信號增降采樣與濾波實驗教學研究

魏少明，林應斌，王 俊

（北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京 100191）

數(shù)字信號處理是20 世紀中葉發(fā)展起來的一門以微積分、差分方程等數(shù)學知識為基礎的工程科學技術(shù)。智能制造、人工智能和航空航天等新產(chǎn)業(yè)、新經(jīng)濟的快速發(fā)展對數(shù)字信號處理教學培養(yǎng)提出了新的要求[1]。

在數(shù)字信號處理的實際應用中，通常會面臨改變一個離散時間信號采樣率的問題，要么將它增加某個量，要么將它減少某個量。通過升降采樣處理，以不同的采樣率得到以同一個連續(xù)時間信號為基礎的新的離散時間序列，該過程稱為采樣率轉(zhuǎn)換[2-5]。

為實現(xiàn)對干擾信號的濾除，可以采用無限沖激響應（IIR）濾波器和有限沖激響應（FIR）濾波器兩種離散時間濾波器[6-8]。

FIR 濾波器有精確的線性相移，在設計上比IIR 有更多的可控之處，適用于各種實際情況[9]。FIR 濾波器的設計采用多項式逼近，具體方法包括窗函數(shù)法、頻率抽樣法和最佳逼近法。窗函數(shù)法比較簡單，它的頻率特性是理想頻率響應與窗函數(shù)傅里葉變換的周期卷積，因此，頻率特性主要取決于窗函數(shù)的類型和長度。頻率抽樣法比較直觀，但由于頻域采樣會造成時域混疊，為提高濾波器性能，可以在過渡帶加上0～1 之間的過渡點[10]。本實驗主要采用窗函數(shù)設計法[11]。FIR 濾波器的實現(xiàn)，可以采用兩種方式實現(xiàn)：時域卷積和差分方程[12]。

一、實驗原理

采樣是將一個信號（即時間或空間上的連續(xù)函數(shù)）轉(zhuǎn)換成一個數(shù)值序列（即時間或空間上的離散函數(shù)）。采樣定理指出，如果信號是帶限的，并且采樣頻率大于信號頻率的兩倍，即fs≥2fm，那么，原來的連續(xù)信號可以從采樣樣本x[n]中通過重構(gòu)公式完全恢復出來其中，采樣周期為T=1/fs[13]。在MATLAB 中提供了理想內(nèi)插器函數(shù)interp（x，I），調(diào)用方法是[y，h]=interp（x，I），該函數(shù)用于將數(shù)組x 中的信號以I 倍原采樣率重新采樣，所得重采樣數(shù)組y 是原數(shù)組的I倍長。其中，輸入?yún)?shù)：x 為有限長離散信號序列，可以是實數(shù)也可以是復數(shù)；I 為增采樣倍數(shù)，要求為整數(shù)。輸出參數(shù)：y 為重采樣數(shù)組，是原數(shù)組x 的I 倍長；h 為用于插值的濾波器系數(shù)。

濾波器是一種能夠讓某些頻率分量通過而拒絕其他頻率成分或?qū)δ承╊l率成分進行修正的系統(tǒng)。窗函數(shù)法設計FIR 濾波器時，在MATLAB 中提供的濾波設計函數(shù)有fir1（），此函數(shù)可以設計低通、高通、帶通和帶阻濾波器[14]。設計低通或帶通濾波器時，調(diào)用方法是b=fir1（N，Wn），其中，N 是濾波器的階數(shù)；Wn 是歸一化截止頻率，對于低通濾波器，它是0 和1 之間的一個數(shù)，對于帶通濾波器，它是包含通帶邊界的向量[Wn1，Wn2]，其中0＜Wn1＜Wn2＜1；向量b 是濾波器的脈沖響應序列。設計高通濾波器時，調(diào)用方法是b=fir1（N，Wn，’high’），其中N 為偶數(shù)。設計帶阻濾波器時，調(diào)用方法是b=fir1（N，Wn，’stop’），其中Wn 是一個雙元素向量。對于窗函數(shù)類型的選擇，調(diào)用方法是b=fir1（N，Wn，taper），其中taper 是長度為N+1 的窗函數(shù)序列，可以采用不同的MATLAB 函數(shù)來產(chǎn)生對應的窗函數(shù)序列taper=blackman（N），taper=hamming（N），taper=hanning（N），taper=chebwin（N），taper=kaiser（N，beta）。

