基于Copula函數(shù)的直覺模糊隨機(jī)多屬性決策方法

孫宇坤，劉小弟，張世濤

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

在實際決策過程中，由于決策者掌握的信息不完全，評價信息表現(xiàn)出模糊性。為此，ZADEH[1]提出了模糊集，將隸屬度函數(shù)取值由0或1擴(kuò)展到閉區(qū)間[0,1]上，以處理此種不確定問題。但是模糊集存在只考慮隸屬度的缺陷，ATANASSOV[2]提出直覺模糊集的概念，同時考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度，在處理不確定方面比模糊集更準(zhǔn)確，更能反映客觀情況。多年來，不乏有學(xué)者在直覺模糊環(huán)境下對多屬性決策問題進(jìn)行研究。SZMIDT等[3]從幾何角度定義了直覺模糊集之間的距離測度。XU[4]定義了幾種直覺模糊集結(jié)算子，并研究其性質(zhì)。羅敏等[5]提出一種直覺模糊相似性測度，將其應(yīng)用于多屬性決策中。YU等[6]提出一種直覺模糊多目標(biāo)線性規(guī)劃模型，將其應(yīng)用于投資決策中。但上述多屬性決策問題僅僅考慮了一種自然狀態(tài)，忽視了不同風(fēng)險狀態(tài)對決策結(jié)果的影響，且未考慮決策者面對風(fēng)險時的心理變化特征。在實際決策過程中，尤其是新產(chǎn)品的開發(fā)或投資項目選擇等，決策方案在不同市場條件下的表現(xiàn)往往不同。因此，需要綜合考慮不同風(fēng)險狀態(tài)及決策者相應(yīng)的心理變化因素，從而做出更加科學(xué)合理的決策。

隨機(jī)決策又稱風(fēng)險型決策，指決策者面臨多種可能的自然狀態(tài)，并可預(yù)估各自然狀態(tài)的發(fā)生概率。當(dāng)決策者面對不同風(fēng)險情境時，很難保證其決策行為完全理性。由此，行為科學(xué)研究者基于有限理性假設(shè)提出了不同行為決策理論，如前景理論[7]、后悔理論[8]等。張曉等[9]考慮多種信息，提出一種風(fēng)險決策方法。HU等[10]利用前景理論求解直覺模糊隨機(jī)決策問題。呂俊娜等[11]基于前景理論對決策者的行為展開演化博弈研究，為如何保持合作穩(wěn)定性提出可靠建議。前景理論考慮了決策者的損失規(guī)避心理，但是存在參數(shù)較多，不利于計算等缺點(diǎn)。與之相比，后悔理論不僅可以抓住所選產(chǎn)品和未選產(chǎn)品之間的性能差異，還可以量化決策者對后悔的厭惡程度。ZHANG等[12]基于后悔理論研究了具有多維偏好和不完全權(quán)重信息的群決策問題。劉小弟等[13]定義了一種群體滿意度，并將后悔理論應(yīng)用于猶豫模糊隨機(jī)決策。關(guān)于直覺模糊多屬性決策的研究引發(fā)了較多的關(guān)注，然而現(xiàn)有決策方法，尤其是直覺模糊隨機(jī)決策還有以下問題值得進(jìn)一步探討：①現(xiàn)有直覺模糊隨機(jī)決策問題，均假設(shè)風(fēng)險狀態(tài)概率已知；②運(yùn)用前景理論求解直覺模糊隨機(jī)決策問題，涉及的參數(shù)較多，計算量也較大。值得一提的是，朱輪等[14]運(yùn)用證據(jù)理論得到各狀態(tài)的概率，但是需要專家事先給出自然狀態(tài)集的基本信度分配等信息，且沒有考慮不同風(fēng)險狀態(tài)下決策信息間的相互關(guān)系。

