用下U型微電熱驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)位移特性，為微電熱驅(qū)動(dòng)器輸出位移的可控性研究及其在微光機(jī)電系統(tǒng)中的工程應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 U型微電熱驅(qū)動(dòng)器的電-熱-力耦合模型

U型微電熱驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，主要由熱臂、冷臂和柔性臂組成，其驅(qū)動(dòng)原理為：在電壓作用下，因?yàn)闊岜垭娮璐笥诶浔垭娮瑁詿岜劭傮w溫度也會(huì)高于冷臂，進(jìn)而導(dǎo)致熱臂熱膨脹變形遠(yuǎn)大于冷臂，最終使得U型微電熱驅(qū)動(dòng)器末端沿著其冷臂方向彎曲。由于U型微電熱驅(qū)動(dòng)器上各臂的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其寬度和厚度，因此忽略寬度和厚度方向上的熱傳導(dǎo)，只考慮驅(qū)動(dòng)器長(zhǎng)度方向上的熱傳導(dǎo)，將驅(qū)動(dòng)器沿著熱臂水平方向分解為3個(gè)串聯(lián)的線性微束,由此簡(jiǎn)化為一維幾何模型，如圖1(b)所示。其熱變形受力示意圖如圖1(c)所示。

圖1 驅(qū)動(dòng)器示意圖

1.1 電熱耦合模型

驅(qū)動(dòng)器微元傳熱示意圖如圖2所示。

圖2 驅(qū)動(dòng)器微元傳熱示意圖

根據(jù)焦耳熱效應(yīng)，微元Δx在通電下產(chǎn)生的焦耳熱為

Qg=J2ρ(Tm)wmdΔx,m={h,c,f}

(1)

式中:m分別代表U型電熱驅(qū)動(dòng)器的熱臂(h)、冷臂(c)和柔性臂(f)；Tm為驅(qū)動(dòng)器各臂的溫度；d為驅(qū)動(dòng)器的厚度；wm為驅(qū)動(dòng)器各臂的寬度；ρ為密度；J為電流密度，其表達(dá)式為

(2)

式中V(t)表示驅(qū)動(dòng)器加載電壓。

驅(qū)動(dòng)器微元通過(guò)熱傳導(dǎo)方式流入的熱量Qin，流出的熱量Qout與空氣熱對(duì)流Qouta以及與基地?zé)醾鲗?dǎo)方式損失的熱量Qoutd分別為

(3)

由熱平衡方程

Qg+Qin-Qout-Qouta-Qoutd=0

(4)

可得U型微電熱驅(qū)動(dòng)器溫度分布的瞬態(tài)偏微分方程：

(5)

式中:k為驅(qū)動(dòng)器與空氣熱對(duì)流系數(shù)，這里k取70 W/(m2·K)；Sm為驅(qū)動(dòng)器各臂與基底間的傳熱系數(shù)；由于驅(qū)動(dòng)器與基底間距只有數(shù)十微米，該傳熱強(qiáng)度介于熱傳導(dǎo)與熱對(duì)流之間，由文獻(xiàn)[13]計(jì)算得Sh、Sc和Sf分別取5 500、400和5 500 W/(m2·K)，T0為室溫。

圖1(b)所示的一維模型存在兩個(gè)間斷點(diǎn)，分別為熱臂與冷臂的連接處以及冷臂與柔性臂的連接處，間斷點(diǎn)處的溫度二階可導(dǎo)，即溫度和溫度的一階導(dǎo)數(shù)在間斷點(diǎn)處具有連續(xù)性。

假設(shè)驅(qū)動(dòng)器邊界處的溫度始終等于室溫，且瞬態(tài)偏微分方程的初始時(shí)刻條件如下：

Tm(x,0)=T0,m={h,c,f}

(6)

代入式( 5 )可進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

(7)

式中：u表示絕對(duì)溫度，即實(shí)際溫度T與室溫T0之差。

U型微電熱驅(qū)動(dòng)器的邊界條件和初始時(shí)刻條件分別為

(8)

um(x,0)=0,m={h,c,f}

(9)

在方程組(6)中對(duì)溫度關(guān)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)采用歐拉前向差分法進(jìn)行時(shí)域離散，可得

(10)

其中：

(11)

