初中代數(shù)推理教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省常州市第二十四中學(xué)天寧分校 徐志強(qiáng)

一、基本情況

（一）教材分析

本節(jié)課內(nèi)容是蘇科版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)九年級下冊5.5用二次函數(shù)解決問題，是基于九年級學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和七八年級學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)等內(nèi)容學(xué)習(xí)的。本節(jié)課的內(nèi)容主要是二次函數(shù)代數(shù)層面上的應(yīng)用，所以屬于代數(shù)推理的范疇，它是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)數(shù)形結(jié)合的綜合應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。

這一節(jié)課的教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生提出問題、觀察問題、分析并解決問題的能力，體會(huì)建模的數(shù)學(xué)思想。另外，通過范導(dǎo)式教學(xué)方式，在“范”“導(dǎo)”的過程中，發(fā)展和提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（二）教學(xué)目標(biāo)

（1）能根據(jù)實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，確定二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）熟練運(yùn)用二次函數(shù)的知識求實(shí)際問題中的最值；

（3）經(jīng)歷用二次函數(shù)表述數(shù)量變化及其關(guān)系的過程，體會(huì)二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型。

（三）教學(xué)重點(diǎn)

應(yīng)用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最值。

（四）教學(xué)難點(diǎn)

找準(zhǔn)等量關(guān)系，確定二次函數(shù)表達(dá)式。

（五）教學(xué)方法

小組討論、范導(dǎo)式學(xué)習(xí)法。

二、教學(xué)過程

（一）生活情境，引發(fā)思考

師：同學(xué)們，自李克強(qiáng)總理提出“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”后，常州積極響應(yīng)，在新北區(qū)黃河路上建立了名為“嘉壹度”的眾創(chuàng)空間，成為眾多創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目的孵化器。那么想入駐，要帶著有發(fā)展?jié)摿Φ捻?xiàng)目，請同學(xué)們與徐老師一起考察以下項(xiàng)目。

問題1.某種糧大戶去年種植優(yōu)質(zhì)水稻360畝，設(shè)今年計(jì)劃多承租畝稻田。預(yù)計(jì)原畝稻田今年每畝可獲利潤x元，新增畝稻田今年每畝的利潤為（440-2x）元。該種糧大戶今年要多承租多少畝稻田，才能獲利158400元？

師：同學(xué)們，這個(gè)實(shí)際問題中，有幾個(gè)未知量？

生：1個(gè)。

師：可以用我們學(xué)習(xí)的什么數(shù)學(xué)模型來解決呢？

生：一元二次方程。

師：同學(xué)們，還記得用方程模型解決問題的步驟嗎？

生：審題→設(shè)未知數(shù)→找等量關(guān)系→列方程→解方程→檢驗(yàn)→作答。

師：請同學(xué)們按照步驟嘗試解決一下。

師：（巡視發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生找不到等量關(guān)系）對這樣量比較多的問題，有什么好的工具嗎？

生：可以列表格（表1）。

表1 等量關(guān)系

師：（展示學(xué)生解答過程）如果你是老板，你會(huì)選擇多承租多少畝稻田呢？

生：既然不多承租稻田和多承租220畝稻田所獲利潤相同，那我會(huì)選擇不多承租稻田。

師：這就是最優(yōu)化方案，但是做生意總是要尋求利潤的最大化。如果你是老板，怎樣能獲得最多的利潤呢？利潤也變成一個(gè)未知量，現(xiàn)在這個(gè)問題中有幾個(gè)未知量？

生：兩個(gè)。

師：如果設(shè)總利潤為y，那么我們把一元二次方程中158400替換成y，一元二次方程就變成了y＝360×440+（440-2x）x。請同學(xué)們通過化簡，揭開它的神秘面紗。

生：化簡得y＝-2x2+440x+158400，是一個(gè)二次函數(shù)的解析式。

師：那今天我們一起來研究用二次函數(shù)解決銷售類最優(yōu)化問題。

設(shè)計(jì)說明：

從有趣真實(shí)的創(chuàng)業(yè)情境導(dǎo)入課堂，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。這樣符合范導(dǎo)式教學(xué)的實(shí)施策略之一——?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)性情境的要求。

以一元二次方程的應(yīng)用類比學(xué)習(xí)二次函數(shù)的應(yīng)用，這里前者就是范導(dǎo)式教學(xué)中的“范”。這樣范導(dǎo)式的教學(xué)方式首先消除了學(xué)生對二次函數(shù)應(yīng)用的畏懼心理，其次也幫助學(xué)生理清了研究的思路，為后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。

（二）知識準(zhǔn)備，回顧復(fù)習(xí)

師：磨刀不誤砍柴工，請同學(xué)們回憶二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的相關(guān)性質(zhì)。

設(shè)計(jì)說明：

引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，為接下來運(yùn)用圖像與性質(zhì)解決問題做好準(zhǔn)備。

（三）建立模型，解決問題

問題2.某種糧大戶去年種植優(yōu)質(zhì)水稻360畝，設(shè)今年計(jì)劃多承租x（100≤x≤150）畝稻田。預(yù)計(jì)原360畝稻田今年每畝可獲利潤440元，新增畝稻田今年每畝的利潤（440-2x）為元。

