解讀設(shè)計實施：“至理數(shù)學(xué)”視域下練習(xí)課教學(xué)三部曲
——以“按比例分配的實際問題”練習(xí)為例

江 蘇 南 京 市 南 灣 營 小 學(xué)（210049） 張春梅

江蘇南京市棲霞區(qū)教師發(fā)展中心（210028） 張明紅

心理學(xué)表明，練習(xí)是學(xué)習(xí)者對學(xué)習(xí)任務(wù)的重復(fù)接觸或重復(fù)反應(yīng)，是人類心智技能和動作技能形成的基本途徑。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教材通常會在新授課的例題教學(xué)之后安排若干與之相匹配的練習(xí)。對于知識點較多或難度較大的內(nèi)容，新授課后還會安排專門的練習(xí)課作為補(bǔ)充和延伸，通過口答、計算、解答等多種方式，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固知識、加強(qiáng)技能、形成策略、拓展思維等。以蘇教版教材為例，一至六年級共安排168個“練習(xí)”，課時數(shù)多達(dá)180余節(jié)，占總課時的四分之一左右。

如何遴選練習(xí)課中的種子課并基于“至理數(shù)學(xué)”理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計呢？我們選擇了若干“練習(xí)”進(jìn)行比較、分析，發(fā)現(xiàn)這些“練習(xí)”的題目雖然因教學(xué)內(nèi)容的差異而不同，但其編排原則、題型題量、難度系數(shù)等卻大體相當(dāng)，特別是一些內(nèi)容較多的單元，因為所包含的知識點高度關(guān)聯(lián)，其對應(yīng)的“練習(xí)”編排也高度一致。因此，我們認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)課的設(shè)計方法和教學(xué)模式可以大致相同。本文擬以蘇教版教材六年級上冊練習(xí)十為例，探索“至理數(shù)學(xué)”教學(xué)主張下練習(xí)課設(shè)計的通用路徑。

一、解讀：教材的安排意圖為何

數(shù)學(xué)教材中的“練習(xí)”往往有多道習(xí)題，這些習(xí)題既隱含著新授課的核心知識，又充滿變化，富有針對性、層次性和多樣性。教師唯有解讀教材編排每道習(xí)題的意圖，讀懂習(xí)題所承載的核心素養(yǎng)，才能更好地幫助學(xué)生鞏固和完善新授課的知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的思維能力得到提升和發(fā)展。

1.整體把握，聚焦核心素養(yǎng)

蘇教版教材六年級上冊的練習(xí)十是“按比例分配的實際問題”的相關(guān)練習(xí)，教材共安排了8道習(xí)題：其中第1～3題是配合例題安排的專項練習(xí)，用于幫助學(xué)生鞏固按比例分配實際問題的數(shù)量關(guān)系，提高運(yùn)用新知解決實際問題的能力；第4～8題是綜合性比較強(qiáng)的習(xí)題，主要引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用比的有關(guān)知識解決實際問題，加深對按比例分配實際問題數(shù)量關(guān)系的理解，再次提升分析問題、解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識。這8道習(xí)題思維空間廣闊，是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑。教師需要在深入分析每道習(xí)題的基礎(chǔ)上，挖掘習(xí)題的顯性和隱性功能，最大限度發(fā)揮習(xí)題的評價作用。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生將蘊(yùn)藏在習(xí)題中的知識聯(lián)系起來，使學(xué)生構(gòu)建完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.新舊關(guān)聯(lián)，促進(jìn)多元理解

數(shù)學(xué)理解與學(xué)生已有知識和生活經(jīng)驗緊密相關(guān)，在遇到新問題時，學(xué)生往往會主動調(diào)取舊知，先從外部感知新的研究對象，再利用新舊知識之間的聯(lián)系建立心理表象。練習(xí)是對舊知的鞏固、加深，也有拓展、延伸之功效，因此，厘清新舊知識的聯(lián)系是設(shè)計練習(xí)任務(wù)的基礎(chǔ)。