MATLAB 中同時提供了另一種FIR 濾波器設計函數(shù)fir2，可以設計任意形狀幅度響應的FIR 濾波器。調(diào)用方法是b=fir2（N，fpts，mval），其中，fpts 是頻率點向量，在0 到1 范圍內(nèi)以遞增順序排列，其中采樣頻率被假定為2 Hz；mval 是對應頻率點的幅度值向量，和fpts的長度一樣；b 是長度為N+1 的脈沖響應序列。為使用不同的窗函數(shù)序列，調(diào)用方法是b=fir2（N，fpts，mval，taper），其中taper 為窗函數(shù)序列。

FIR 濾波器的實現(xiàn)，可以采用兩種方式實現(xiàn)：時域卷積和差分方程。FIR 濾波器是一個線性時不變系統(tǒng)，其時域輸入和輸出關(guān)系可用卷積的方法描述，y[n]=x[n]×h[n]。對于FIR 濾波器，濾波器的脈沖響應h[n]為有限項，范圍從0 到M，信號x[n]通過濾波器的輸出為y[n]=x[n]×h[n]。通過卷積運算，可實現(xiàn)對輸入信號的濾波處理[15-16]。MATLAB 提供了計算線性卷積的函數(shù)conv，調(diào)用方法是w=conv（u，v），其中u 和v 是有限長度序列，w 是卷積結(jié)果序列。如果u 和v 的長度分別為N 和M，則w 的長度為N+M-1。FIR 濾波器的差分方程實現(xiàn)，MATLAB 提供了濾波函數(shù)filter，調(diào)用方法是y=filter（b，a，x）。其中b為FIR 濾波器的脈沖響應序列，a 設置為1，x 為濾波器輸入信號，y 為濾波輸出信號。

信號的頻譜分析，通過快速傅里葉變換實現(xiàn)。MATLAB 提供了快速傅里葉變換函數(shù)fft（x，N），調(diào)用方法是X=fft（x，N），該函數(shù)用于實現(xiàn)離散信號序列x 的N點FFT 計算。輸入?yún)?shù)：x 為有限長離散信號序列，可以是實數(shù)也可以是復數(shù)；N 是FFT 變換的長度。當缺N時，就以x 序列的長度作為FFT 變換的長度。設置N后，當x 序列的長度大于N 時，取x 序列N 長作FFT 變換（即對x 序列進行截斷）；當x 序列的長度小于N 時，在x 后補零至N 長再作FFT 變換。輸出參數(shù)：X 為x 的N 點FFT 結(jié)果。MATLAB 同時提供了頻譜居中搬移函數(shù)fftshift（x），調(diào)用方法是y=fftshift（x），該函數(shù)用于將fft 函數(shù)結(jié)果的零頻率點移至頻譜中心。輸入?yún)?shù)：x 為fft 函數(shù)計算結(jié)果。輸出參數(shù)：y 為頻譜居中后的FFT 結(jié)果。

二、實驗要求

實驗要求學生能夠掌握實驗所涉及的增降采樣和濾波器設計與實現(xiàn)的原理，并能夠?qū)嶋H應用。學生需要編寫實驗程序，對不同的正弦信號進行增降采樣、濾波和頻譜分析。其中，信號的重采樣、濾波器設計、濾波器實現(xiàn)部分，有不同的MATLAB 實現(xiàn)方法，學生需要對不同的方法進行嘗試和分析，從而尋找綜合性能和效率最優(yōu)的方法。

結(jié)合實驗的數(shù)據(jù)運用MATLAB 繪制出實驗程序的曲線，提高學生對MATLAB 的編程能力及知識運用能力。結(jié)合曲線分析實驗中的問題，得出實驗結(jié)論，提高學生對采樣定理，增降采樣方法，濾波器設計與實現(xiàn)，以及傅里葉變換的理解。