(12)

式中:Δt為求解時(shí)間步長(zhǎng)，n為時(shí)間步序號(hào)，g(n)為材料參數(shù)更新函數(shù),且g(n)=[n/ns]n。

采用差分法對(duì)空間域中的間斷點(diǎn)處所滿足的方程進(jìn)行離散，有

(13)

其中：

(14)

得到瞬態(tài)模型求解矩陣方程如圖3所示。

圖3 U型電熱驅(qū)動(dòng)器瞬態(tài)模型求解矩陣方程

1.2 熱力耦合模型

因?yàn)閁型微電熱驅(qū)動(dòng)器冷臂末端的彎曲變形最大，所以將此處的撓度視為驅(qū)動(dòng)器的位移。將驅(qū)動(dòng)器視為超靜定桿結(jié)構(gòu)，根據(jù)虛功原理，在不考慮熱變形并去除熱臂與冷臂連接處約束的情況下，假設(shè)驅(qū)動(dòng)器熱臂與冷臂連接處存在相互作用力，驅(qū)動(dòng)器冷臂與熱臂間的變形差等于其在熱應(yīng)力作用下的變形差，則通過(guò)該相互作用力計(jì)算得到的驅(qū)動(dòng)器位移為熱應(yīng)力作用下的位移。驅(qū)動(dòng)器受力情況如圖1(c)所示。

結(jié)合電-熱耦合分析得到的溫度分布，U型電熱驅(qū)動(dòng)器上各臂的熱膨脹變形為

m={h,c,f}

(15)

熱臂與其他兩臂的熱膨脹變形差Δld為

Δld=Δlh-Δlc-Δlf

(16)

軸向力Fx對(duì)柔性臂和冷臂作用的力矩Mx為

Mx=Fx(g+(Wh+Wf)/2)

(17)

式中g(shù)為熱臂與冷臂之間的間隙寬度。

力Fx對(duì)熱臂軸向壓縮的變形量為

δhx=FxLh/(EWhd)

(18)

設(shè)ω和θ為某一作用力作用下某臂所產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角以及相對(duì)位移和相對(duì)轉(zhuǎn)角，根據(jù)材料力學(xué)梁彎曲變形理論[14]以及多段剛度法[15]，有

(19 )

在Fy作用下冷臂和Fx作用下冷臂末端總的彎曲撓度和轉(zhuǎn)角分別為

(20)

根據(jù)壓縮和彎曲變形以及熱膨脹變形差Δld，熱臂末端的位置(Hx,Hy)為

(21)

在力矩Mx和力Fy作用下，驅(qū)動(dòng)器變形后的冷臂末端位置(Cx,Cy)為

(22)

根據(jù)超靜定結(jié)構(gòu)原理得到非線性方程組為

(23)

由此可得驅(qū)動(dòng)器的位移為

S=ωfx+ωcx0-ωfy-ωcy0

(24)

1.3 微電熱驅(qū)動(dòng)器理論模型驗(yàn)證

本文所研究的微電熱驅(qū)動(dòng)器的結(jié)構(gòu)尺寸如表1所示。

表1 U型微電熱驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)參數(shù)

微電熱驅(qū)動(dòng)器的材料均為高濃度P型摻雜單晶硅，表2給出了室溫下單晶硅的熱學(xué)和力學(xué)材料參數(shù)。

表2 室溫下單晶硅的熱學(xué)和力學(xué)材料參數(shù)

單晶硅的部分材料性質(zhì)會(huì)隨著溫度的升高而發(fā)生顯著的變化，其導(dǎo)熱系數(shù)、電阻率和熱膨脹系數(shù)與溫度T關(guān)系的擬合公式分別如下[16]：

(25)

根據(jù)上述數(shù)據(jù)在ANSYS軟件內(nèi)建立U型微電熱驅(qū)動(dòng)器有限元分析模型，如圖4所示。假設(shè):錨點(diǎn)下底面溫度始終等于室溫；另一方面，對(duì)錨點(diǎn)下底面施加固定位移條件(0 m)；在兩錨點(diǎn)的頂面分別施加電勢(shì)條件(16 V)和(0 V)；對(duì)驅(qū)動(dòng)器熱臂與柔性臂的底面、冷臂的底面和驅(qū)動(dòng)器的剩余面施加熱對(duì)流條件，熱對(duì)流系數(shù)分別為Sh、Sc和k。