例如，“按比例分配的實際問題”練習(xí)的第4題“根據(jù)已知條件回答問題”，要求根據(jù)“母雞和公雞只數(shù)的比是4∶3”解答“母雞的只數(shù)是公雞的幾分之幾”“公雞的只數(shù)是母雞的幾分之幾”，根據(jù)“男生和全班人數(shù)的比是5∶11”解答“男生和女生人數(shù)的比是幾比幾”“男生人數(shù)是女生的幾分之幾”“女生人數(shù)是男生的幾分之幾”。已知條件猶如一個觸發(fā)器，引導(dǎo)學(xué)生推想出其他數(shù)量關(guān)系，以加深學(xué)生對比的意義的理解并進(jìn)一步溝通比與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，為靈活運(yùn)用比和分?jǐn)?shù)等知識解決相關(guān)問題打好基礎(chǔ)。第5題也是如此，它讓學(xué)生根據(jù)直角三角形中兩個銳角度數(shù)的比是3∶2推算銳角度數(shù)，將三角形角的知識點與按比例分配實際問題進(jìn)行關(guān)聯(lián)，這是對按比例分配實際問題解題方法的鞏固，有助于學(xué)生加深對直角三角形角的特征的認(rèn)識，體會按比例分配實際問題的多樣性。

當(dāng)然，在基于學(xué)生的認(rèn)知最近發(fā)展區(qū)和前數(shù)學(xué)經(jīng)驗進(jìn)行教學(xué)活動設(shè)計時，必須精準(zhǔn)、恰當(dāng)，否則學(xué)生對新知的理解仍會難以深入。

3.縱向?qū)Ρ龋喊l(fā)展多方思維

思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)思維研究的重要內(nèi)涵，數(shù)學(xué)練習(xí)對提高學(xué)生的思維品質(zhì)，特別是增強(qiáng)思維的深刻性、清晰性、嚴(yán)密性、靈活性、綜合性和創(chuàng)新性等，具有重要作用。基于“至理數(shù)學(xué)”的練習(xí)課設(shè)計，要求教師反復(fù)比對題型相似的習(xí)題。

例如，“按比例分配的實際問題練習(xí)”的第6題“配置一種藥液，藥粉和水的質(zhì)量比是1∶40”，先求“400克藥粉需加水多少克”，再求“400克水中應(yīng)加藥粉多少克”。雖然都是400克，但第一個400克是藥粉，對應(yīng)1份，第二個400克是水，對應(yīng)40份。結(jié)合兩個量的比去理解具體量所對應(yīng)的份數(shù)，對“已知兩個量的比和其中一個量，求另一個量”的實際問題的解題思路，學(xué)生會把握得更為精準(zhǔn)。第7題“校園里玫瑰和月季棵數(shù)的比是3∶5”，先求“如果玫瑰和月季一共有120棵，這兩種花各有多少棵”，再求“如果月季有120棵，玫瑰有多少棵”?？瓷先ズ偷?題相似，但仔細(xì)分析會發(fā)現(xiàn)：第一個120棵是玫瑰和月季的棵數(shù)總和，求的是兩個部分量；第二個120棵是月季的棵數(shù)，求的是另一個量。這樣的對比練習(xí)有助于學(xué)生從整體上把握按比例分配實際問題的結(jié)構(gòu)特點，形成分析、推理、比較等思維習(xí)慣。

與前幾題相比，第8題的現(xiàn)實性和綜合性更強(qiáng)，本題分三小題：（1）這種混凝土的三種材料是按怎樣的比配制的？（2）要配置120噸這樣的混凝土，三種材料各需要多少噸？（3）如果這三種材料各有18噸，配置這種混凝土，當(dāng)黃沙全部用完時，水泥還剩多少噸？石子已經(jīng)增加了多少噸？第（1）題和第（2）題是基本題，相對容易，第（3）題中三種材料都有18噸，學(xué)生可能會弄不清18噸對應(yīng)的究竟是2份、3份，還是5份。這樣的對比練習(xí)，對培養(yǎng)學(xué)生分析、推理、比較等思維和綜合解決問題能力也大有益處。