Copula函數(shù)是一種研究非線性問題的有效工具，可以將邊際分布相連接，構(gòu)造聯(lián)合分布函數(shù)。TAO等[15]基于Copula函數(shù)定義了直覺模糊環(huán)境下的集結(jié)算子。PAN等[16]基于Copula函數(shù)和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)提出一種自適應(yīng)模型，用以解決多屬性決策問題。宋仁旺等[17]基于Copula函數(shù)提出一種多退化量下的剩余壽命預(yù)測方法。Copula函數(shù)不僅可以反映決策屬性的相關(guān)性，還能有效避免信息的丟失。鑒于此，筆者運(yùn)用Copula函數(shù)確定各屬性值在不同風(fēng)險狀態(tài)的發(fā)生概率，客觀求解風(fēng)險狀態(tài)概率范疇，從而減少決策者主觀隨意性帶來的影響。然后，利用后悔理論處理直覺模糊隨機(jī)決策問題，刻畫決策者在面對風(fēng)險時的心理行為特征，有效避免運(yùn)用前景理論時存在的局限性，如選擇參考點(diǎn)、參數(shù)較多且計算復(fù)雜等。因此，針對風(fēng)險狀態(tài)概率未知的直覺模糊隨機(jī)決策問題提出的新的求解思路，進(jìn)一步豐富和發(fā)展了直覺模糊決策理論與方法。

1 預(yù)備知識

1.1 直覺模糊集

定義1給定論域X，則直覺模糊集A={〈x,uA(x),vA(x)〉|x∈X}。其中，uA:X→[0,1]表示x屬于A的隸屬度；vA:X→[0,1]表示x屬于A的非隸屬度，且0≤uA(x)+vA(x)≤1，x∈X。稱πA(x)=1-uA(x)-vA(x)為x屬于A的猶豫度。

方便起見，簡稱α=〈u,v〉=〈uA,vA〉為直覺模糊數(shù)。此外，直覺模糊數(shù)α=〈u,v〉可轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)[u,1-v]。

定義2[18]對于直覺模糊數(shù)α=〈u,v〉，其得分函數(shù)S(α)=u-v，-1≤S(α)≤1。S(α)表示支持程度與反對程度的差值，得分函數(shù)越大，直覺模糊數(shù)越大。

定義3[19]對于直覺模糊數(shù)α=〈u,v〉，其精確度函數(shù)G(α)=u+v，0≤G(α)≤1。當(dāng)?shù)梅趾瘮?shù)值相同時，精確度函數(shù)值越大，直覺模糊數(shù)越大。

1.2 Copula函數(shù)

Copula函數(shù)是用一維邊緣分布的組合來表示多元聯(lián)合分布的函數(shù)，可以描述變量之間的相關(guān)性，尤其在描述非線性相關(guān)變量的結(jié)構(gòu)和依賴程度方面提供了有力工具。

定義6[20]若二元函數(shù)ζ:[0,1]2→[0,1]，滿足以下條件：ζ(x,1)=ζ(1,x),ζ(x,0)=ζ(0,x)=0；ζ(x1,y1)+ζ(x2,y2)-ζ(x1,y2)-ζ(x2,y1)≥0;且x、xi、yi∈[0,1]，i=1,2,x1≤y1,x2≤y2，則稱ζ為Copula函數(shù)。常見的3種Copula函數(shù)形式如表1所示。

表1 常用Copula函數(shù)及其似然函數(shù)

定理1(Sklar 定理)若函數(shù)H(x,y)是分布函數(shù)f(x)和g(y)的聯(lián)合分布函數(shù)，則存在Copula函數(shù)ζ，使得對?x,y∈R,有H(x,y)=ζ(f(x),g(y);ρ)。其中，f(x)、g(y)分別為隨機(jī)變量x、y的邊緣分布，ρ∈R為Copula函數(shù)的參數(shù)。

1.3 后悔理論

后悔理論是行為決策理論中的一種，可以模擬決策者的后悔規(guī)避心理。在實際情境中，決策者往往會將選擇的方案和未選的方案進(jìn)行比較。若選擇其他方案有更好的結(jié)果，則決策者會后悔，反之會欣喜，且決策者更傾向選擇使其欣喜的方案，同時拒絕使其后悔的方案。決策者的感知效用函數(shù)是由當(dāng)前結(jié)果的效用函數(shù)和后悔-欣喜函數(shù)兩部分組成：

U(Ai)=V(zi)+R(V(zi)-V(zk))

(1)

式中：zi和zk分別為選擇方案Ai和Ak可能獲得的結(jié)果；V(zi)和V(zk)分別為選擇方案Ai和Ak的效用；ΔV=V(zi)-V(zk)為兩方案之間的效用差；U(Ai)為決策者選擇方案Ai的感知效用值；R(V(Ai)-V(Ak))為方案Ai與方案Ak相比較后獲得的后悔-欣喜值，若R(V(zi)-V(zk))>0，則表示選擇方案Ai拒絕Ak，決策者是欣喜的，反之表示決策者是后悔的。

