再探2022年的中考數(shù)學(xué)文化試題*

羅 偉 (江蘇省徐州市第二十四中學(xué) 221004)

呂中學(xué) (江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 221116)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱《課標(biāo)2022》)指出，課程內(nèi)容的選擇要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化[1]2.對(duì)于優(yōu)秀的外國傳統(tǒng)文化，也可以借鑒吸收.對(duì)于試題的命制，《課標(biāo)2022》指出，可以設(shè)計(jì)合理的生活情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境，適當(dāng)引入數(shù)學(xué)文化[1]92.文[2]對(duì)2021年中考數(shù)學(xué)文化試題從基本數(shù)學(xué)思想、中國古代名著、經(jīng)典成語故事、趣味數(shù)學(xué)拼圖、著名文化遺產(chǎn)、國際數(shù)學(xué)視野進(jìn)行了賞析，本文擬從數(shù)學(xué)史書、數(shù)學(xué)名人、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)交流等方面再探2022年各地中考數(shù)學(xué)文化試題.

1 數(shù)學(xué)史書

例1(株洲)中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”.“方田一段，一角圓池占之.”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切，如圖2所示).”問題：在此圖中，正方形一條對(duì)角線AB與⊙O相交于點(diǎn)M,N(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右上方)，若AB的長度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長度為______丈.

評(píng)析本題通過圓、正方形及相似三角形性質(zhì)解決問題，難度中等，能培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力.《四元玉鑒》是中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰闡述多年研究成果的一部力著，全書共分3卷，24門，288問，書中所有問題都與求解方程(組)有關(guān).《算學(xué)啟蒙》也是朱世杰所著，內(nèi)容由淺入深，循序漸進(jìn)，自成系統(tǒng)，是一部很好的數(shù)學(xué)啟蒙讀物.隨州卷考查了書中的追及問題，要求列一元一次方程.

在各地中考中還頻頻出現(xiàn)了一些其他的名著.

《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世紀(jì)，在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理，湘潭卷考查了書中的弦圖與三角函數(shù)；黃岡卷考查了勾股弦的規(guī)律及代數(shù)式表示.

《九章算術(shù)》是我國漢代的數(shù)學(xué)名著，在中考中出現(xiàn)的次數(shù)最多，多與方程(組)有關(guān)，寧波、眉山卷考查的是書中的二元一次方程組；武威卷考查一元一次方程；遵義卷考查“塹堵”的左視圖；宜昌卷考查負(fù)數(shù).

《孫子算經(jīng)》是中國南北朝時(shí)期重要的數(shù)學(xué)著作，是一部最具智慧且激發(fā)人探尋數(shù)學(xué)奧妙的書，南充卷考查了書中著名的雞兔同籠問題，但是要求列一元一次方程；岳陽卷考查百鹿進(jìn)城，實(shí)際上列一元一次方程容易求解.《數(shù)書九章》由南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著.全書采用問題集的形式，共列算題81問，分為9類.宜賓卷考查了書中根據(jù)公式由三邊求三角形的面積.

《算法統(tǒng)宗》是由明代數(shù)學(xué)家程大位編著的一部應(yīng)用數(shù)學(xué)書，該書曾傳入日本、朝鮮、東南亞和歐洲，成為東方古代數(shù)學(xué)的名著.成都卷考查了書中列二元一次方程組.《御制數(shù)理精蘊(yùn)》于清康熙年間編著而成，是一部介紹包括西方數(shù)學(xué)知識(shí)在內(nèi)的數(shù)學(xué)百科全書.畢節(jié)、達(dá)州卷考查了書中列二元一次方程組.武威卷還考查了清末教科書《最新中學(xué)教科書用器畫》中的尺規(guī)作圖、計(jì)算及證明問題.

數(shù)學(xué)史書是數(shù)學(xué)的瑰寶，反映了古代數(shù)學(xué)家及勞動(dòng)人民的智慧，對(duì)現(xiàn)在的學(xué)生及教師來說，仍有很大的學(xué)習(xí)價(jià)值，我們?nèi)砸橙∑渲袪I養(yǎng)，以豐富自己的人文底蘊(yùn).