三、實驗過程

對不同頻率的正弦信號進行增降采樣、濾波和頻譜分析，繪制信號的時域波形和頻譜圖。

1.對模擬頻率為f0=3.5 kHz 的單頻正弦信號x（t）=cos（2πf0t）進行采樣，采樣率為fs=8 125 Hz，得到原始采樣信號x[n]=x（t）|nT，n=0，1，…，7 999。對采樣信號隔點抽取，形成2 倍降采樣信號y[n]=x[2n]。以采樣率2fs對x（t）進行采樣，得到2 倍采樣信號x0[n]=x（t）|nT0，n=0，1，…，通過重構(gòu)公式將原始連續(xù)信號重構(gòu)出來，以采樣率2fs對xr（t）進行采樣，獲得2 倍內(nèi)插信號z[n]，n=0，1，…，15 999；通過理想內(nèi)插器函數(shù)interp 對x[n]進行2 倍重采樣，獲得2 倍內(nèi)插信號z1[n]，n=0，1，…，15 999。

分析z[n]和z1[n]之間的差異，從中選擇最優(yōu)的2 倍內(nèi)插信號，并分析選擇的原因。繪制2 倍采樣信號與2倍內(nèi)插信號的時域波形以及波形差；繪制原始采樣信號、2 倍降采樣信號、2 倍采樣信號和2 倍內(nèi)插信號的頻譜圖。

2.對模擬頻率為f0=3.5 kHz 和f1=0.5 kHz 的雙頻正弦信號x（t）=cos（2πf0t）+cos（2πf1t）進行采樣，采樣率為fs=8 000 Hz，得到原始采樣信號x[n]=x（t）|nT，n=0，1，…，7 999。對采樣信號隔點抽取，形成2 倍降采樣信號y[n]=x[2n]。通過重構(gòu)連續(xù)信號，，以采樣率fs對y（rt）進行采樣，獲得內(nèi)插信號z[n]，n=0，1，…，7 999。通過理想內(nèi)插器函數(shù)interp 對y[n]進行2 倍重采樣，獲得內(nèi)插信號z1[n]，n=0，1，…，7 999。

分析z[n]和z1[n]之間的差異，從中選擇最優(yōu)的內(nèi)插信號，并分析選擇的原因。繪制原始采樣信號與內(nèi)插信號的時域波形以及波形差；繪制原始采樣信號、2 倍降采樣信號和內(nèi)插信號的頻譜圖。

3.模擬頻率為f0=3.5 kHz 的正弦原始信號，以及模擬頻率為f1=3.8 kHz 的正弦干擾信號，兩個信號在時域的混合信號為x（t）=cos（2πf0t）+cos（2πf1t），以采樣率fs=8 125 Hz 分別對正弦原始信號和混合信號進行采樣，得到原始采樣信號x0[n]=cos（2πf0t）|nT，混合采樣信號x[n]=x（t）|nT，n=0，1，…，7 999。設計一個FIR 濾波器，讓f0=3.5 kHz 的正弦信號通過，對f1=3.8 kHz 的正弦信號具有不低于50 dB 的抑制，混合采樣信號通過濾波器的輸出為y[n]。

采用fir1 和fir2 進行濾波器設計，采用時域卷積和差分方程進行濾波器實現(xiàn)。從中選擇最優(yōu)的濾波器設計和實現(xiàn)方法，并分析選擇的原因。繪制原始采樣信號與濾波信號的時域波形及波形差；繪制原始采樣信號、混合采樣信號和濾波信號的頻譜圖，分析在濾波信號中，對干擾信號的抑制是否不低于50 dB；分別調(diào)整兩個正弦信號的頻率，重復上述過程，并分析濾波器長度的變化規(guī)律。

