基于APOS理論的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例研究

江蘇師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院（221116） 王智杰

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，涉及諸多數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，它不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生思維的基本單元，具有抽象性、邏輯聯(lián)系性等特征。而小學(xué)階段的學(xué)生，其思維認(rèn)知水平正處于形象思維階段，理解并掌握內(nèi)涵豐富且意義深邃的概念具有一定的困難。

美國(guó)學(xué)者杜賓斯基（E.Dubinsky）于20世紀(jì)80年代提出的APOS理論，是一種專門針對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程的理論，該理論涵蓋了學(xué)生進(jìn)行概念學(xué)習(xí)時(shí)的四個(gè)階段，即操作（Action）、過程（Process）、對(duì)象（Object）和圖式（Scheme）。APOS理論的提出對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)有著重要的指導(dǎo)意義。本文基于APOS理論，并以特級(jí)教師吳正憲老師的“平均數(shù)”一課為例，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行深入研究，嘗試提煉其教學(xué)思路，為后續(xù)改進(jìn)教學(xué)做準(zhǔn)備。

一、基于APOS理論的“平均數(shù)”名師課堂案例分析

本研究基于APOS理論，采取視頻分析的研究方法，對(duì)特級(jí)教師吳正憲老師的“平均數(shù)”一課進(jìn)行案例分析，并嘗試提煉其教學(xué)思路。

1.操作（Action）——?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)習(xí)興趣

“操作階段”是APOS理論的第一階段，是指學(xué)生通過接受一系列的指令去改變學(xué)習(xí)對(duì)象的過程，這是學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的起點(diǎn)。在這一階段，學(xué)生應(yīng)該像數(shù)學(xué)家一樣去思考和體驗(yàn)，這樣有助于為接下來的“過程階段”提供感性的素材。因此，在這一階段，教師需要在了解學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的基礎(chǔ)上，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，并盡可能地給學(xué)生安排一些活動(dòng)，包括外部動(dòng)手操作活動(dòng)與內(nèi)部思維活動(dòng)。

【教學(xué)片段1】

師：黑板上有三個(gè)字——“平均數(shù)”，這就是今天吳老師要和小朋友們一起討論的話題。你們聽說過這個(gè)詞嗎？在哪里聽說過要算這個(gè)“平均數(shù)”的事呢？

生：考試成績(jī)出來后要算平均分。假如我們班這次考試成績(jī)的平均數(shù)是95，95分就是我們?nèi)?）班同學(xué)考試的平均分。

在這個(gè)教學(xué)引入環(huán)節(jié)中，吳正憲老師設(shè)計(jì)了開放性問題，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)中的“平均數(shù)”概念與日常生活聯(lián)系起來。這一問題情境是學(xué)生主動(dòng)創(chuàng)設(shè)的生活情境，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，又激發(fā)了學(xué)生的積極性與主動(dòng)性。在這開放的、自由的教學(xué)氛圍中，學(xué)生初步感知了“平均數(shù)”的概念，符合APOS理論中“操作階段”的教學(xué)要求。

2.過程（Process）——適時(shí)提問引導(dǎo)，深入挖掘理解

在APOS理論的第一階段“操作階段”，學(xué)生對(duì)所要學(xué)習(xí)的概念有了一個(gè)初步的認(rèn)知，但這只是簡(jiǎn)單的感性認(rèn)知，是對(duì)概念表層的理解。在接下來的第二階段“過程階段”，教師需要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步挖掘概念的內(nèi)在本質(zhì)，從而促使學(xué)生思考與頓悟，這是概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在。

【教學(xué)片段2】

師：你們?cè)趺蠢斫馄骄质?5分這件事？

生1：平均分就是有些人的分比它高幾分，有些人的分比它低幾分。平均分是95分，就是有人的分?jǐn)?shù)會(huì)比95分高，有的人的分?jǐn)?shù)會(huì)比95分低。