圖4 U型電熱驅(qū)動(dòng)器三維幾何模型

在14 V和18 V電壓作用下，U型電熱驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)位移理論計(jì)算與仿真結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯鯱型電熱驅(qū)動(dòng)器的理論瞬態(tài)位移和仿真瞬態(tài)位移總體吻合較好，驗(yàn)證了構(gòu)建的電-熱-力耦合模型的正確性；但在曲線峰值處的相差較大，且隨著加載電壓的增加，該處的偏差也逐漸增大。

圖5 不同電壓情況下驅(qū)動(dòng)器的理論與仿真瞬態(tài)位移

2 微電熱驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)位移測(cè)試系統(tǒng)

2.1 高速光學(xué)動(dòng)態(tài)測(cè)量系統(tǒng)的搭建

采用基于高速攝影的MEMS結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)測(cè)試技術(shù)，搭建微電熱驅(qū)動(dòng)器高速光學(xué)動(dòng)態(tài)測(cè)量系統(tǒng)，如圖6所示。

圖6 微電熱驅(qū)動(dòng)器高速光學(xué)動(dòng)態(tài)測(cè)量系統(tǒng)

將顯微鏡聚焦于U型微電熱驅(qū)動(dòng)器的冷臂末端，并對(duì)其進(jìn)行放大，再將高速攝像機(jī)對(duì)準(zhǔn)顯微鏡目鏡，為保證拍攝過(guò)程中有足夠的光照強(qiáng)度，將光源完全對(duì)著鏡筒照明。

2.2 驅(qū)動(dòng)器位置特征提取方法

單獨(dú)采用Canny算子[17]對(duì)圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)時(shí)，背景部分的噪聲較大，所以采用了差分與Canny算子融合邊緣檢測(cè)算法。微電熱驅(qū)動(dòng)器圖像處理流程如圖7所示。圖7中，在不考慮尺寸誤差的情況下，驅(qū)動(dòng)器運(yùn)動(dòng)所掃過(guò)的區(qū)域接近于矩形。差分與Canny算子融合邊緣檢測(cè)算法的精度為像素級(jí)，能夠精確地檢測(cè)出邊緣點(diǎn)位于某個(gè)像素點(diǎn)內(nèi)，但不能精確得知圖像邊緣位于像素點(diǎn)的具體位置。測(cè)量誤差需要對(duì)圖像標(biāo)尺(邊框)進(jìn)行計(jì)算，從而得到圖像中一個(gè)像素點(diǎn)的長(zhǎng)度，經(jīng)計(jì)算可知誤差通常<4 μm。光學(xué)測(cè)量結(jié)果和邊緣檢測(cè)結(jié)果分別如圖8和圖9所示。

圖7 差分與Canny算子融合邊緣檢測(cè)算法下微電熱驅(qū)動(dòng)器圖像處理流程

(a) 初始狀態(tài) (b) 電壓作用200 ms時(shí)

(a) 初始狀態(tài) (b) 電壓作用200 ms時(shí)

3 微電熱驅(qū)動(dòng)器瞬態(tài)位移分析

3.1 穩(wěn)態(tài)電壓激勵(lì)

在14 V和18 V電壓作用下U型微電熱驅(qū)動(dòng)器瞬態(tài)位移理論、仿真和實(shí)驗(yàn)曲線如圖10所示。由圖10可以看出，理論、仿真曲線與實(shí)驗(yàn)動(dòng)態(tài)位移曲線三者的變化趨勢(shì)基本一致。在恒定電壓的作用下，驅(qū)動(dòng)器位移迅速達(dá)到最大值，此后位移出現(xiàn)微小的減小并逐漸趨于穩(wěn)定。這是因?yàn)閁型微電熱驅(qū)動(dòng)器的冷臂與熱臂的溫差很大，在熱臂迅速到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，冷臂仍然繼續(xù)從熱臂吸熱升溫并逐漸到達(dá)穩(wěn)態(tài)。期間，熱臂和冷臂的變形差會(huì)不斷減小，造成位移在達(dá)到最大值后也會(huì)不斷減小，即出現(xiàn)位移回落現(xiàn)象。隨著電壓的增大，U型微電熱驅(qū)動(dòng)器位移達(dá)到最大值的時(shí)間越短，回落現(xiàn)象也越明顯。由于理論建模和仿真分析中沒(méi)有考慮冷熱臂間空氣間隙換熱的影響，而在14 V電壓作用下，熱臂溫度相對(duì)較低，可借助空氣間隙的換熱較快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，因此位移回落現(xiàn)象不明顯；而在18 V電壓作用下，空氣間隙換熱對(duì)熱臂溫度下降的影響較小，因此位移回落現(xiàn)象相對(duì)明顯。

