1950—1970年代中國數(shù)學(xué)家的哥德巴赫猜想研究

郭金海

哥德巴赫猜想是解析數(shù)論的中心問題之一，由德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫（C. Goldbach， 1690—1764）于1742年在與大數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783）的通信中提出[1]。當(dāng)時歐拉剛離開俄國圣彼得堡到了德國柏林，哥德巴赫是在俄國。此前的一段時間內(nèi)歐拉和哥德巴赫是圣彼得堡科學(xué)院的同事和朋友。歐拉回信說他認為這個猜想是正確的，但他不能給出證明。由于歐拉的鼎鼎大名，此后哥德巴赫猜想引起不少數(shù)學(xué)家的關(guān)注和興趣，盡管如此，直至1920年代才有了一些好的結(jié)果。1950年代中期之后，我國數(shù)學(xué)家王元、潘承洞相繼對哥德巴赫猜想的研究取得突破性進展。1966年陳景潤做出了更卓越的貢獻，1973年發(fā)表達到頂峰的論文，獲得國際數(shù)學(xué)界的高度評價。

哥德巴赫猜想是關(guān)于正整數(shù)和素數(shù)之間關(guān)系的兩個推測，其表述如下：（A）每一個不小于6的偶數(shù)都是2個奇素數(shù)之和；（B）每一個不小于9的奇數(shù)都是3個奇素數(shù)之和。猜想（A）被稱為關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想；猜想（B）被稱為關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想。證明（A）的正確性即可推出（B）亦是正確的[1]。

至19世紀(jì)末，許多數(shù)學(xué)家對哥德巴赫猜想進行了研究，但大都是對該猜想進行數(shù)值的驗證，提出一些簡單的關(guān)系或一些新的推測，并未得到任何實質(zhì)性的結(jié)果和提出有效的研究方法。1900年，德國大數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，提出了23個他認為最重要的沒有解決的數(shù)學(xué)問題，作為數(shù)學(xué)研究的主要方向。哥德巴赫猜想是其提出的第8個問題的一部分。然而，此后20年關(guān)于哥德巴赫猜想的研究并未取得顯著的進展。1921年英國數(shù)學(xué)家哈代（G. H. Hardy， 1877—1947）在哥本哈根數(shù)學(xué)會的一次演講中仍認為，哥德巴赫猜想是沒有解決的數(shù)學(xué)問題中最困難的一個[1]。

不過，由于圓法和篩法的出現(xiàn)，就在哈代演講后不久，關(guān)于哥德巴赫猜想的研究有了一些好的結(jié)果。圓法起源于1918年哈代和印度數(shù)學(xué)家拉馬努金（S. Ramanujan， 1887—1920）發(fā)表的關(guān)于研究組合分析中的漸近公式的論文。此后，哈代和李特爾伍德（J. E. Littlewood， 1885—1977）在一系列論文中發(fā)展了堆壘素數(shù)論中新的分析方法——圓法。1923—1924年，他們相繼發(fā)表兩篇論文專門討論哥德巴赫猜想。在1923年發(fā)表的論文中，他們證明了如果關(guān)于ζ函數(shù)零點的廣義黎曼猜想正確，那么每個充分大的奇數(shù)都可以表示成3個奇素數(shù)之和。1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫（И. М. Виноградов， 1891—1983）利用哈代和李特爾伍德的圓法，以其獨創(chuàng)的三角和估計方法無條件地證明了：存在常數(shù)B0，每個不小于B0的奇數(shù)皆可表示為3個奇素數(shù)之和，從而基本證明了哥德巴赫猜想（B）。這個結(jié)果通常被稱為哥德巴赫—維諾格拉多夫定理[1]。

篩法本是一種用來尋找素數(shù)的古老方法，由古希臘學(xué)者埃拉托塞尼（Eratosthenes）創(chuàng)造。1920年，挪威的布倫（V. Brun）對埃拉托塞尼篩法做了具有理論價值的改進，并用于研究哥德巴赫猜想（A），他證明了每個充分大的偶數(shù)可表為兩個各不超過9個素數(shù)的乘積之和，即（9， 9）。由此，開辟了利用篩法研究哥德巴赫猜想（A）及其他許多數(shù)論問題的極為廣闊且富有成果的新途徑[1]。