（1）設(shè)今年總利潤為元，請你寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該種糧大戶今年要多承租多少畝稻田，才能使總利潤最大？最大利潤是多少？

（3）若今年計(jì)劃多承租x（120≤x≤150）畝呢？

師：第一小問我們剛剛已經(jīng)解決了，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝-2x2+440x+158400。第二問求最值相信也難不倒你們，試試看！

生：法1：頂點(diǎn)公式；法2：配方法。

師：同學(xué)們真棒，可以用兩種方法求最值。那么同學(xué)們這里運(yùn)用了二次函數(shù)的哪一條性質(zhì)呢？

生：在頂點(diǎn)處取最值。

師：學(xué)生已經(jīng)完整地利用二次函數(shù)解決了一個(gè)銷售類最優(yōu)化問題，你能總結(jié)一下經(jīng)驗(yàn)嗎？

生：（1）步驟。①審題→②設(shè)未知數(shù)→③找等量關(guān)系→④列二次函數(shù)表達(dá)式→⑤求最值（頂點(diǎn)公式或配方法）→⑥檢驗(yàn)→⑦作答。

（2）可借助表格分析數(shù)量之間的關(guān)系。

（3）常用等量關(guān)系?？偫麧櫍絾挝焕麧檾?shù)量。

（4）注意自變量的取值范圍（最值不在取值范圍內(nèi)時(shí)，利用函數(shù)的增減性來解決）。

（5）求函數(shù)值時(shí)一般代入化簡前的解析式計(jì)算更簡單。

師：同學(xué)們，正所謂學(xué)以致用，用你們積累的寶貴經(jīng)驗(yàn)嘗試?yán)^續(xù)考察一下種地的項(xiàng)目吧。

（四）關(guān)鍵訓(xùn)練，突破難點(diǎn)

師：從上述考察的過程中，同學(xué)們覺得哪一個(gè)步驟，你覺得比較難？

生：找等量關(guān)系，列二次函數(shù)解析式。

師：好的，那就圍繞同學(xué)們的痛點(diǎn)，我們進(jìn)行關(guān)鍵點(diǎn)的訓(xùn)練。今年由于新冠疫情的蔓延，市場行情有波動(dòng)。

問題3：新承租的稻田每增加2畝，其每畝利潤比去年少5元。其余條件不變，求總利潤（元）與新增稻田面積（畝）的函數(shù)關(guān)系式。

師：（展示學(xué)生解答過程）看來同學(xué)們學(xué)習(xí)能力很強(qiáng)??！那接下來，就請同學(xué)們作為市場行情的調(diào)控者，給你的同桌出題，檢查對方是否已經(jīng)掌握。

師：同學(xué)們，我們知道目前國際矛盾多發(fā)，這也在一定程度上影響了我們糧食的市場行情。

（五）課堂小結(jié)，總結(jié)提升

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識和技能？

2.感悟了哪些數(shù)學(xué)思想？

3.你能類比今天研究過程預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容嗎？設(shè)計(jì)說明：

課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識與技能，了解滲透的數(shù)學(xué)思想是基礎(chǔ)。但范導(dǎo)式教學(xué)還提出了更高的要求——能創(chuàng)造性地應(yīng)用。

所以本環(huán)節(jié)精心設(shè)計(jì)了類比學(xué)習(xí)的任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生不僅要思考知識、技能層面的收獲，更要回顧知識、技能獲得的過程。在“范”的引領(lǐng)下，能“導(dǎo)”出更多的成果。

三、回顧與反思

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，筆者認(rèn)為本節(jié)課的主要目的是克服對二次函數(shù)應(yīng)用的畏懼心理，然后按步驟利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決銷售類最優(yōu)化問題。雖然八年級學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、反比例函數(shù)，但是大多數(shù)學(xué)生對函數(shù)還是存在畏懼心理，要想學(xué)生真正掌握，首先要幫助學(xué)生擺脫心理上的障礙。

所以本節(jié)課把重點(diǎn)放在前，難點(diǎn)放在后。通過設(shè)計(jì)發(fā)展性的任務(wù)突破重點(diǎn)；通過多元性的意義協(xié)商翻轉(zhuǎn)課堂；通過類比的方式總結(jié)步驟；通過關(guān)鍵點(diǎn)的訓(xùn)練消化難點(diǎn)；引導(dǎo)學(xué)生自主探究、自主解決，配合教師的示范與適時(shí)點(diǎn)撥，清晰學(xué)生研究思路，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的信心。

（二）教學(xué)反思

范導(dǎo)式教學(xué)的范導(dǎo)性與建構(gòu)性受康德哲學(xué)的啟迪，但又有自身獨(dú)特的內(nèi)涵與要求。

如果康德把世界、自由和靈魂作為范導(dǎo)性概念而統(tǒng)領(lǐng)理想的探索、形成知識過程中指示的“目的與方向”的話。那么，在教學(xué)實(shí)踐領(lǐng)域，真實(shí)性情景、發(fā)展性任務(wù)、多元化意義協(xié)商和創(chuàng)造性應(yīng)用則是引領(lǐng)教學(xué)改革方向，提升學(xué)生核心素養(yǎng)的范導(dǎo)性概念。