圖10 不同電壓下驅(qū)動(dòng)器理論、仿真和實(shí)驗(yàn)瞬態(tài)位移對(duì)比圖

3.2 正弦電壓激勵(lì)

U型微電熱驅(qū)動(dòng)器在頻率為50 Hz、峰峰值為16 V、偏置為+8 V 和峰峰值為8 V、偏置為+12 V的兩種正弦電壓作用下，前10個(gè)周期中電壓相位為0°和90°時(shí)的位移與在第13、14個(gè)周期中的位移如圖11所示。在圖11(a)中，隨著周期的增加，同一電壓相位處的驅(qū)動(dòng)器位移逐漸增加，并最終到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)；峰峰值16 V電壓下，驅(qū)動(dòng)器位移的峰峰值約為20 μm，而峰峰值8 V電壓下，驅(qū)動(dòng)器位移的峰峰值約為10 μm。從圖11(b)中可以看出，在正弦偏置電壓作用下，U型微電熱驅(qū)動(dòng)器的位移最終也類似于正弦變化，且運(yùn)動(dòng)周期與電壓變化周期相等；等效電壓值越大，驅(qū)動(dòng)器的位移均值越大。

(a) 不同周期特定相位

(b) 不同相位

在頻率為100 Hz、峰峰值為16 V、偏置為+8 V和峰峰值為8 V、偏置為+12 V的兩種正弦電壓作用下，前20個(gè)周期中電壓相位為0°和72°時(shí)的位移與在第26、27個(gè)周期中的位移如圖12所示。由圖12可知,隨著頻率的增加，U型微電熱驅(qū)動(dòng)器的位移變化幅度逐漸減小，但位移均值不變。

(a)不同周期特定相位

(b)不同相位

4 結(jié) 論

1)建立了U型電熱微驅(qū)動(dòng)器的電熱耦合模型以及熱力耦合模型，并與仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。不同加載電壓下，通過(guò)理論模型得到的驅(qū)動(dòng)器穩(wěn)態(tài)位移與仿真、實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本相符，但由于無(wú)法準(zhǔn)確獲得導(dǎo)熱系數(shù)、對(duì)流系數(shù)等熱耗散系數(shù)值與溫度之間的關(guān)系，在電壓加載初始階段，由于采用的熱耗散系數(shù)大于實(shí)際值，驅(qū)動(dòng)器溫度升高較慢，從而導(dǎo)致理論和仿真位移的增加較慢。

2)搭建了高速光學(xué)動(dòng)態(tài)測(cè)量系統(tǒng)平臺(tái)，采用差分與Canny算子融合的邊緣檢測(cè)算法，實(shí)現(xiàn)了微電熱驅(qū)動(dòng)器動(dòng)態(tài)特性的測(cè)量，U型微電熱驅(qū)動(dòng)器在恒定電壓作用下的位移響應(yīng)測(cè)量結(jié)果與理論和仿真結(jié)果對(duì)比表明，測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量結(jié)果較為可靠。

3)在正弦電壓作用下，在前幾個(gè)周期內(nèi)(非穩(wěn)定狀態(tài)下)位移隨時(shí)間逐漸增大，與穩(wěn)態(tài)電壓作用時(shí)情況較為相似；穩(wěn)定狀態(tài)下微電熱驅(qū)動(dòng)器位移變化趨勢(shì)同樣呈現(xiàn)正弦規(guī)律變化，且變化周期與電壓周期相等；隨著電壓峰峰值的減小以及頻率的增加，微電熱驅(qū)動(dòng)器的位移變化幅度逐漸減小，但位移均值不變。