利用布倫篩法，1924年德國的拉德馬赫（H. Rademacher）證明了（7， 7）；1932年，英國的埃斯特曼（T. Estermann）證明了（6， 6），還證明了在廣義黎曼猜想之下，每一個充分大的偶數(shù)可表為一個素數(shù)和一個不超過6個素數(shù)的乘積之和，記為（1， 6）R；1937年，意大利的里奇（G. Ricci）證明了（5， 7）、（4， 9）、（3， 15）、（2， 366）；1938年，蘇聯(lián)的布赫夕塔布（А. А. Бухштаб）證明了（5， 5）[1]。1939年蘇聯(lián)的塔爾塔科夫斯基（В. А.Тартаковский）、1940年布赫夕塔布相繼利用布倫篩法都證明了（4， 4）[1]。1941年，庫恩（P. Kuhn）引進加權(quán)篩法，后來證明了（a， b），滿足a+b≤6 [1]。

1947～1950年，挪威裔美國數(shù)學(xué)家塞爾伯格（A. Selberg）發(fā)表3篇論文，對埃拉托塞尼篩法做了重大改進。他的篩法被稱為塞爾伯格篩法[1]。1948年，匈牙利的雷尼（A. Rényi）證明了N=a+b，其中N為大偶數(shù)，a的素因子個數(shù)為1，b的素因子個數(shù)不超過K，K為一絕對常數(shù)；其證明結(jié)果記為（1， K）。1965年，意大利的邦別里（E. Bombieri）又改進了篩法，給出著名的邦別里中值公式。該公式可以用來證明（1， 3）。與邦別里取得這項成果同年，布赫夕塔布得到了（1， 3）的結(jié)果[1]。

1950年代中期，中國數(shù)學(xué)家開始在哥德巴赫猜想的研究上嶄露頭角。首先是王元和潘承洞，他們在華羅庚的帶領(lǐng)下，均取得了當(dāng)時領(lǐng)先的成果。

王元（1930—2021），浙江省蘭谿縣人，專長于數(shù)論及其應(yīng)用。1952年，他畢業(yè)于浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，在陳建功和蘇步青推薦下，到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作。1953年冬，該所數(shù)論組成立，由所長華羅庚親自領(lǐng)導(dǎo)兩個討論班。一個是“數(shù)論導(dǎo)引”討論班，另一個是“哥德巴赫猜想”討論班。每周各進行一次，每次半天。這兩個討論班一直堅持到1956年。數(shù)論組成立后，王元即被分配到該組，在華羅庚指導(dǎo)下研究解析數(shù)論，并參加這兩個討論班。

“哥德巴赫猜想”討論班由一個人主講，華羅庚等則不停地提問題，務(wù)必使得每一點都完全弄清楚為止。華羅庚的這種打破砂鍋問到底的做法，常常使主講人講不下去，長時間站在講臺上思考。這使討論班進展得很慢，但參加者受益很大，王元自不例外。而且他學(xué)習(xí)了討論班上要求研讀的夏皮羅（H. N. Shapiro）和瓦爾加（J. Warga）的論文后，對篩法產(chǎn)生很大的興趣。

1 9 5 4年，波蘭數(shù)學(xué)家?guī)炖蟹蛩够↘. Kuratowski）到北京訪問，帶給華羅庚一些波蘭數(shù)學(xué)家的論文單印本，其中有謝爾賓斯基（W. Sierpinski）和辛哲爾（A. Schingel）關(guān)于函數(shù)論的論文。華羅庚與王元研究了這些論文后發(fā)現(xiàn)，用布倫方法可能得到更強的結(jié)果。當(dāng)天晚上，王元就將布倫篩法用于歐拉函數(shù)，改進了他們的結(jié)果。此后，華羅庚要求王元想辦法改進（4， 4）。于是，王元就致力于篩法與哥德巴赫猜想的研究，認真鉆研了布赫夕塔布的論文。

在華羅庚的幫助下，王元于1955年將哥德巴赫猜想的研究結(jié)果改進為（3， 4）。1956年，王元的這一研究成果即論文《表大偶數(shù)為一個不超過三個素數(shù)的乘積及一個不超過四個素數(shù)的乘積之和》于《數(shù)學(xué)學(xué)報》發(fā)表。在該文中，他結(jié)合塞爾伯格篩法和布倫篩法，證明了如下兩個定理：（定理1）每一充分大的偶數(shù)可表為一個不超過3個素數(shù)的乘積及一個不超過4個素數(shù)的乘積之和；（定理2）存在無限多個整數(shù)n，n為不超過3個素數(shù)的乘積，而n+2為不超過4個素數(shù)的乘積[2]。王元還用二維篩法，證明在廣義黎曼猜想之下，每一個充分大的偶數(shù)可表為一個素數(shù)和一個不超過4個素數(shù)的乘積之和，簡記為（1， 4）R。這一成果亦于1956年發(fā)表于《數(shù)學(xué)學(xué)報》[3]。這兩篇論文的發(fā)表標(biāo)志著中國學(xué)者首次在哥德巴赫猜想研究方面取得帶有前沿突破性的進展。

