基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究

廣西南寧市第二中學(xué)（530001）王晉艷

一、研究背景

2014 年，教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》，并提出了在各學(xué)段培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的要求?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等6個(gè)方面。

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，在我們的實(shí)際生活中數(shù)學(xué)無(wú)處不在，數(shù)學(xué)模型的建立、數(shù)學(xué)知識(shí)的合理運(yùn)用推動(dòng)了科技、工程、經(jīng)濟(jì)等方面的發(fā)展，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，通常需要對(duì)已有數(shù)據(jù)與條件進(jìn)行分析，尋找合理的數(shù)學(xué)模型，所以需要有一定的數(shù)據(jù)分析能力。

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中若具備一定的數(shù)據(jù)分析能力，則能夠從數(shù)據(jù)中探究數(shù)學(xué)規(guī)律，尋找解決實(shí)際問(wèn)題的合理方法。在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)這一部分內(nèi)容時(shí)，需要學(xué)生從已有信息及數(shù)據(jù)中找出蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并進(jìn)行合理分析，借助數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析解決問(wèn)題。本文結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)與數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)要求，就高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)進(jìn)行初步的探討。

概率與統(tǒng)計(jì)是中考的必考內(nèi)容。初中所學(xué)的概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)主要有條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)與頻率、簡(jiǎn)單的概率計(jì)算等，其中涉及的概念有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等。中考數(shù)學(xué)中對(duì)這些相關(guān)內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在基本概念、基本計(jì)算方法上。但近年來(lái)中考數(shù)學(xué)的題型更加靈活多樣，要求學(xué)生具備一定的數(shù)據(jù)分析能力，能用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些生活中的實(shí)際問(wèn)題，這已經(jīng)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的初步要求。高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)主要通過(guò)已有數(shù)據(jù)尋找蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并做出合理的預(yù)測(cè)與決策。隨著人們對(duì)“大數(shù)據(jù)”的廣泛使用，高中數(shù)學(xué)教材中概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容近年來(lái)有所增加，并得到廣大師生更多的關(guān)注。初中數(shù)學(xué)涉及平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)方面的基本概念，高中數(shù)學(xué)在此基礎(chǔ)上增加的統(tǒng)計(jì)方面的內(nèi)容主要有頻率分布直方圖、莖葉圖、變量的相關(guān)關(guān)系、相關(guān)系數(shù)、一元線性回歸模型、列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)等；概率計(jì)算中主要增加了隨機(jī)抽樣，隨機(jī)事件的概率，古典概型，條件概率，離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征，超幾何分布，二項(xiàng)分布，正態(tài)分布，等等。與初中生相比，高中生主要是理性思維占主導(dǎo)，其運(yùn)算能力更強(qiáng)，對(duì)應(yīng)用題型的分析也更全面。那么，在高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，如何使學(xué)生較好地掌握知識(shí)，同時(shí)又能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和數(shù)據(jù)分析能力？對(duì)此，筆者有以下幾點(diǎn)思考。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)

高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)大部分內(nèi)容都來(lái)源于生活，因此教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)應(yīng)重視創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型研究問(wèn)題。一元線性回歸模型是近年來(lái)高考數(shù)學(xué)考查的“熱點(diǎn)”內(nèi)容之一，其涉及的數(shù)據(jù)十分繁雜，學(xué)生初學(xué)時(shí)常常無(wú)從下手，進(jìn)而產(chǎn)生畏難情緒。對(duì)此，教師可適當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生建立正確的回歸方程，并進(jìn)行合理的預(yù)測(cè)，為問(wèn)題解決方案的提出提供有力的數(shù)據(jù)支撐。學(xué)生了解建立數(shù)學(xué)模型解題的實(shí)際意義后，能提高學(xué)習(xí)的積極性，主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究。