師：那這個(gè)你們所說的平均分在你們心中是什么樣的呢？

生2：要把全班所有同學(xué)的分?jǐn)?shù)通通加起來，再除以班級(jí)總?cè)藬?shù)，就是除以38。這樣就把分?jǐn)?shù)高的同學(xué)的分?jǐn)?shù)給了分?jǐn)?shù)低的同學(xué)。

師：這樣分?jǐn)?shù)低的同學(xué)的分就慢慢升高了（用手勢(shì)比畫平均與高低）。那你們班平均分?jǐn)?shù)是95分，你一定考了95分嗎？

生3：不一定?？赡軙?huì)比95分高，也可能會(huì)比95分低。

在這個(gè)深入探究“平均數(shù)”概念的過程中，吳正憲老師將課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生述說感受并舉例說明，學(xué)生能夠在輕松的課堂氛圍中開動(dòng)腦筋、各抒己見。隨后，吳正憲老師又以手勢(shì)比畫的方式，讓學(xué)生客觀形象地感知平均數(shù)在一堆數(shù)中所占的位置，并強(qiáng)調(diào)了“平均分是95分不代表你一定考了95分，你的分?jǐn)?shù)可能會(huì)比95分高，也可能會(huì)比95分低”的重難點(diǎn)，讓學(xué)生在辨析中透過表層，深入感知“平均數(shù)”的概念。

3.對(duì)象（Object）——變式提升訓(xùn)練，形成立體感知

通過前面“操作階段”以及“過程階段”的訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念有了一定的了解，并且能夠掌握概念相應(yīng)的本質(zhì)特點(diǎn)。但概念是一個(gè)較為抽象的知識(shí)，學(xué)生只有將其作為一個(gè)整體來運(yùn)用才能掌握。但是，此時(shí)學(xué)生在理論上對(duì)概念的掌握還未達(dá)到要求，即對(duì)新概念的認(rèn)識(shí)還是孤立的。因此，在第三個(gè)階段“對(duì)象階段”，教師需要組織一次新的活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行新的概括，促進(jìn)學(xué)生以“理解”的方式去運(yùn)用概念，即將概念當(dāng)作一個(gè)“工具”去解決問題。

【教學(xué)片段3】

師：既然大家已經(jīng)在生活和學(xué)習(xí)中見過平均數(shù)，對(duì)其有一點(diǎn)印象，那么今天吳老師要和你們一起往平均數(shù)的“深處”走一走。有一座城市，身高不到1.1米標(biāo)準(zhǔn)線的兒童乘車可以不買票，以前6歲的兒童身高差不多1.1米?？墒呛髞砣藗兂缘煤茫介L(zhǎng)越高了，6歲的兒童還沒上學(xué)呢，就不能免票了。很多家長(zhǎng)就有意見，提出“能不能把1.1米這個(gè)身高線提高點(diǎn)，再定一個(gè)新的標(biāo)準(zhǔn)”。請(qǐng)想一想，假設(shè)你就是有關(guān)部門的官員，你怎么定新標(biāo)準(zhǔn)呢？小組討論后說一說。

生1（第一組）：1.3米、1.2米、1.2米以下。

生2（質(zhì)疑）：你們說1.2米和1.3米，有沒有依據(jù)？

師：沒有依據(jù)就定標(biāo)準(zhǔn)，那你們這個(gè)決定是不是有點(diǎn)不靠譜。一拍腦袋就定1.2米和1.3米，你們也不同意對(duì)不對(duì)？

生3：應(yīng)該讓全國(guó)的小孩都進(jìn)行一次體檢，測(cè)身高，得到的數(shù)據(jù)全部加起來再除以人數(shù)，求大家身高的平均數(shù)。

生4：我不同意，這太麻煩了，可以找一些身高差比較大的人，將他們的身高加起來再除以人數(shù)。

師：這個(gè)主意不錯(cuò)?？梢赃x一部分人作為代表，那怎么選這些代表？（生4不知所措）

師：沒關(guān)系，注意一個(gè)詞，你慢慢會(huì)懂的?！安灰桃獾厝フ遥S意地挑一挑”，就是隨意選一群人。不知道你們通過剛才的討論，有新想法了嗎？

生1（第一組）：我們要有依據(jù)，不能一拍腦袋就做決定。

師：一拍腦袋就做決定的不是“好官員”，我們得調(diào)查研究。調(diào)查研究會(huì)獲得很多數(shù)據(jù)。因?yàn)檎{(diào)查研究的時(shí)候要拿到全部人的數(shù)據(jù)有點(diǎn)麻煩，所以他們組（生4所在的組）提出了選部分代表，然后再求平均數(shù)。