1957年，王元又于《科學(xué)記錄》發(fā)表論文《表大偶數(shù)為兩個殆素數(shù)①之和》，將其1955年的結(jié)果（3， 4）改進為（3， 3）和（a， b），a+b≤5。他還進一步運用布赫夕塔布的方法和較為復(fù)雜的數(shù)值計算，證明了（2， 3）[4]。這又將哥德巴赫猜想的研究結(jié)果改進一步。

在該文中，王元是通過引入3個引理，證明如下基本定理，得出（2， 3）的結(jié)果的：

1960年，王元于《數(shù)學(xué)學(xué)報》發(fā)表論文《表整數(shù)為素數(shù)及殆素數(shù)之和（條件結(jié)果）》，從進一步改進篩法著手，證明了在廣義黎曼猜想之下，每一個充分大的偶數(shù)都是一個素數(shù)與一個不超過3個素數(shù)的乘積之和，簡記為（1， 3）R [5]。1962年，王元又將此文修訂為《表大整數(shù)為素數(shù)及殆素數(shù)之和》，用英文發(fā)表于《中國科學(xué)》（Scientia Sinica），在該文附錄證明了：每一充分大的偶數(shù)都是一個素數(shù)及一個不超過4個素數(shù)的乘積之和，即（1， 4）[6]，從而哥德巴赫猜想的研究結(jié)果再次被改進。

潘承洞（1934—1997），生于江蘇省蘇州市，專長于解析數(shù)論。1952年考入北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系。1956年畢業(yè)后留該系工作，次年成為閔嗣鶴的研究生。在閔嗣鶴指導(dǎo)下，潘承洞步入解析數(shù)論這一領(lǐng)域。他還曾參加華羅庚在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所領(lǐng)導(dǎo)的“哥德巴赫猜想”討論班，并與陳景潤、王元等一起討論，互相學(xué)習(xí)和啟發(fā)。1961年起在山東大學(xué)數(shù)學(xué)系任教。

隨后，潘承洞深入研究了哥德巴赫猜想，并于 1961年取得關(guān)鍵性進展。他證明了任意充分大的偶數(shù)N可表成p+P，其中p為素數(shù)，P為一個不超過5個素因子乘積的殆素數(shù)。由此，他關(guān)于哥德巴赫猜想的研究得到（1， 5）的結(jié)果。1962年，該成果題為《表偶數(shù)為素數(shù)及殆素數(shù)之和》，發(fā)表于《數(shù)學(xué)學(xué)報》和《中國科學(xué)》 [7，8]。不僅如此，1962—1963年他并利用較簡單的篩法證明了充分大的偶數(shù)必可表成一個素數(shù)及一個不超過4個素數(shù)的乘積之和，即（1， 4）；成果題為《表偶數(shù)為素數(shù)及一個不超過四個素數(shù)的乘積之和》，相繼發(fā)表于《數(shù)學(xué)學(xué)報》和《中國科學(xué)》 [9，10]。當(dāng)時該結(jié)果在國際上處于領(lǐng)先水平。

陳景潤（1933—1996），生于福建省福州市，專長于解析數(shù)論。1949年考入廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系，1953年畢業(yè)后任教于北京市第四中學(xué)，但因?qū)處熯@一工作很不適應(yīng)而被辭退。1955年，廈門大學(xué)校長王亞南將其調(diào)回該校任教。由于華羅庚的賞識與推薦，他于1957年被調(diào)到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所任實習(xí)研究員。在數(shù)學(xué)研究所，陳景潤的研究工作進展很快。他從研究三角和的估計及其應(yīng)用入手，對圓內(nèi)整點問題、除數(shù)問題、球內(nèi)整點問題和華林問題等著名難題均做了重要改進。從1960年代中期開始，他轉(zhuǎn)入篩法及其應(yīng)用的研究。

1966年，陳景潤對哥德巴赫猜想的研究做出突破性進展。該年，他于中國科學(xué)院《科學(xué)通報》發(fā)表論文《大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的乘積之和》，給出（1， 2）證明的提要。在該文中，他巧妙地引入3個引理：

然而，當(dāng)時陳景潤未給出詳細的證明，該成果沒有得到國際數(shù)學(xué)界的承認。隨后的7年中，沒有其他數(shù)學(xué)家給出（1， 2）的證明。1973年，陳景潤在《中國科學(xué)》上發(fā)表了（1， 2）的詳細證明。他在方法上提出并實現(xiàn)了一種新的加權(quán)篩法[12]。該文發(fā)表后旋即在國際數(shù)學(xué)界引起強烈反響，被公認為是一個十分杰出的成果，是對哥德巴赫猜想的重大貢獻和篩法理論的卓越運用。不僅如此，他的研究結(jié)果被國際數(shù)學(xué)界稱為陳景潤定理[1]，迄今為止仍是關(guān)于哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果。

