分析規(guī)劃回歸：“至理數(shù)學(xué)”視域下的復(fù)習(xí)課教學(xué)研究與實(shí)踐
——以“多邊形的面積整理與練習(xí)”為例

江蘇南京市金陵小學(xué)廣志路校區(qū)（210046） 張桂香

江蘇南京市棲霞區(qū)教師發(fā)展中心（210028） 張明紅

《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》明確要求學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)制訂必須堅(jiān)持以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，其課程內(nèi)容組織重點(diǎn)之一就是加強(qiáng)課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，突出課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化。落實(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)科，素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學(xué)設(shè)計(jì)要比以往更加注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)化、整體性。與新授課、練習(xí)課相比，復(fù)習(xí)課更有利于學(xué)生從整體出發(fā)，構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)和邏輯體系。

蘇教版教材編排了31個(gè)單元“整理與練習(xí)”和12個(gè)期末復(fù)習(xí)，共計(jì)135課時(shí)。這些復(fù)習(xí)課不僅可以引領(lǐng)學(xué)生自主整理知識(shí)脈絡(luò)，還能指導(dǎo)學(xué)生對(duì)單元或教材內(nèi)容的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行反思、評(píng)價(jià)，進(jìn)而達(dá)到自我調(diào)整和提升綜合素養(yǎng)的目的。然而，我們?cè)鴮?duì)區(qū)域教師復(fù)習(xí)課教學(xué)情況做過(guò)專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查，很多教師明確表示“我不會(huì)上復(fù)習(xí)課”，把復(fù)習(xí)課上成“練習(xí)課”“做試卷課”的比比皆是，每個(gè)單元或?qū)W期末的機(jī)動(dòng)課時(shí)也大多被用來(lái)講題目。為了探尋復(fù)習(xí)課的教學(xué)路徑，我們團(tuán)隊(duì)以蘇教版教材五年級(jí)上冊(cè)第二單元“多邊形的面積整理與練習(xí)”為種子單元，進(jìn)行區(qū)域?qū)嵺`和放樣。

一、整體分析，厘清知識(shí)體系

復(fù)習(xí)課的功能之一就是引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)條理化和系統(tǒng)化，使零散的知識(shí)結(jié)構(gòu)化，點(diǎn)狀的知識(shí)整體化，從而對(duì)所學(xué)知識(shí)有新的、更深的認(rèn)識(shí)，并在此過(guò)程中感悟知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，領(lǐng)悟知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

為了準(zhǔn)確定位“多邊形的面積”，我們將蘇教版教材平面圖形、立體圖形內(nèi)容中與之相關(guān)的單元做了簡(jiǎn)單整理（如表1）。

表1 與面積相關(guān)的平面圖形、立體圖形單元分布

由表1可知，教材是遵循從平面圖形的面積到立體圖形的表面積、體積的順序編排的，其中計(jì)算平面圖形的面積從長(zhǎng)方形、正方形到平行四邊形，再到三角形、梯形和圓，知識(shí)脈絡(luò)清晰，層層推進(jìn)，螺旋上升。從知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系來(lái)看，長(zhǎng)方形面積計(jì)算是“根”，其他圖形面積計(jì)算都可以與之建立聯(lián)系，因此它是一節(jié)重要的種子課；平行四邊形的面積也是一節(jié)重要的種子課，其研究方法、轉(zhuǎn)化思想都為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆。

長(zhǎng)方形的面積、平行四邊形的面積被確定為新授課的種子課是有據(jù)可依的，“多邊形的面積整理與練習(xí)”也有足夠的理由成為復(fù)習(xí)課的種子單元。

其一，知識(shí)結(jié)構(gòu)化。本單元編排的“整理與練習(xí)”旨在通過(guò)系統(tǒng)整理單元知識(shí)，凸顯面積公式推導(dǎo)的共通點(diǎn)，溝通平行四邊形、三角形、梯形面積公式之間的聯(lián)系，將零碎的知識(shí)結(jié)構(gòu)化。

其二，認(rèn)知結(jié)構(gòu)化。通過(guò)本單元的“整理與練習(xí)”，學(xué)生梳理在零碎的知識(shí)點(diǎn)中建立的本單元內(nèi)知識(shí)及內(nèi)外知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，形成對(duì)已學(xué)平面圖形認(rèn)知思路的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，并將其遷移到圓的學(xué)習(xí)中。

其三，思維結(jié)構(gòu)化。如果能厘清平面圖形的知識(shí)脈絡(luò)，就能將其思維模式正向遷移至立體圖形邏輯結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)中，因?yàn)槎唠m然自成體系，但思維本質(zhì)相通相連。

