初中數(shù)學例習題設計實踐

江蘇省泰州市智堡實驗學校 杜倩男

2021年國家為推動素質(zhì)教育的發(fā)展制定了“雙減”政策。減輕學生過重的課業(yè)負擔是一個老話題，雙減不單單是減輕學生過重的課外補習的負擔和作業(yè)負擔，更重要的引導教育面向新時代，并從整體上提升教育的質(zhì)量和效率，形成高質(zhì)量的教育體系。“深度學習”不同于傳統(tǒng)的被動接受、灌輸式的“淺層學習”，它要求學生不僅要掌握理論知識，更能通過思考、討論、交流、互動等活動，解決各種各樣的實際問題。在初中數(shù)學課程改革中，例習題的設計是落實“雙減”政策的重要環(huán)節(jié)，也是實現(xiàn)學生深度學習的重要內(nèi)容。因此，教師應結(jié)合“雙減”背景，從深度學習的角度探究例習題設計策略。

一、合理設計例題，引導學生感知數(shù)學

“雙減”背景下，初中數(shù)學課程教學應以“減負提質(zhì)”為目標，優(yōu)化設計，減輕學生的負擔，并最大程度完成教學目標，保證教學的有效性。例題在初中數(shù)學教學設計中占據(jù)著重要的位置。通常情況下，例題具有示范引領、揭示方法、介紹新知、鞏固新知、思維訓練和文化育人等功能。因此，學生在例題的引導下能由淺入深實現(xiàn)對數(shù)學知識的探究。但是，目前在初中數(shù)學教學指導中，一些例題的設計與運用并不合理，學生對數(shù)學知識的學習更多的是停留在表面。教師在例題講解中忽視了學生的參與，導致例題的功能得不到有效發(fā)揮，影響了課堂教學效果。針對此現(xiàn)象，初中數(shù)學教師應結(jié)合“雙減”背景明確深度學習的要求，合理設計例題，讓學生主動完成探究，由淺入深掌握數(shù)學知識。

例如，在指導學生利用“消元法”解二元一次方程組過程中，教師通過對教材的分析，聯(lián)系上節(jié)課講授的“代入法”內(nèi)容，將上節(jié)課的習題再一次引入到本節(jié)課中來，讓學生在舊知識的鋪墊下完成新知識的探究。

例題：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分。某隊為了爭取較好名次，想在全部10場比賽中得到16分，那么這個隊勝負場數(shù)應分別是多少？

通過對這一例題的計算，學生初步認識到可以通過數(shù)學運算對二元一次方程組進行變形，變形的目的是消掉其中的一個未知數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這樣則可以求出方程組的解。在這一認識的基礎上，教師為了引導學生深度學習，繼續(xù)追問：在第一種解法中，我們采用消去y方法進行變形，那么如果想消去x該怎么辦呢？由于方程組中x的系數(shù)不相同，所以回答這一問題的難度較大。教師引導學生合作討論，提示學生繼續(xù)通過數(shù)學運算的方式對兩個方程組進行等價變換，想方設法將x的系數(shù)變得相同。最后，在教師的引導和學生的嘗試下，學生通過在方程x+y＝10兩邊同時乘以2的方式將原式變?yōu)?x+2y＝20，這樣兩個方程x的系數(shù)就相同了，接下來在利用第一種解法的步驟完成消元，得出答案。

在這一課堂例題的設計中，教師通過新舊知識的聯(lián)系，直接將上節(jié)課的典型例題拿來運用，減少了導入環(huán)節(jié)運用的時間，提高了課堂效率。同時，在例題的講解中，教師由淺入深，由簡單到復雜，讓學生步步深挖其中的數(shù)學知識，也達到了深度學習目的。

二、組織課堂討論，培養(yǎng)學生高階思維

高階思維是指發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力。具備高階思維的人通常形成使用抽象的思維結(jié)構(gòu)，能應用合理的邏輯和判斷準則，能形成高層次的認知能力。數(shù)學作為一門邏輯性較強的學科，對學生而言，深度學習的過程也是鍛煉、形成并運用高階思維的過程。在初中數(shù)學課堂上，例習題是引導課堂活動開展的重要內(nèi)容。從指向深度學習來看，學生在例習題中實現(xiàn)有效的互動討論，能突破個人思維的局限，實現(xiàn)多角度探究問題，進而實現(xiàn)思維從低階向高階發(fā)展。