高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中所列出的數(shù)據(jù)較多，可供選擇的數(shù)學(xué)模型也較多，究竟應(yīng)選擇哪一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題，通常是學(xué)生比較糾結(jié)的事情。比如在應(yīng)選擇超幾何分布還是二項(xiàng)分布來(lái)展開(kāi)計(jì)算的時(shí)候，不少學(xué)生就很難選擇。對(duì)此，可讓學(xué)生將題型相近或易混淆的內(nèi)容進(jìn)行對(duì)照學(xué)習(xí)，厘清不同模型的本質(zhì)特點(diǎn)，從而使學(xué)生能夠有效區(qū)分并選用正確的模型。教師還可以采取專題化的教學(xué)方法，比如在離散型隨機(jī)變量的分布列的教學(xué)中，超幾何分布與二項(xiàng)分布是重點(diǎn)內(nèi)容，教師可以引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展專題學(xué)習(xí)，對(duì)多種題型進(jìn)行反復(fù)深入研究，這樣有利于學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)。

近年來(lái)，高考數(shù)學(xué)中比較重要的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考點(diǎn)還有獨(dú)立性檢驗(yàn)，要解決其相關(guān)問(wèn)題往往先要填寫列聯(lián)表，這就要求學(xué)生能從所給數(shù)據(jù)中提煉、計(jì)算出所需數(shù)據(jù)，這個(gè)過(guò)程需要學(xué)生有一定的數(shù)據(jù)分析能力。2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷理科第18題的考查內(nèi)容關(guān)于概率與統(tǒng)計(jì)，試題第（1）問(wèn)考查頻數(shù)分布表的識(shí)別和概率的計(jì)算，第（2）問(wèn)考查平均數(shù)的計(jì)算，第（3）問(wèn)考查獨(dú)立性檢驗(yàn)。2021 年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科第17 題的考查內(nèi)容關(guān)于概率與統(tǒng)計(jì)，試題第（1）問(wèn)考查頻數(shù)分布表的識(shí)別和頻率的計(jì)算，第（2）問(wèn)考查獨(dú)立性檢驗(yàn)。筆者對(duì)照近幾年的高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷理科試題發(fā)現(xiàn)，2018 年、2020年、2021 年關(guān)于概率與統(tǒng)計(jì)的試題第（2）或第（3）問(wèn)都考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)。在進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)運(yùn)算前，學(xué)生必須進(jìn)行前期的數(shù)據(jù)處理。因此，教師在進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，一方面應(yīng)做好前期的鋪墊，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)頻數(shù)分布圖、頻率分布直方圖、莖葉圖等多種圖表提取相關(guān)數(shù)據(jù)并理解題意；另一方面要幫助學(xué)生厘清獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理及計(jì)算方法，為學(xué)生后續(xù)的正確計(jì)算及結(jié)論得出做好鋪墊。

精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容是有效教學(xué)的基礎(chǔ)，課堂教學(xué)是否達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，與教學(xué)模式有著很大的關(guān)聯(lián)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容多，傳統(tǒng)的教學(xué)通常是以教師為中心進(jìn)行知識(shí)講授，學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)，這樣的教學(xué)模式雖然能保證課堂教學(xué)的容量，但是學(xué)生缺少探究與反思的時(shí)間和機(jī)會(huì)，不利于學(xué)生提問(wèn)能力和探究能力的培養(yǎng)。在新課程改革背景下，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)重視學(xué)生的反思能力與探究能力的培養(yǎng)，注重留給學(xué)生一定的思考與探究時(shí)間，讓學(xué)生小組討論如何根據(jù)題意選擇正確的數(shù)學(xué)模型并展開(kāi)合理運(yùn)算。概率與統(tǒng)計(jì)題目的計(jì)算量通常都比較大，解題需要花費(fèi)的時(shí)間也較多，導(dǎo)致有些教師比較注重學(xué)生對(duì)原理的理解，往往在分析完題目后就繼續(xù)下一個(gè)內(nèi)容的教學(xué)，留給學(xué)生的計(jì)算時(shí)間很少。筆者認(rèn)為，正是因?yàn)楦怕逝c統(tǒng)計(jì)題目的數(shù)據(jù)多，計(jì)算容易出錯(cuò)，所以更應(yīng)該留給學(xué)生足夠的思考與計(jì)算時(shí)間，從而有效培養(yǎng)學(xué)生篩選數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的能力。教師還應(yīng)通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)演算發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中的思維漏洞與易錯(cuò)點(diǎn)，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行修正，從而提升學(xué)生的解題能力。