二、合理規(guī)劃，凸顯課時(shí)要素

蘇教版教材本單元“整理與練習(xí)”分為回顧與整理、練習(xí)與應(yīng)用、探索與實(shí)踐、評(píng)價(jià)與反思四大板塊。整理與復(fù)習(xí)課不僅要梳理知識(shí)，將過(guò)去零散的、不同時(shí)段的知識(shí)結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化，還要查漏補(bǔ)缺，通過(guò)學(xué)生自主整理、共學(xué)評(píng)學(xué)完善認(rèn)知，弄懂易錯(cuò)點(diǎn)，衍生新的生長(zhǎng)點(diǎn)，呈現(xiàn)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更要在原來(lái)新授課、練習(xí)課的基礎(chǔ)上拓展提升、排查疑惑，讓學(xué)習(xí)進(jìn)階。因此，根據(jù)教材內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)學(xué)情可將本單元復(fù)習(xí)課分成三課時(shí)：第一課時(shí)，以系統(tǒng)整理和基本練習(xí)為主；第二課時(shí)，復(fù)習(xí)組合圖形的面積計(jì)算；第三課時(shí)，實(shí)踐應(yīng)用，解決現(xiàn)實(shí)情境中的問(wèn)題。供學(xué)生使用的理學(xué)單如表2、表3、表4所示。

表2 “多邊形面積整理與練習(xí)”第一課時(shí)理學(xué)單

表3 “多邊形的面積整理與練習(xí)”第二課時(shí)理學(xué)單

表4 “多邊形面積整理與練習(xí)”第三課時(shí)理學(xué)單

其中，第一課時(shí)為復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的多邊形面積計(jì)算。本課時(shí)目標(biāo)定位為系統(tǒng)整理、溝通關(guān)聯(lián)，即以梳理為主、基本練習(xí)為輔。教學(xué)活動(dòng)主要分為以下三個(gè)步驟：研究1-1借助學(xué)生課前自主整理的個(gè)性化作品，引導(dǎo)學(xué)生在展示、交流中梳理已經(jīng)學(xué)過(guò)的平面圖形的面積公式，并對(duì)整理的形式和方法進(jìn)行提煉；研究1-2借助師生對(duì)話、生生交流，圍繞問(wèn)題“哪種圖形是最基本的”展開(kāi)辨析和說(shuō)理，在回顧各種圖形面積公式推導(dǎo)過(guò)程的同時(shí)，溝通推導(dǎo)方法之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而構(gòu)建平面圖形關(guān)系網(wǎng)絡(luò)圖；研究2-1和研究2-2則是安排圖形面積計(jì)算和畫(huà)圖形的學(xué)習(xí)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生邊理邊練，練中不斷理，實(shí)現(xiàn)“理”的應(yīng)有價(jià)值。

第二課時(shí)為組合圖形的面積計(jì)算復(fù)習(xí)。本課時(shí)目標(biāo)定位為變式訓(xùn)練，拓展提升。在“整理與練習(xí)”課中，知識(shí)的“理”和習(xí)題的“練”好似莫比烏斯帶的兩面，相輔相成，融為一體。適當(dāng)?shù)摹熬殹蹦軒椭鷮W(xué)生鞏固“四基”，發(fā)展“四能”。當(dāng)然，和練習(xí)課的“練”相比，復(fù)習(xí)課的“練”要求更高，不僅形式上要有創(chuàng)新，功能也更加聚焦。為了有效達(dá)成復(fù)習(xí)課的“重點(diǎn)突出”“難點(diǎn)突破”“查漏補(bǔ)缺”目標(biāo)，研究2-2采用好題分享的形式，即推薦一道好題并說(shuō)明理由。學(xué)生在推薦的基礎(chǔ)上，圍繞“誰(shuí)推薦的好題跟這題有關(guān)聯(lián)”“哪些題的解答方法和這題相似”等問(wèn)題進(jìn)行分析，引發(fā)具有相同思考過(guò)程的學(xué)生的共鳴，使他們感受到學(xué)習(xí)成果受到重視，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。這也是“至理數(shù)學(xué)”教學(xué)主張對(duì)兒童立場(chǎng)的彰顯，即關(guān)注每一個(gè)人、發(fā)展每一個(gè)人。除了學(xué)生的推薦與分享，教師也要精心選擇和推薦一些好題或易錯(cuò)題，供學(xué)生分析和訓(xùn)練，以幫助學(xué)生進(jìn)一步厘清知識(shí)本質(zhì)、感悟知識(shí)的整體性和思想方法的一致性。