例如，在“一次函數(shù)”的教學設計中，教師通過學情分析了解到學生已經(jīng)掌握了函數(shù)中兩個變量的關(guān)系，能列出變量間的關(guān)系表達式。但是借助生活情境，正確將實際問題抽象為函數(shù)模型是有一定困難的，因此教師需要引導學生通過獨立思考與合作討論的方式進一步理解變量和函數(shù)之間的關(guān)系。教師在課堂導入環(huán)節(jié)聯(lián)系已經(jīng)學過的正比例函數(shù)的相關(guān)知識，引導學生類比、遷移，根據(jù)問題列出函數(shù)關(guān)系式。接下來，教師為學生設計了一系列的例題，引導學生循序漸進探究新知：（1）正方形周長l隨邊長x變化而變化；（2）長方形的長為常量a時，面積S隨寬x變化而變化；（3）高速列車以300 km／h的速度駛離A站，列車行駛的路程y（km）隨行駛時間t（h）變化而變化；（4）A、B兩站相距200 km，一列火車從B站出發(fā)以120 km／h的速度駛向C站，火車離A站的路程y（km）隨行駛時間t（h）變化而變化。由于例題較多，且涉及新舊知識之間的聯(lián)系，學生在分析、思考的過程中往往無法把握重點，導致思路陷入混亂。針對此情況，教師組織學生進行小組合作，列出相應的函數(shù)關(guān)系式，并說一說其中的變量都構(gòu)成了怎樣的函數(shù)關(guān)系。通過學生的合作討論得出：前3道例題列出的函數(shù)為正比例函數(shù)，而例（4）的y＝200+120t則是一次函數(shù)。教師在學生得出結(jié)論的基礎上乘勝追擊要求學生進一步討論，并找出一次函數(shù)解析表達式中的k、b的值。這樣可以及時鞏固學生對一次函數(shù)的概念，強化對k、b的認識。接下來，教師設計習題引導學生深入思考：一盤蚊香長105 cm，點燃后，每小時縮短10 cm，請你寫出蚊香點燃后的長度y（cm）與蚊香燃燒時間t（h）之間的函數(shù)表達式，并計算該盤蚊香可燃燒多長時間？教師為學生提供獨立思考的機會，讓學生根據(jù)新掌握的一次函數(shù)的相關(guān)知識作答，以深化認識，鍛煉抽象思維。最后，教師設計思考問題：正比例函數(shù)和之前所學的正比例是否為同一概念？要求學生通過小組合作討論解決問題。這樣學生能通過集思廣益實現(xiàn)對易混淆的知識點的整理，提煉二者的異同點，建立良好的邏輯知識體系，實現(xiàn)深度學習。

三、設計課堂練習，鞏固課堂學習效果

課堂練習是初中數(shù)學課堂教學的重要組成部分，是學生學習過程中不可缺少的重要環(huán)節(jié)；是學生掌握知識形成技能，發(fā)展智力挖掘創(chuàng)新潛能的重要手段；是教師了解學生知識掌握情況的主要途徑。在“雙減”背景之下，對學生課后作業(yè)的要求是“減少時間而不減少知識量”“減負不減質(zhì)”。因此，精心設計課堂習題則成為教師教學研究的重要內(nèi)容。此外，在指向課堂深度學習的情況下，教師也應該重視習題的設計，利用信息促進學生深度思考，讓學生思維實現(xiàn)從低階向高階的進步。

通過這三類習題，學生能進一步理解同類項與合并同類項的概念，并熟練掌握合并同類項的法則，形成運用數(shù)學知識解答簡單問題的能力。教師則對學生的答題情況進行監(jiān)督，利用小組內(nèi)互相檢查，檢驗學生是否真正理解了同類項與合并同類項的概念，是否真正掌握了合并同類項法則。當大部分學生通過練習掌握了合并同類項的重難點知識后，教師再結(jié)合生活實際設計應用題。習題4：水庫水位第一天連續(xù)下降了ah，每小時平均下降2 cm；第二天連續(xù)上升了ah，每小時平均上升0.5 cm，這兩天水位總的變化情況如何？習題5：某商店原有5袋大米，每袋大米為x kg，上午賣出3袋，下午又購進同樣包裝的大米4袋，目前這個商店有大米多少千克？