四、實驗結(jié)果

根據(jù)實驗流程進行MATLAB 仿真，對三種情況下的信號進行時域增降采樣、濾波和頻譜分析。

單頻正弦信號的時域增采樣和頻譜分析，結(jié)果如圖1 所示。

從圖1 可以看出，2 倍采樣信號與2 倍內(nèi)插信號在時域和頻域上基本一致，表明在滿足采樣定理的條件下，信號的增采樣可以得到比較理想的結(jié)果。

圖1 單頻正弦信號的時域增采樣和頻譜分析結(jié)果

雙頻正弦信號的時域降采樣、增采樣和頻譜分析，結(jié)果如圖2 所示。

從圖2 可以看出，原始采樣信號與內(nèi)插信號在時域和頻域上差異很大，其中對滿足采樣定理的信號分量，信號的增采樣效果比較理想，但是對不滿足采樣定理的信號分量，無法進行有效的信號增采樣。

圖2 雙頻正弦信號的時域降采樣、增采樣和頻譜分析結(jié)果

混合信號的時域濾波和頻譜分析，結(jié)果如圖3 所示。

從圖3 可以看出，通過對比混合采樣信號和濾波信號的頻譜，可以看出濾波器對正弦干擾信號的抑制可以達到50 dB，滿足濾波器的實驗設計要求。不過由于濾波器的群延遲，導致濾波信號與原始采樣信號在時域上無法完全一致。通過該實驗可以讓學生加深對濾波器設計和濾波效果的理解。

圖3 混合信號的時域濾波和頻譜分析結(jié)果

五、實驗考核

本實驗的過程是一個比較完整的仿真設計實驗，需要經(jīng)歷學習研究、方案論證、實驗調(diào)試和設計總結(jié)等過程。鼓勵學生針對實驗需要解決的問題，嘗試不同的解決思路，結(jié)合實驗所得曲線、圖表分析不同思路的理論原理和優(yōu)缺點，并能結(jié)合思考題舉一反三、深入理解和透徹掌握實驗所涉及數(shù)字信號處理的知識點，實現(xiàn)知識的內(nèi)化。實驗考核部分分為以下幾個部分。

（1）實驗結(jié)果檢查：檢查學生的實驗操作規(guī)范，實驗結(jié)果準確合理。檢查過程中，讓學生現(xiàn)場修改實驗參數(shù)，然后運行信號采樣和濾波程序，考察學生是否能夠進行合理的實驗結(jié)果展示，是否能夠準確闡述實驗結(jié)果產(chǎn)生的原因。

（2）現(xiàn)場提問：對照學生的實驗結(jié)果，對實驗現(xiàn)象、實驗原理等環(huán)節(jié)進行提問，學生須現(xiàn)場驗證或回答，要求能從實驗原理出發(fā)論證實驗現(xiàn)象，或能從實驗現(xiàn)象出發(fā)探尋其中的實驗原理。尤其是信號的重采樣、濾波器設計及濾波器實現(xiàn)部分，學生需要展示不同MATLAB實現(xiàn)方法的差異，從中選擇性能最佳的方法，并闡釋不同方法的內(nèi)在機理和選擇性能最佳方法的原因。

（3）實驗數(shù)據(jù)：檢查學生在實驗過程中整理的數(shù)據(jù)是否完整、全面，繪制的實驗圖表是否清晰、直觀。

（4）實驗報告：檢查學生的實驗報告是否具有規(guī)范、完整性，對實驗原理的理解是否透徹，是否能根據(jù)實驗現(xiàn)象獨立思考做出總結(jié)，是否能正確回答實驗思考題。

六、結(jié)束語

為了讓學生深入掌握數(shù)字信號處理的信號采樣、濾波和頻譜分析的相關(guān)知識點，文章設計了信號增降采樣和濾波實驗。本實驗為MATLAB 仿真實驗。通過對三個不同正弦信號的采樣和濾波，實現(xiàn)采樣率的轉(zhuǎn)換和信號濾波。讓學生既能夠真正理解數(shù)字信號處理在實際工程中的應用，又能夠鞏固對增采樣、降采樣、濾波器設計、濾波器實現(xiàn)和快速傅里葉變換的理解。本實驗將理論與實際問題的解決相結(jié)合，將抽象的理論形象化、具體化，促進學生對抽象理論的理解；通過不同解決方法的實驗、分析與比較，進一步激發(fā)學生的探索與學習熱情。通過整個實驗過程，培養(yǎng)了學生的自主學習、獨立思考與綜合分析能力。