2 數(shù)學(xué)名人

例2(大慶)函數(shù)y=[x]叫做高斯函數(shù)，其中x為任意實(shí)數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù).定義{x}=x-[x]，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為( ).

①[-4.1]=-4；② {3.5}=0.5；③高斯函數(shù)y=[x]中，當(dāng)y=-3時(shí)，x的取值范圍是-3≤x<-2；④函數(shù)y={x}中，當(dāng)2.5

A.0 B.1 C.2 D.3

解根據(jù)高斯函數(shù)的定義，[-4.1]表示不超過-4.1的最大整數(shù)，結(jié)果為-5，①錯(cuò)誤；{3.5}=3.5-[3.5]=3.5-3=0.5，②正確；當(dāng)-3≤x<-2時(shí)，y=[x]=-3，③正確；y={x}=x-[x]，當(dāng)x=2.5時(shí)，y=2.5-[2.5]=2.5-2=0.5，當(dāng)x=3.5時(shí)，y=0.5，當(dāng)x=3時(shí)，y=3-[3]=3-3=0，當(dāng)x從2越來越大，不斷接近于3時(shí)，此時(shí)y接近于1，④正確，故選D.

評(píng)析函數(shù)y=[x]稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，它的圖象很美，成周期分布.本題能培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，做到用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.高斯是德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、幾何學(xué)家、大地測量學(xué)家，是世界上最重要的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù).

例3(瀘州)菲爾茲獎(jiǎng)是國際上享有崇高聲譽(yù)的一個(gè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)，每四年評(píng)選一次，主要授予年輕的數(shù)學(xué)家.下面數(shù)據(jù)是部分獲獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)時(shí)的年齡(單位：歲)：29,32,33,35,35,40，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( ).

A.35,35 B.34,33 C.34,35 D.35,34

評(píng)析 一方面，這個(gè)題目難度不大，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念，另一方面從題目中我們看出年輕數(shù)學(xué)家取得卓越的成果，讓我們欽佩.菲爾茲獎(jiǎng)，是加拿大數(shù)學(xué)家菲爾茲倡議設(shè)立的國際性數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)，于1936年首次頒發(fā).菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的國際最高獎(jiǎng)項(xiàng)之一.因諾貝爾獎(jiǎng)未設(shè)置數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，故該獎(jiǎng)被譽(yù)為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)”.

數(shù)學(xué)名人一般指著名的中外數(shù)學(xué)家，他們解決了數(shù)學(xué)難題，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展與傳播作出了巨大的貢獻(xiàn).高斯和菲爾茲是外國數(shù)學(xué)家的代表，中國也有數(shù)學(xué)家為世人所敬仰，比如程大位和華羅庚等.以數(shù)學(xué)家為背景命題，能使學(xué)生確立學(xué)習(xí)榜樣，樹立遠(yuǎn)大理想，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

3 數(shù)學(xué)游戲

例4(武漢)幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格.將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖4就是一個(gè)幻方.圖5是一個(gè)未完成的幻方，則x與y的和是( ).

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5 圖6

A.9 B.10 C.11 D.12

解幻方的特點(diǎn)是每一橫行、每一豎列以及每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，此外，還有一個(gè)特點(diǎn)，最中間一個(gè)數(shù)是包含這個(gè)數(shù)的每一行、每一列、每條對(duì)角線三個(gè)數(shù)的平均數(shù).包含x的第一行、第一列三個(gè)數(shù)的和相等，可得第一列最下面一個(gè)數(shù)是6+20-22=4，4和20的平均數(shù)為12，所以最中間一個(gè)數(shù)是12.對(duì)角線上這三個(gè)數(shù)的和為12×3=36，所以x=36-4-22=10，y=36-22-12=2，x+y=10+2=12，如圖6所示.

評(píng)析圖4中只知道三個(gè)數(shù)，根據(jù)九宮格的本質(zhì)就可以求出剩下的六個(gè)數(shù)，實(shí)際上是運(yùn)用方程的思想.九宮格(或者叫三階幻方)也可以看做數(shù)學(xué)游戲，在規(guī)則下，能培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力、模型思想，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力.另外威海卷也考查了三階幻方；江西卷考查了七巧板拼圖及相關(guān)的計(jì)算.