（二）改變課堂教學(xué)方式，重視信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的運(yùn)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中提出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)反映先進(jìn)的教育思想和理念，關(guān)注信息化環(huán)境下的教學(xué)改革，關(guān)注學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)和發(fā)展需求，促進(jìn)人才培養(yǎng)模式的轉(zhuǎn)變，著力發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

從高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)及學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求中可以看出，社會(huì)的發(fā)展對(duì)中學(xué)生的信息運(yùn)用意識(shí)與能力的培養(yǎng)有了新的要求。教師在教學(xué)中，不能僅按照傳統(tǒng)教學(xué)模式講解新知識(shí)，應(yīng)當(dāng)適應(yīng)信息化時(shí)代的發(fā)展要求，有效運(yùn)用信息技術(shù)輔助教學(xué)。針對(duì)高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)這一教學(xué)內(nèi)容，教師應(yīng)該精心設(shè)計(jì)教學(xué)，將教學(xué)內(nèi)容中的情境引入、教學(xué)重難點(diǎn)、典型例題等在課前利用多媒體設(shè)備錄制成一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)短的微課。例如，在2019 年人教版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)中，學(xué)生要學(xué)習(xí)兩個(gè)變量的隨機(jī)關(guān)系，并進(jìn)行一元線性回歸模型的研究與計(jì)算，這些是統(tǒng)計(jì)的“熱點(diǎn)”內(nèi)容之一，但無(wú)論是對(duì)原理的理解還是計(jì)算，學(xué)生初次學(xué)習(xí)時(shí)都有一定的困難。在新授課中，教師可以提前錄制與教學(xué)主題相關(guān)的微課，并根據(jù)教學(xué)實(shí)際需要在課堂中進(jìn)行有選擇性的播放。學(xué)生的基礎(chǔ)有一定的差異，因此他們對(duì)同一內(nèi)容的理解與掌握也有快慢之分，如果能有涉及教學(xué)重難點(diǎn)及例題分析講解的微課在課后供他們?cè)俅螌W(xué)習(xí)加以鞏固，教學(xué)效果會(huì)更好。此外，在學(xué)生的課堂練習(xí)過(guò)程中，教師可以通過(guò)投影或拍照上傳等方式及時(shí)呈現(xiàn)學(xué)生的解答過(guò)程，找到學(xué)生的錯(cuò)解原因，當(dāng)堂解決“易錯(cuò)點(diǎn)”問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)題目大多文字描述長(zhǎng)、圖表多，計(jì)算過(guò)程相對(duì)煩瑣，教師如果按照傳統(tǒng)的方式板書(shū)題目并列出每一題的詳細(xì)解答過(guò)程，必將耗費(fèi)過(guò)多的教學(xué)時(shí)間，從而影響教學(xué)進(jìn)度。提前錄制包含部分例題或練習(xí)題的解答過(guò)程的微課，可在一定程度上提高課堂教學(xué)的效率。