第三課時(shí)內(nèi)容為真實(shí)問(wèn)題情境下的實(shí)踐應(yīng)用，解決問(wèn)題。本節(jié)課是圍繞本校生態(tài)園里不規(guī)則圖形或較復(fù)雜的多邊形面積的估算展開(kāi)綜合性實(shí)踐研究，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行評(píng)價(jià)。復(fù)習(xí)分四個(gè)層次不同的任務(wù)進(jìn)行：研究1-1，用估算的方法解決問(wèn)題“學(xué)校生態(tài)園每塊菜地的面積大約是多少？多少塊這樣的菜地面積大約是1公頃？”，分享“估一估、算一算，比一比、說(shuō)一說(shuō)的研究過(guò)程，體會(huì)由小估大”的價(jià)值和意義；研究1-2，研究“長(zhǎng)方形→平行四邊形”的變與不變之處，在估計(jì)、測(cè)量、比較、說(shuō)理、聯(lián)想中深化認(rèn)知；研究2-1，旨在通過(guò)畫(huà)、數(shù)、算等活動(dòng)，讓學(xué)生再度理解面積的概念；研究2-2，小組先交流“對(duì)本單元的學(xué)習(xí)還存在的困惑”，教師再組織學(xué)生從知識(shí)建構(gòu)、方法獲得、情感體驗(yàn)等方面進(jìn)行多維自評(píng)，從而促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)化和評(píng)價(jià)多元化。

三、回歸本源，達(dá)成復(fù)習(xí)功能

1.系統(tǒng)整理，提煉方法

課前，學(xué)生都已經(jīng)對(duì)本單元的知識(shí)進(jìn)行了整理，每一份整理單都代表著他們對(duì)“多邊形的面積”這個(gè)單元的個(gè)性化理解。整理單是教師對(duì)學(xué)情的調(diào)研手段，也是生生對(duì)話、師生交流的載體。

課始，學(xué)生圍繞“我整理了什么？我是怎么整理的？”進(jìn)行小組交流，后面如果想法有改變的可以用紅筆修改，這樣可以留下同伴交流的痕跡，展現(xiàn)組內(nèi)共學(xué)的效果。全班交流時(shí)，教師選擇三份具有代表性的學(xué)生作品（如圖1、圖2、圖3），由學(xué)生自己介紹和邀請(qǐng)他人評(píng)價(jià)。

圖1

圖2

圖3

對(duì)于作品一（如圖1），讓作品主人分享自己的想法，并通過(guò)核心問(wèn)題“誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)”引導(dǎo)其他學(xué)生關(guān)注整理內(nèi)容——不僅要整理本學(xué)期學(xué)習(xí)的平面圖形的面積公式，還要整理之前學(xué)習(xí)的長(zhǎng)方形和正方形的面積公式，體現(xiàn)內(nèi)容全面性。

作品二（如圖2），以“你能看懂嗎？他是怎樣整理的？”“誰(shuí)想和他交流？”引領(lǐng)學(xué)生將整理視線從內(nèi)容延伸到方法——不僅整理得全面，還用列表的方法呈現(xiàn)，條理清晰。

作品三（如圖3），重在展示不同的整理方法，追問(wèn)學(xué)生“你又看懂了什么？”，讓學(xué)生在視覺(jué)沖擊、問(wèn)題叩問(wèn)的雙重引領(lǐng)下，自動(dòng)將思維與前學(xué)習(xí)建立關(guān)聯(lián)，并感受到畫(huà)圖整理的優(yōu)點(diǎn)。

最后將三份共性與個(gè)性并存的作品進(jìn)行比較，讓學(xué)生從個(gè)體化表征走向群體化學(xué)習(xí)，并以問(wèn)題“復(fù)習(xí)時(shí)我們可以怎樣整理？你會(huì)提醒大家注意什么？”驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，讓學(xué)生經(jīng)歷從點(diǎn)到面的貫通、從法到理的再構(gòu)，感受到單元整理時(shí)內(nèi)容應(yīng)該全面、方法可以多樣。

2.查漏補(bǔ)缺，溝通關(guān)聯(lián)

“至理數(shù)學(xué)”認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要知其然，更要知其所以然。對(duì)于本單元來(lái)說(shuō)，則是不僅要知道面積公式是什么，還要知道這些公式的來(lái)龍去脈。借助課前整理單，教師可以摸清學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)，找到學(xué)生的困難點(diǎn)，緊扣復(fù)習(xí)難點(diǎn)，展開(kāi)查漏補(bǔ)缺，溝通關(guān)聯(lián)。