在這一階段的教學(xué)中，吳正憲老師將生活中一個(gè)常見的現(xiàn)象轉(zhuǎn)換成兒童的語言，并在活動(dòng)中給學(xué)生充分展示的機(jī)會(huì)，足以體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。回到概念教學(xué)中，吳正憲老師在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)與理解平均數(shù)概念的基礎(chǔ)上，采取變式訓(xùn)練的方式，讓學(xué)生觀察、思考、交流、討論，發(fā)現(xiàn)平均數(shù)在生活中的應(yīng)用，并讓學(xué)生體會(huì)到“理論依據(jù)”與“數(shù)據(jù)處理”的奧秘，從而滲透了一定的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的思想。這種環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的問題使課堂教學(xué)得到了進(jìn)一步的升華，學(xué)生在親身體驗(yàn)、反思實(shí)踐的過程中多角度、多層次地感知“平均數(shù)”，概念在學(xué)生頭腦中呈現(xiàn)“立體化”的形象。

4.圖式（Scheme）——建立新舊聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)呈現(xiàn)螺旋式上升的特點(diǎn)，所以概念的學(xué)習(xí)并不是經(jīng)歷一次“A-P-O-S”就能完成的。初級(jí)“圖式”的形成需要經(jīng)歷兩次關(guān)鍵性的飛躍：一是擺脫具體對(duì)象形成符號(hào)化階段，即“對(duì)象階段”；二是形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即由“對(duì)象階段”上升到“圖式階段”。因此，在“圖式階段”，教師需要指導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將所學(xué)新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊知識(shí)結(jié)合起來，形成實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。

【教學(xué)片段4】

師：假如吳老師在黑板上畫圖，將這些數(shù)據(jù)展現(xiàn)在折線圖中，平均值會(huì)在高的和矮的中間。那我們就把身高標(biāo)準(zhǔn)值定為1.2米。還有其他的想法嗎？

生：我定標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，要比平均值稍微高點(diǎn)。

師：這位同學(xué)的意思是把標(biāo)準(zhǔn)值定得比平均值高一點(diǎn)。剛才同學(xué)們都說定在1.2米左右，那我們看這個(gè)圖（出示圖1）。圖中曲線最高處是在1.2米處，1.2米左邊的都可以享受免費(fèi)待遇，那假如我們要使更多的兒童享受免票政策，是不是可以在1.2米的右邊“畫線”？可見，平均數(shù)是解決這個(gè)問題的重要的數(shù)據(jù)。

圖1

在這一階段，吳正憲老師采取數(shù)形結(jié)合的方式，將平均數(shù)與統(tǒng)計(jì)圖聯(lián)系起來，更加形象直觀地讓學(xué)生了解平均數(shù)在該組數(shù)中的位置，使學(xué)生在頭腦中構(gòu)建有關(guān)平均數(shù)的“圖式”，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

綜上可見，吳正憲老師在教學(xué)“平均數(shù)”時(shí)，將課堂還給學(xué)生，尊重學(xué)生的想法與發(fā)現(xiàn)。整堂概念教學(xué)課節(jié)奏緊湊，教學(xué)步驟環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，使得學(xué)生對(duì)“平均數(shù)”的概念從原來的淺顯感知到深入理解，建立了屬于他們自身的認(rèn)知“圖式”。

二、基于APOS理論的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)反思

結(jié)合吳正憲老師的“平均數(shù)”教學(xué)案例可以看到，小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要深刻理解并巧妙把握APOS理論的四個(gè)階段。