高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容多、計(jì)算難度較大，教師要通過(guò)一定量的課后作業(yè)和測(cè)試考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況。對(duì)于課后作業(yè)和測(cè)試，教師通常會(huì)講解重點(diǎn)題型的解答過(guò)程，并進(jìn)行易錯(cuò)點(diǎn)分析，而對(duì)于學(xué)生在解題過(guò)程中的典型錯(cuò)誤，由于時(shí)間的關(guān)系，教師往往不能一一展示。隨著智能手機(jī)的普遍使用，呈現(xiàn)學(xué)生解答概率與統(tǒng)計(jì)題目過(guò)程的方式有了更多的選擇，教師可以用手機(jī)拍照，將批改作業(yè)和試卷中發(fā)現(xiàn)的優(yōu)秀答卷和典型錯(cuò)誤進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。教師還可以用學(xué)生答卷的圖片制作典型的微課或PPT，在課堂講解中參照微課或PPT，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)因進(jìn)行分析，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)漏的地方，引起重視，幫助學(xué)生進(jìn)行正確的建模及梳理答題思路并規(guī)范解題過(guò)程。學(xué)生解答概率與統(tǒng)計(jì)題目需要有清晰的解題思路、過(guò)硬的計(jì)算能力，也需要有準(zhǔn)確必要的文字描述。若教師能長(zhǎng)期堅(jiān)持用信息化手段進(jìn)行典型題目的收集、整理與展示，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不同類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題尋找到正確的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行數(shù)據(jù)分析與處理，相信學(xué)生一定會(huì)受益匪淺。

（三）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生探究意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)與分析能力

要提升學(xué)生概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)效果，組建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)合作小組是一個(gè)可行的方法。教師可以組織學(xué)生走進(jìn)社會(huì)進(jìn)行調(diào)研，或從網(wǎng)絡(luò)上搜集生活實(shí)例及其相關(guān)數(shù)據(jù)（比如商品的銷售決策、道路的通行預(yù)測(cè)、保險(xiǎn)的保費(fèi)計(jì)算等），了解概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)在實(shí)際生活中的重要作用，體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型與分析處理數(shù)據(jù)的必要性。2019 年人教版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)中有一個(gè)小節(jié)的內(nèi)容是“建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)”，該部分提出了組建學(xué)生合作團(tuán)隊(duì)，引導(dǎo)學(xué)生小組合作進(jìn)行和概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的要求，研究過(guò)程包括背景分析、數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、獲得結(jié)論等。教材中明確提出對(duì)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)要求，充分體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。從掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容和高考備考的角度出發(fā)，教師也可以組織學(xué)生以小組為單位收集概率與統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)題型與易錯(cuò)題型，比如頻率分布直方圖及樣本的數(shù)字特征計(jì)算、二項(xiàng)分布與超幾何分布的對(duì)照、一元線性回歸模型例題、獨(dú)立性檢驗(yàn)常見(jiàn)題型等。同一學(xué)習(xí)小組的學(xué)生還可以在網(wǎng)絡(luò)上搜集與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的微課并觀看，然后對(duì)照教師在課堂上講解的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行思考。對(duì)同一種概率與統(tǒng)計(jì)題型，從不同的角度切入進(jìn)行研究與討論，這對(duì)學(xué)生概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有促進(jìn)作用。學(xué)生能在自身的認(rèn)知基礎(chǔ)上對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容進(jìn)行分析和反思，并能在課上或課后展示學(xué)習(xí)合作小組研究的題型或數(shù)學(xué)建模主題報(bào)告，分享學(xué)習(xí)心得體會(huì)，這對(duì)數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革有著積極的作用。小組合作學(xué)習(xí)，既能加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，也能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與主動(dòng)性，提升學(xué)生搜索、篩選信息資源的意識(shí)與能力。這個(gè)過(guò)程是教師指導(dǎo)下的學(xué)生自主探究、實(shí)踐的過(guò)程，它實(shí)現(xiàn)了從“要學(xué)生學(xué)”到“學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究”的變化，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。

總之，在高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，教師講解、學(xué)生思考、制作與運(yùn)用微課、小組合作探究等方式結(jié)合使用，能有效提升教學(xué)的效果，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力。在今后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們希望通過(guò)不斷地探索、實(shí)踐與改進(jìn)，提升概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)的有效性，并有效落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。