（1）補(bǔ)內(nèi)容。課前整理單顯示，后進(jìn)生大多只能關(guān)注到之前學(xué)習(xí)的一個(gè)個(gè)點(diǎn)狀知識(shí)。課上呈現(xiàn)不同層次的作品讓學(xué)生觀察與評(píng)價(jià)，可以有效喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，幫助后進(jìn)生整體建構(gòu)知識(shí)，構(gòu)建大單元視角。

（2）補(bǔ)過(guò)程。課前整理單有一個(gè)特點(diǎn)，那就是重公式記憶、輕過(guò)程推導(dǎo)。不僅是學(xué)生，包括家長(zhǎng)，甚至很多教師也會(huì)認(rèn)為只要熟練記憶公式，會(huì)套用公式計(jì)算即可。其實(shí)不然，形成過(guò)程和數(shù)學(xué)結(jié)果同樣重要。課上，有必要以“回憶一下，平行四邊形的面積公式是怎么推導(dǎo)的”“平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程有什么相同點(diǎn)”等問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生在頭腦中再現(xiàn)推導(dǎo)過(guò)程，以便完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他平面圖形的面積或立體圖形的體積打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

（3）補(bǔ)關(guān)系。分析學(xué)生課前的整理作品后還發(fā)現(xiàn)，關(guān)注和梳理圖形之間關(guān)系的學(xué)生少之又少。然而，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的學(xué)科。因此，整理內(nèi)容不僅要關(guān)注知識(shí)的全面性，還要引導(dǎo)學(xué)生圍繞“在已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的平面圖形中，哪種圖形是最基本的？為什么？”展開(kāi)辨析、說(shuō)明，以理解長(zhǎng)方形的面積公式是“根”，平行四邊形的面積公式是“枝”，三角形和梯形的面積公式是“葉”，再用思維導(dǎo)圖表示它們之間的關(guān)系，繼而猜想：圓的面積公式也能用“轉(zhuǎn)化”嗎？

3.拓展提升，進(jìn)階思維

練習(xí)是“理”的延伸。有效扎實(shí)的練習(xí)能促進(jìn)學(xué)生深化理解，建構(gòu)屬于自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)多途徑思維進(jìn)階。

（1）基礎(chǔ)中變式。表2的研究2-1，先算再想。練習(xí)雖基礎(chǔ)，但要考慮底與高對(duì)應(yīng)關(guān)系、單位換算、多余條件等因素，十分考驗(yàn)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

（2）畫(huà)圖中勾連。表2的研究2-2，學(xué)生獨(dú)立畫(huà)出面積是12平方厘米的平行四邊形、三角形和梯形。

教師選擇三幅具有代表性的學(xué)生作品（如圖4、圖5、圖6）分層展示。層次一：出示圖4，引導(dǎo)學(xué)生觀察作品，計(jì)算驗(yàn)證是否正確。層次二：出示圖5，圍繞“仔細(xì)觀察畫(huà)出的平行四邊形和三角形，比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？”展開(kāi)討論與交流，發(fā)現(xiàn)兩者面積與底、高之間的關(guān)系，由此及彼進(jìn)行直觀聯(lián)想，即面積不變，高不變，三角形的底是平行四邊底的2倍。層次三：出示圖6，圍繞“畫(huà)出的兩個(gè)平行四邊形有什么相同之處？”“觀察第一行的平行四邊形、三角形、梯形，你有什么發(fā)現(xiàn)？（三個(gè)圖形高一樣）”“想一想，梯形的面積公式適用于長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算嗎？”等問(wèn)題，說(shuō)明“等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等，形狀不一定相同”“梯形的面積公式適用于平行四邊形、三角形、長(zhǎng)方形”等。

圖4

圖5

圖6

綜上所述，“至理數(shù)學(xué)”視域下復(fù)習(xí)課的種子課從大單元視角將單元內(nèi)外零散的、碎片化的平面圖形知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，以其共有的本質(zhì)特征，幫助學(xué)生從知識(shí)結(jié)構(gòu)化走向認(rèn)知結(jié)構(gòu)化，進(jìn)而構(gòu)建緊密關(guān)聯(lián)的知識(shí)群。我們認(rèn)為，用結(jié)構(gòu)化的教與學(xué)可以有效推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的持續(xù)優(yōu)化以及核心素養(yǎng)培養(yǎng)的落地，也讓單元復(fù)習(xí)呈現(xiàn)“理”“練”融通的別樣色彩。