二、設(shè)計：理學(xué)案怎樣編制

理學(xué)案是“至理數(shù)學(xué)”教學(xué)主張落地的課堂教學(xué)載體，一份完整的理學(xué)案包括教材分析、學(xué)情調(diào)研、理學(xué)目標(biāo)、理學(xué)歷程四個核心要素。其中理學(xué)歷程是記錄教師“怎么教”、學(xué)生“怎么學(xué)”的檔案，也是理學(xué)案編制中難度最大、綜合程度最強(qiáng)的部分，特別是“主題研究”，作為專供學(xué)生自主研究的學(xué)習(xí)單（通常叫作理學(xué)單），它不僅要提供由理學(xué)目標(biāo)分解、提煉而來的研究任務(wù)，而且要準(zhǔn)確記錄學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中的所思、所想、所為。

根據(jù)“至理數(shù)學(xué)”要求，每個課時的理學(xué)單通常要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計出四個研究任務(wù)，引領(lǐng)學(xué)生尋本質(zhì)、講道理，會關(guān)聯(lián)、能應(yīng)用。按比例分配的實際問題練習(xí)課也是如此（如表1），它以兩大主題研究帶領(lǐng)學(xué)生逐步逼近按比例分配的實際問題的本質(zhì)。學(xué)生在分析問題的過程中逐漸明確按比例分配實際問題的思路，歸納不同問題的相同本質(zhì)，概括出解決問題的方法，從而會關(guān)聯(lián)和應(yīng)用。

表1 “按比例分配的實際問題”練習(xí)理學(xué)單設(shè)計

由表1可知，研究1-1的設(shè)計原型就是教材中的第4題。第（1）題雖然只保留了“母雞和公雞只數(shù)的比是4∶3”這一個條件，但留給學(xué)生的思考空間更加廣闊，學(xué)生可以關(guān)聯(lián)分?jǐn)?shù)和比之間的關(guān)系，也可以突破公雞和母雞兩種量之間的關(guān)系，思維的“觸角”延伸到總量和差量。第（2）題是讓學(xué)生自己補(bǔ)充一個條件計算公雞的只數(shù)，體現(xiàn)了對學(xué)生個體差異的尊重，讓不同層次的學(xué)生根據(jù)自己能力水平選擇不同層次的解題思路，這是“至理數(shù)學(xué)”兒童立場的回歸。研究1-1是對教材習(xí)題進(jìn)行了改頭換面，研究1-2則是尊重教材，采用了教材的第5～7原題，只是在解決要求上有所調(diào)整。因為這幾道習(xí)題本身就非常好，特別是在訓(xùn)練學(xué)生認(rèn)真審題和靈活把握按比例分配實際問題的數(shù)量關(guān)系方面，考查得細(xì)致且全面。研究2-1是以課前收集的好題、易錯題為研究對象，要求學(xué)生分組討論這些習(xí)題好在哪里、哪里易錯。顯然，這樣的處理方式和研究1-2類似，不要求學(xué)生逐題完整計算和解答，但對辨析、說理的要求更高。研究2-2是根據(jù)教材第8題改編而來，舍去第一小題，保留第二小題，改編第三小題，增加了一個小題，給學(xué)生提供了選擇學(xué)習(xí)材料的機(jī)會。

本課中，四個不同的“主題研究”任務(wù)按照“尋找方法—嘗試轉(zhuǎn)化—拓展應(yīng)用”的思路由淺入深，層層推進(jìn)：“尋本質(zhì)·講道理”側(cè)重新知的探索、建構(gòu)，“會關(guān)聯(lián)·能運(yùn)用”更關(guān)注知識的關(guān)聯(lián)、運(yùn)用以及學(xué)生的思維是否得到進(jìn)階。