1.操作階段——生活性激興趣

“操作階段”的目的是讓學(xué)生思考，而引起學(xué)生思考的重要舉措是激發(fā)學(xué)生的興趣。建構(gòu)主義學(xué)生觀強(qiáng)調(diào)學(xué)生并不是空著腦袋進(jìn)教室的，學(xué)生在日常生活中已經(jīng)積累了豐富的生活經(jīng)驗(yàn)?？梢姡绾吻擅畹貙⒊橄?、深?yuàn)W的概念與學(xué)生的實(shí)際生活聯(lián)系起來，是概念教學(xué)課堂引入環(huán)節(jié)的關(guān)鍵所在，同時(shí)也是后續(xù)教學(xué)的有效保障。因此，在課前，教師需要了解學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，巧妙地將數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系起來。這種具有生活性和真實(shí)性的問題情境的設(shè)置符合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，能很好地引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)真實(shí)的情境之中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，為后續(xù)活動(dòng)的開展和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

2.過程階段——問題鏈引深思

“操作階段”為后續(xù)的教學(xué)奠定了心理基礎(chǔ)，但是并不能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。在“過程階段”，教師需要將學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣轉(zhuǎn)化為深入思考的動(dòng)力。因此，教師此時(shí)需要提出一些具有啟發(fā)性、遞進(jìn)性的問題去引發(fā)學(xué)生的思考。在活動(dòng)進(jìn)行的過程中，教師需要根據(jù)學(xué)情巧設(shè)遞進(jìn)式問題鏈。以高質(zhì)量的問題為切入點(diǎn)促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法之間的聯(lián)通，以遞進(jìn)式的問題為深入點(diǎn)促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的深入探究、對(duì)數(shù)學(xué)思想的深入理解，并將問題以問題鏈的方式組織起來，統(tǒng)整學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度與深度，發(fā)展學(xué)生的整體意識(shí)。此過程能促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解和把握，為下一階段做準(zhǔn)備。

3.對(duì)象階段——變式題強(qiáng)認(rèn)知

概念的學(xué)習(xí)不能只停留在具體的情境教學(xué)中，需要學(xué)生走出固定的情境。概念學(xué)習(xí)是一個(gè)逐漸深入的過程，是需要學(xué)生主動(dòng)參與和積極領(lǐng)悟的過程，僅僅靠教師的講解是不能達(dá)到概念學(xué)習(xí)的要求的。因此，在概念教學(xué)的“對(duì)象階段”，教師可以采取靈活變式的方式，讓學(xué)生在深入理解概念的基礎(chǔ)上體會(huì)到概念的靈活運(yùn)用，讓學(xué)生在不同的變式中深刻感悟概念的本質(zhì)內(nèi)涵，在辨析中全方位地了解概念的中心。如此一來，就能幫助學(xué)生在外部刺激的強(qiáng)化過程中逐漸形成對(duì)新概念的思考與認(rèn)知，從而將這個(gè)新概念作為一個(gè)整體去進(jìn)行辨析。學(xué)生只有在練習(xí)中強(qiáng)化、在變式中深思，才能把握概念的本質(zhì)。

4.圖示階段——新舊聯(lián)善結(jié)構(gòu)

零散孤立的知識(shí)是不能牢固地存在于學(xué)生的觀念系統(tǒng)中的，只有數(shù)學(xué)知識(shí)之間相互聯(lián)系，才能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。因此，在概念學(xué)習(xí)的最后，學(xué)生應(yīng)該形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。但是，日常數(shù)學(xué)教學(xué)通常是分模塊進(jìn)行的，為了能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用，教師需要將新概念與學(xué)生頭腦中原有的舊知聯(lián)系起來，并重新組織這些在本質(zhì)上具有聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)，從而構(gòu)建一個(gè)更大更牢固的知識(shí)體系。在最后的“圖式階段”，教師需要指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本課知識(shí)，并將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際再次聯(lián)系起來，以形成新的“圖式”。這一過程需要學(xué)生在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)過程中不斷總結(jié)與完善，因?yàn)橹挥袕?fù)思考與辨析所形成的“圖式”才是概念教學(xué)的最終目的，才能使學(xué)生在今后的問題解決中將概念運(yùn)用自如。