此外，后悔-欣喜值函數(shù)R(·)是單調(diào)遞增的凹函數(shù)，當(dāng)R(0)=0時，表示兩方案效果相同，決策者既不會后悔，又不會欣喜。采用函數(shù)R(·)=1-exp(-δ·ΔV)表示后悔-欣喜函數(shù)。其中，δ∈[0,∞)為后悔規(guī)避系數(shù)，δ越大表示決策者的后悔規(guī)避程度越大，反之亦然。

2 決策方法

2.1 問題描述

(2)

2.2 屬性值概率確定方法

(3)

其中，參數(shù)ρ可通過極大似然估計獲得：

(4)

(2)利用AIC準(zhǔn)則從3種Copula函數(shù)模型中選擇最優(yōu)模型：

(5)

式中：L為Copula函數(shù)似然值；l為樣本個數(shù)；K為被估計的參數(shù)個數(shù)。AIC準(zhǔn)則可用于評價不同種類的Copula函數(shù)對數(shù)據(jù)的擬合效果。AIC值越小，擬合效果越好，從而選擇相應(yīng)的Copula函數(shù)。通過Matlab等數(shù)學(xué)軟件確定3種模型各自的概率Pij(t)、參數(shù)ρ及AIC值。

(3)根據(jù)選擇的最優(yōu)Copula函數(shù)確定概率，并將得到的概率Pij(t)歸一化：

(6)

(7)

exp(-δ·d-)=2-exp(δ·d+)-

exp(-δ·d-)

(8)

式中：δ為后悔規(guī)避系數(shù)；d+和d-分別為屬性值與正理想點(diǎn)〈1,0〉和負(fù)理想點(diǎn)〈0,1〉之間的海明距離。

(9)

綜上，方案Ai在屬性Cj下的感知效用值為：

exp(δ·d+)-exp(-δ·d-)

(10)

2.3 屬性權(quán)重的確定方法

針對屬性權(quán)重未知情形，提出屬性權(quán)重確定方法。首先，考慮到最大熵原理是在滿足約束條件下選擇熵最大的解，即在求解過程中添加的信息量最少[22]。其次，感知效用值μij反映了決策者在屬性Cj下選擇方案Ai的后悔與欣喜心理，體現(xiàn)了決策者后悔與欣喜程度。感知效用值越大，方案越優(yōu)。因此，基于感知效用值與最大熵原理構(gòu)建如下屬性權(quán)重確定模型(M1)：

(11)

命題1模型M1的最優(yōu)解一定存在。

為求解模型M1，建立拉格朗日函數(shù)L(wj,λ)，分別對wj和λ求偏導(dǎo)，并令其等于零，可求得權(quán)重wj。

(12)

(13)

則方案Ai的綜合感知效用值U(Ai)為：

(14)

3 案例分析

3.1 算例

表2 市場環(huán)境好時的決策矩陣D1

表3 市場環(huán)境中時的決策矩陣D2

表4 市場環(huán)境差時的決策矩陣D3

(1)屬性C1、C2為效益型屬性，C3為成本型屬性，利用式(2)對各屬性進(jìn)行規(guī)范化處理。

(2)確定最優(yōu)的Copula函數(shù)。以方案A1的屬性(C1)值在3種風(fēng)險狀態(tài)下為例：①將規(guī)范化后的直覺模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)，得到[0.8,0.9],[0.7,0.83],[0.63,0.78]，按式(4)得到各模型的參數(shù)，如表5所示；②由式(5)可知，當(dāng)樣本個數(shù)和參數(shù)個數(shù)相同時，似然值越大，AIC值越小，故只需要計算各模型的似然值即可選擇出最優(yōu)模型。各模型的似然值如表5所示，因此方案A1的屬性(C1)值選擇Frank Copula函數(shù)，其中ρ=10.326 3，其余各屬性值對應(yīng)的最優(yōu)Copula函數(shù)如表6所示。

表5 選擇最優(yōu)模型

表6 各屬性值最優(yōu)模型

表7 A1各屬性值在3種風(fēng)險狀態(tài)下的概率

表8 A2各屬性值在3種風(fēng)險狀態(tài)下的概率

表9 A3各屬性值在3種風(fēng)險狀態(tài)下的概率

表10 綜合評價矩陣

(4)令γ=0.88，δ=0.3，基于綜合評價矩陣Z與式(10)，求得感知效用矩陣U=(μij)3×3，如表11所示。

(5)基于感知效用矩陣U=(μij)3×3，運(yùn)用優(yōu)化模型M1求得屬性權(quán)重：w1=0.417,w2=0.230,w3=0.353。

表11 感知效用矩陣

(6)根據(jù)式(14)計算各方案的綜合感知效用值分別為：U(A1)=0.429 1，U(A2)=-0.037 3，U(A3)=0.151 5。因此，A1>A3>A2。