在理學(xué)歷程中，學(xué)習(xí)活動要有層次、有梯度，不同的主題研究任務(wù)，以及同一主題內(nèi)的新知建構(gòu)任務(wù)和關(guān)聯(lián)運(yùn)用任務(wù)，都必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)、螺旋上升。

三、實施：既定目標(biāo)是否達(dá)成

“至理數(shù)學(xué)”要求理學(xué)目標(biāo)應(yīng)在教材分析、學(xué)情調(diào)研的基礎(chǔ)上擬定，理學(xué)目標(biāo)是研究任務(wù)設(shè)計的依據(jù)，也是在學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動后檢驗?zāi)繕?biāo)是否達(dá)成的標(biāo)準(zhǔn)。

1.講清道理，鞏固所學(xué)

講清數(shù)學(xué)道理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，它貫穿學(xué)習(xí)全過程，適用于所有的課型。練習(xí)課中，教師要善于設(shè)計直擊數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的練習(xí)任務(wù)，幫助學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會、鞏固、理解新學(xué)知識和技能，提高分析問題和解決問題的能力。以下是本課研究1-1的教學(xué)片段。

師：根據(jù)“母雞和公雞只數(shù)的比是4∶3”，你能想到哪些比或分?jǐn)?shù)？

生1：公雞和母雞只數(shù)的比是3∶4，公雞的只數(shù)是母雞的

生2：母雞只數(shù)和總只數(shù)的比是4∶7，公雞只數(shù)和總只數(shù)的比是3∶7。

生3：母雞比公雞多的只數(shù)是公雞的公雞比母雞少的只數(shù)是母雞的也可以用比表示，母雞比公雞多的只數(shù)和公雞的只數(shù)比是1∶3，公雞比母雞少的只數(shù)和母雞只數(shù)的比是1∶4。

生4：母雞比公雞多的只數(shù)是總只數(shù)的

師：我們剛剛想到的分?jǐn)?shù)或比，分別表示哪些量之間的關(guān)系？

生5：3∶4和都是母雞只數(shù)和公雞只數(shù)這兩個量之間的關(guān)系。

生6：4∶7，3∶7，7∶3，7∶4等，表示母雞或公雞其中一個量和總量之間的關(guān)系。

生7：1∶3，1∶4等，表示母雞與公雞的差和其中一個量之間的關(guān)系是母雞與公雞的差和總量之間的關(guān)系。

沒有了原題中給定問題的束縛，學(xué)生思維可以突破“兩種量”“分?jǐn)?shù)關(guān)系”，自由地向著“多種量”“多種關(guān)系”延伸。因為這些分?jǐn)?shù)和比都是學(xué)生自主思考所得，所以他們在給出數(shù)據(jù)的同時會自然而然地做出解釋。我們認(rèn)為，這種解釋就是對“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”的最好詮釋。

2.加深理解，形成策略

山東師范大學(xué)楊澤中教授做過一項關(guān)于數(shù)學(xué)理解的調(diào)查研究，他認(rèn)為數(shù)學(xué)理解的過程起始于積極主動的探索，關(guān)鍵在于新舊知識之間的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系。“至理數(shù)學(xué)”教學(xué)主張?zhí)貏e注重將兒童置于恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)情境中，使其借助已有知識和經(jīng)驗，通過自主研究，主動建構(gòu)新知，加深數(shù)學(xué)理解。仍以本課研究1-1的教學(xué)片段為例。