1.真實(shí)性情境呈現(xiàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

范導(dǎo)式教學(xué)提倡情境的創(chuàng)設(shè)要有利于學(xué)生感受學(xué)科知識來源于生活的道理。

本節(jié)課要利用二次函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)模型解決銷售類最優(yōu)化問題，但是實(shí)際問題中，往往并不是一個(gè)二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型就能解決的，所以這里要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到本節(jié)課研究的是特定背景下實(shí)際問題。

在課堂伊始，筆者通過李克強(qiáng)總理提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。緊接著通過常州“嘉壹度”眾創(chuàng)空間的真實(shí)案例導(dǎo)入本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)。一方面有利于學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，另一方面普及支持創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)的常州行動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生的自豪感，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人。

在課堂后續(xù)教學(xué)環(huán)節(jié)中，眾創(chuàng)空間的真實(shí)情境一直在延續(xù)，并伴隨著新冠疫情、國際外交局勢等時(shí)事熱點(diǎn)。這些情境是真實(shí)的、貼近生活實(shí)際的，同時(shí)也是比較復(fù)雜的，市場行情受到這樣多種因素的影響，而這樣的影響，數(shù)學(xué)化表達(dá)之后就是不同的條件。在這樣的真實(shí)情境下思考、分析，能加深學(xué)生對生活和數(shù)學(xué)之間聯(lián)系的理解。

2.發(fā)展性任務(wù)驅(qū)動(dòng)，鋪設(shè)探究臺階

發(fā)展性任務(wù)，是指教師根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，從培育學(xué)科核心素養(yǎng)的視角出發(fā)，在深度解讀教材的基礎(chǔ)上，把課堂教學(xué)中要達(dá)成的目標(biāo)分解為若干梯度合理、結(jié)構(gòu)鮮明、富有啟發(fā)性和生成導(dǎo)向的學(xué)習(xí)任務(wù)。

本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容在考察時(shí)通常是以解答題的形式出現(xiàn)，對學(xué)生綜合能力要求還是比較高的。在新課教學(xué)過程中，不能操之過急，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)上設(shè)置有梯度的發(fā)展性任務(wù)，為學(xué)生鋪設(shè)探究的臺階。

教師在突破重點(diǎn)時(shí)，可以設(shè)置在頂點(diǎn)處取最值和不在頂點(diǎn)處取最值兩個(gè)發(fā)展性的任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究，總結(jié)出要注意自變量的取值范圍的經(jīng)驗(yàn)。在突破重點(diǎn)時(shí)，通過一系列的變式，逐漸增加難度，進(jìn)行關(guān)鍵點(diǎn)的訓(xùn)練，在發(fā)展性任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，幫助學(xué)生攻破難點(diǎn)。

在這樣發(fā)展性任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生探究的積極性和信心得到了增強(qiáng)，充分發(fā)揮出學(xué)生的主體性。

3.多元化意義協(xié)商，產(chǎn)生真實(shí)學(xué)習(xí)

多元化意義協(xié)商，是指為了達(dá)成發(fā)展性任務(wù)而采取的靈活多樣的教學(xué)策略、學(xué)習(xí)途徑。

本節(jié)課筆者在設(shè)置問題時(shí)，避免了枯燥的“是不是”“對不對”的問題，而更多地設(shè)置了留白的問題，譬如“請同學(xué)們通過化簡揭開它的神秘面紗”“請同學(xué)們用你積累的經(jīng)驗(yàn)嘗試解決一下”等。在突破難點(diǎn)時(shí)，巧妙地設(shè)計(jì)了同桌互相出題的活動(dòng)，由答題者轉(zhuǎn)變?yōu)槌鲱}者，學(xué)生更加積極地參與到課堂教學(xué)中來。

這樣師生、生生之間的“意義協(xié)商”，轉(zhuǎn)變了傳統(tǒng)的教師教、學(xué)生學(xué)的模式，助力真實(shí)學(xué)習(xí)的發(fā)生。

4.創(chuàng)造性應(yīng)用實(shí)踐，助力思維提升

范導(dǎo)式教學(xué)提倡的創(chuàng)造性應(yīng)用，具有豐富的內(nèi)涵和表現(xiàn)形式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中它可以是課堂上的回答問題、解題、基于證據(jù)的探究，也可以是課后的自主探究。

本節(jié)課筆者引導(dǎo)學(xué)生類比建立方程模型解決問題的研究思路來研究建立二次函數(shù)模型解決問題。在課堂最后總結(jié)環(huán)節(jié)，筆者還設(shè)計(jì)了引導(dǎo)學(xué)生類比這樣的研究思路，繼續(xù)研究后續(xù)小節(jié)的內(nèi)容。通過這樣創(chuàng)造性的應(yīng)用，能助力學(xué)生思維品質(zhì)的提升。