3.2 對比分析

3.2.1 與前景理論比較

文獻(xiàn)[10]方法的基本思想為：①確定3種風(fēng)險狀態(tài)下各屬性值的最大值和最小值，從而計算中間值，得到4個參考點(diǎn)(A、B、C、D)；②計算各方案在不同參考點(diǎn)下的加權(quán)前景值；③根據(jù)加權(quán)前景值的大小進(jìn)行排序。

每個參考區(qū)間下得到的排序結(jié)果與筆者得到的排序結(jié)果不盡相同，如表12所示。造成這種差異的主要原因在于：①雖然兩者都反映了決策者的心理行為，但側(cè)重點(diǎn)不同，前景理論強(qiáng)調(diào)損失規(guī)避，文獻(xiàn)[10]由決策者給出4個參考區(qū)間，用以反映決策者的風(fēng)險態(tài)度，并根據(jù)實際情況，調(diào)整參考區(qū)間，但是這將增加決策結(jié)果的不確定性，而后悔理論則關(guān)注后悔規(guī)避心理；②前景理論參數(shù)較多，計算量大，筆者運(yùn)用后悔理論很好地避免了這方面的不足，基于后悔理論得到的感知效用值還量化了對后悔厭惡的影響；③文獻(xiàn)[10]中假設(shè)風(fēng)險狀態(tài)發(fā)生概率和屬性權(quán)重已知，而筆者分別通過Copula函數(shù)和優(yōu)化模型確定，Copula函數(shù)在保留數(shù)據(jù)相關(guān)性的情況下得到方案各屬性值在不同狀態(tài)下的概率，模型M1基于最大熵思想建立，在滿足約束條件下添加最少的信息，因而所得的結(jié)果更加合理可靠，總體也更有利于應(yīng)對不確定決策環(huán)境。

表12 不同參考點(diǎn)得到的排序結(jié)果

3.2.2 與直覺模糊加權(quán)平均算子比較

基于綜合評價矩陣Z=(zij)3×3和屬性權(quán)重(0.417,0.23,0.353)，根據(jù)定義計算每個方案的綜合屬性值。然后，根據(jù)定義2計算各方案得分函數(shù)：S(A1)=0.582 2,S(A2)=0.403 1,S(A3)=0.495 4，則A1>A3>A2。與筆者得到的排序結(jié)果相同，說明筆者所提方法合理。相比之下：①筆者方法不僅體現(xiàn)出決策者的有限理性行為，計算量更少，且結(jié)果區(qū)分度更大，如方案A2的綜合感知效用值為負(fù)，反映決策者選擇A2是后悔的，同理選擇A1、A3是欣喜的；②利用直覺模糊加權(quán)平均算子進(jìn)行信息集結(jié)，需要事先確定屬性權(quán)重與各屬性值風(fēng)險狀態(tài)概率，筆者給出客觀確定屬性權(quán)重和風(fēng)險狀態(tài)概率方法，為直覺模糊環(huán)境下的隨機(jī)決策問題提供一種新的求解思路。

3.2.3 與直覺模糊散度比較

vA(xi)|-|uA(xi)-vA(xi)|2]

(15)

(16)

|vA(xi)-vB(xi)|-|uA(xi)-uB(xi)|·

|vA(xi)-vB(xi)|]

(17)

表13 不同風(fēng)險狀態(tài)下的屬性權(quán)重

表14 不同風(fēng)險狀態(tài)下的散度值

4 結(jié)論

(1)針對隨機(jī)決策中風(fēng)險狀態(tài)概率未知的問題，依據(jù)Copula函數(shù)求出各屬性值在不同狀態(tài)下的概率，減少決策者主觀隨意性帶來的影響，進(jìn)一步豐富了直覺模糊隨機(jī)決策理論方法。

(2)多屬性決策問題中確定屬性權(quán)重十分重要。根據(jù)最大熵原理，建立數(shù)學(xué)模型計算屬性權(quán)重。

(3)運(yùn)用后悔理論刻畫決策者心理行為，并結(jié)合優(yōu)化模型確定屬性權(quán)重。根據(jù)方案的綜合感知效用值對方案進(jìn)行排序，通過對比分析證明該方法的有效性和可行性。