師：根據(jù)“母雞和公雞只數(shù)的比是4∶3”，補(bǔ)充一個條件，算出公雞的只數(shù)。

生1：我補(bǔ)充“一共有70只雞”。用70÷7×3算出公雞有30只。

生2：我補(bǔ)充“母雞有20只”。母雞是4份，用20÷4×3算出公雞有15只。

生3：我補(bǔ)充“母雞比公雞多30只”。用30÷（4-3）×3，算出公雞有90只。

師：能把你們補(bǔ)充的條件分分類嗎？

……

與教材相比，此設(shè)計是做了加法，旨在讓學(xué)生將前面梳理的數(shù)量關(guān)系與解決問題迅速關(guān)聯(lián)。雖然補(bǔ)充條件、解決問題、方法歸類等任務(wù)均有一定的開放性或挑戰(zhàn)性，但根據(jù)已有經(jīng)驗，學(xué)生能很容易想到補(bǔ)充兩種雞的總只數(shù)、母雞只數(shù)或兩種雞的相差數(shù)，而根據(jù)補(bǔ)充條件對解決方法進(jìn)行歸類，也在學(xué)生能力范圍之內(nèi)，所以整個學(xué)習(xí)過程不僅加深了學(xué)生對按比例分配的理解，還讓解決按比例分配實際問題的方法策略水到渠成。

3.發(fā)展理性，開拓思維

美國數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種理性。追求數(shù)學(xué)理性有助于學(xué)生感受理性思維的力量，提高思維的抽象性、概括性、嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、批判性。培養(yǎng)數(shù)學(xué)理性不僅要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和推理能力，還應(yīng)重視其質(zhì)疑能力的養(yǎng)成，特別是遇到困惑或似是而非的問題時，鼓勵學(xué)生敢批判、勇質(zhì)疑。以本課研究2-1教學(xué)片段為例。

師：這幾道題是易錯題嗎？如果是，是哪里容易出錯？

生1：第①題是易錯題。因為看到長方體的棱長總和是120厘米，長、寬、高的比是5∶3∶2，很多同學(xué)會直接用棱長總和除以長、寬、高的份數(shù)和。其實長方體的棱長總和包含了4條長、4條寬、4條高，應(yīng)先用120÷4得到1條長、1條寬、1條高的和，再按5∶3∶2的比例分配。

生2：第③題也是易錯題。等腰三角形相鄰兩條邊的長度比是2∶5，會讓人誤以為三角形三條邊的長度比是2∶2∶5，就用腰長10厘米除以2再乘總份數(shù)9去算周長。這樣是忽略了“三角形兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)，所以三條邊的長度比應(yīng)該是2∶5∶5，腰是5份，用腰長10厘米除以5再乘總份數(shù)12，得到的數(shù)才是正確的周長。

生3：第②題也是易錯題，這道題很容易找錯20千米對應(yīng)的份數(shù)。兩輛車在距離中點20千米處相遇，說明兩車的路程相差2個20千米，所以應(yīng)該用40千米除以對應(yīng)的份數(shù)先算出一份是多少，再乘總份數(shù)，得到兩地的距離。

……

上述片段中，學(xué)生分析的易錯題極有可能就是他們自己遇到過或出過錯的，再次回顧和分析“哪里易錯”“怎樣改正”，是學(xué)生完成自我糾錯、防錯的絕佳時機(jī)。分析這些題目的易錯點猶如在和過去的自己對話，不論是提醒他人還是告誡自己，都讓學(xué)生的高階思維在自然而然中獲得良好發(fā)展。

可見，練習(xí)課不只是練，隱藏在解決問題背后的理性思考更重要。學(xué)生經(jīng)歷了一段時間的練習(xí)后，需要暫停做題腳步，進(jìn)行適度的整理和反思，如回看相關(guān)問題哪里易錯，應(yīng)該怎樣解決，還可以怎樣解決等。唯有方向正確、思路清晰，理性思維才能得以發(fā)展，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也才能落實。

綜上所述，“至理數(shù)學(xué)”視域下的練習(xí)課堅守兒童立場，回歸學(xué)科本質(zhì)，通過解讀、設(shè)計、實施三個步驟引領(lǐng)學(xué)生講清道理、加深理解、發(fā)展理性，讓“練”“思”交融、“習(xí)”“表”相映，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。