哥德巴赫猜想是世界性難題。1950年代中后期至1970年代，王元、潘承洞和陳景潤在這個猜想上相繼取得居于世界領(lǐng)先水平的成果，這是中國數(shù)學(xué)家在解析數(shù)論領(lǐng)域的杰出成就，也是1949年中華人民共和國成立以來的重大數(shù)學(xué)成就之一。華羅庚對哥德巴赫猜想研究起到重要的推動作用，閔嗣鶴從中扮演了積極角色。

在中國數(shù)學(xué)家對哥德巴赫猜想的研究中，王元最早取得世界領(lǐng)先的成果，其工作對潘承洞和陳景潤起到了引領(lǐng)和示范作用。1965年，布赫夕塔布超出中國數(shù)學(xué)家，得到了（1， 3）的結(jié)果，但這個紀(jì)錄其實只保持了一年，1966年陳景潤就得出（1， 2）的結(jié)果，并于1973年發(fā)表了用篩法對該成果的詳細證明。陳景潤最終攀上了最高峰，其研究成果最為重要，與哥德巴赫猜想最為接近，在國內(nèi)外數(shù)學(xué)界影響最大。1978年，作家徐遲以陳景潤為主人公發(fā)表了引起轟動的報告文學(xué)《哥德巴赫猜想》。這使陳景潤成為家喻戶曉的人物，對哥德巴赫猜想的繼續(xù)研究和當(dāng)時中國廣大青年學(xué)子追求科學(xué)起到推動作用。1982年，王元、潘承洞和陳景潤的研究成果集為“哥德巴赫猜想研究”，獲國家自然科學(xué)獎一等獎。他們獲得的這項崇高的學(xué)術(shù)榮譽，亦對他們的數(shù)學(xué)研究生涯產(chǎn)生了重要影響。

陳景潤、潘承洞、王元相繼于1996年、1997年、2021年逝世。王元先生提倡研究中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史，對筆者進行過指導(dǎo)和幫助。謹以此文紀(jì)念這三位對哥德巴赫猜想做出重要貢獻的杰出數(shù)學(xué)家。

① 殆素數(shù)是素因子個數(shù)不超過某一確定限的整數(shù)。

[1]潘承洞， 潘承彪. 哥德巴赫猜想. 北京： 科學(xué)出版社， 1981： 1-15.

[2]王元. 表大偶數(shù)為一個不超過三個素數(shù)的乘積及一個不超過四個素數(shù)的乘積之和. 數(shù)學(xué)學(xué)報， 1956， 6（3）： 500-513.

[3]王元. 表大偶數(shù)為一個素數(shù)及一個不超過四個素數(shù)的乘積之和——廣義Riemann猜測下之結(jié)果. 數(shù)學(xué)學(xué)報， 1956， 6（4）： 565-582.

[4]王元. 表大偶數(shù)為兩個殆素數(shù)之和. 科學(xué)記錄， 1957， 新輯1（5）： 15-18.

[5]王元. 表整數(shù)為素數(shù)及殆素數(shù)之和（條件結(jié)果）. 數(shù)學(xué)學(xué)報， 1960， 10（2）： 168-181.

[6]Wang Yuan. On the representation of large integer as a sum of a prime and an almost prime. Scientia Sinica， 1962， 11（8）： 1033-1054.

[7]潘承洞. 表偶數(shù)為素數(shù)及殆素數(shù)之和. 數(shù)學(xué)學(xué)報， 1962， 12（1）： 95-106.

[8]Пан Чэн-дун （潘承洞） . O представлении четных чиселв виде суммы простого и почти простого числа. Scientia Sinica， 1962， 11（7）： 873-888.

[9]潘承洞. 表偶數(shù)為素數(shù)及一個不超過四個素數(shù)的乘積之和. 山東大學(xué)學(xué)報， 1962， （2）： 40-62.

[10]Пан Чэн-Дун （潘承洞） . О представлении четныхчисел в виде суммы простого и непревосходящего 4простых проиэведения. Scientia Sinica， 1963， 12（4）： 455-473.

[11]陳景潤. 大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的乘積之和. 科學(xué)通報， 1966， 9： 385-386.

[12]陳景潤. 大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的乘積之和. 中國科學(xué)， 1973， 3（2）： 111-128.

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