習題4和習題5將合并同類項的相關(guān)知識納入到真實的問題情境中去，學生要想運用數(shù)學知識，首先要梳理其中的條件，了解問題情境中的關(guān)鍵詞。這兩個問題相較于之前的習題難度有所增加，學生不僅需要調(diào)動所學知識，還需要進行邏輯推理、綜合分析。完成了習題解答，學生不僅可以進一步鞏固數(shù)學概念，更能實現(xiàn)高階思維的發(fā)展。

在這一教學案例中，教師十分重視習題的設計，在學生掌握了理論知識的基礎上，為學生提供練習的機會，讓學生在解答問題的過程中鞏固知識、深入探究，進而發(fā)展思維品質(zhì)。

四、優(yōu)化作業(yè)設計，引導學生深化學習

在全面貫徹落實“雙減”政策的背景下，優(yōu)化作業(yè)設計成為教學研究的重要課題。在初中數(shù)學課程改革中，教師應重視課后作業(yè)優(yōu)化設計，減輕學生的作業(yè)負擔，不僅做到控制作業(yè)總量，還要“提質(zhì)”?？茖W布置作業(yè)，提高作業(yè)設計質(zhì)量，關(guān)鍵在于發(fā)揮作業(yè)的診斷、鞏固、學情分析等功能，同時系統(tǒng)設計符合學生年齡特點和學習規(guī)律、體現(xiàn)素質(zhì)教育導向的基礎性作業(yè)，并針對學生學習能力的不同，分層設計個性化作業(yè)。當然，從深度學習的角度講，課后作業(yè)對學生深入理解數(shù)學知識，形成學以致用的能力，形成良好的價值觀念也是十分重要的。

作業(yè)設計離不開例題和習題，教師可以利用課堂上的典型習題進行變式，為學生設計有層次、有差異的作業(yè)，也可以編創(chuàng)習題，結(jié)合學生的實際情況進行布置，讓學生在減輕學習負擔的前提下由淺入深，實現(xiàn)對數(shù)學的深度學習。

例如，在部編人教版初中數(shù)學教材《一元一次方程》這一節(jié)中設置了例題：根據(jù)下列問題，設未知數(shù)并列出方程：（1）用一根長24 cm的鐵絲圍成一個正方形。正方形的邊長是多少？（2）一臺計算機已使用1 700 h，預計每月再使用150 h。經(jīng)過多少月計算機的使用時間達到規(guī)定的檢修時間2 450 h。（3）某校女生占全體學生數(shù)的52%。比男生多80人。這個學校有多少學生？3道典型例題聯(lián)系已學的數(shù)學知識引導學生理清了設未知數(shù)列一元一次方程的思路。在此基礎上，教師根據(jù)例題進行變式，為學生設計基礎性作業(yè)：根據(jù)下列問題，設未知數(shù)，列出方程：（1）環(huán)形跑道一周長400 m，沿跑道跑多少周，可以跑了3 000 m？（2）甲種鉛筆每支0.3元，乙種鉛筆每支0.6元。用9元錢買了兩種鉛筆共20支，兩種鉛筆各買了多少支？（3）用買10個大水杯的錢，可以買15個小水杯。大水杯比小水的單價多5元。兩種水杯的單價各是多少元？作業(yè)內(nèi)容在教材習題的基礎上進行了細微的變動，其難度較低，學生可以延續(xù)例題的思路進行解答，以鞏固例題中蘊含的一元一次方程的知識。

五、結(jié)語

總之，在雙減背景下，引導學生實現(xiàn)深度學習是實現(xiàn)減負提質(zhì)目標的必然要求。在初中數(shù)學例習題的設計中，教師應立足學生主體，明確學生的發(fā)展層次，并設計例習題，以幫助學生鞏固理論知識，掌握解題技巧，實現(xiàn)深入思考。通過上述研究可知，在深度學習的視角下，教師不僅要重視學生自主思考，也應引導學生合作討論，促進學生對數(shù)學探究的由淺入深。當然，在“雙減”落實過程中，初中數(shù)學教師還應進一步探索，研究適合學生深度學習的例習題，為實現(xiàn)“減負提質(zhì)”積累經(jīng)驗。