數(shù)學(xué)游戲比純粹的數(shù)學(xué)有趣，學(xué)生都喜歡也更易入手.因此數(shù)學(xué)游戲可以輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).在游戲的過程中，如果走不下去，可以請(qǐng)同學(xué)互相幫助，進(jìn)行點(diǎn)撥，這一過程能培養(yǎng)思維與能力，達(dá)到寓教于樂的效果，做到學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

4 數(shù)學(xué)應(yīng)用

例5(廣西北部灣)古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔的影子頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度.如圖7，木桿EF長 2 m，它的影長FD是4 m，同一時(shí)刻測得OA是268 m，則金字塔的高度BO是m.

圖7

評(píng)析我們知道，直接測量金字塔的高度不好辦，數(shù)學(xué)家泰勒斯利用立桿測影的方法通過列比例式巧妙地解決了這個(gè)問題.此外，婁底卷的結(jié)繩計(jì)數(shù)也體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

數(shù)學(xué)應(yīng)用，就是在生活中通過數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題，顯示了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值.對(duì)于人們來說，能解決問題才是目的，這也說明了數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的有效工具，能培養(yǎng)實(shí)踐創(chuàng)新素養(yǎng).

5 數(shù)學(xué)探索

例6(德陽)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)整數(shù)進(jìn)行了深入的研究，尤其注意形與數(shù)的關(guān)系，“多邊形數(shù)”也稱為“形數(shù)”，就是形與數(shù)的結(jié)合物.用點(diǎn)排成的圖形如圖所示.

其中，圖8的點(diǎn)數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個(gè)三角形數(shù)是1，第二個(gè)三角形數(shù)是1+2=3，第三個(gè)三角形數(shù)是1+2+3=6……圖9的點(diǎn)數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個(gè)正方形數(shù)是1，第二個(gè)正方形數(shù)是1+3=4，第三個(gè)正方形數(shù)是1+ 3+5=9……由此類推，圖11中第五個(gè)六邊形數(shù)是.

圖8 圖9 圖10 圖11

解我們仔細(xì)看題，結(jié)合圖形尋找規(guī)律.圖11的點(diǎn)數(shù)叫做六邊形數(shù)，從上至下第一個(gè)六邊形數(shù)是1，第二個(gè)六邊形數(shù)是1+5=6，第三個(gè)六邊形數(shù)是1+5+9=15，第四個(gè)六邊形數(shù)是1+5+ 9+13=28，第五個(gè)六邊形數(shù)是1+5+9+13+ 17=45，故答案為45.

評(píng)析畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)整數(shù)的研究比較深入，本題的思路就是數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合圖8～10告訴的結(jié)論去尋求規(guī)律，最后得出結(jié)論.

例7(遂寧)“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩條直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一顆樹而得名.假設(shè)如圖12所示分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理，第六代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)為.

圖12

解第一代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)是1+2+3(或20+21=3)，第二代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)是1+2+4=7(或20+21+22=7)，第三代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)是1+2+4+8=15(或20+21+22+23=15)，猜測第六代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)是1+2+4+8+16+32+64=127(或20+21+22+23+24+25+26=127)，故答案為127.

評(píng)析通過觀察、總結(jié)、歸納，可以看出規(guī)律，真沒想到，勾股樹中還有如此美妙的算式.不論是數(shù)學(xué)家還是教師、學(xué)生，都需要數(shù)學(xué)探索，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，過程雖然艱辛，但在追求真理的過程中能感受到數(shù)學(xué)的力量以及成功后的喜悅感，增強(qiáng)了科學(xué)精神.

6 數(shù)學(xué)交流

例8(遵義)圖13是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME)會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖14所示的四邊形OABC.若AB=BC=1，∠AOB=30°，則點(diǎn)B到OC的距離為( ).

圖13 圖14

圖15

評(píng)析這個(gè)會(huì)徽展示的就是勾股定理的連續(xù)應(yīng)用，得到了美麗的圖案.在教材中，就是通過此方法不斷產(chǎn)生無理數(shù).國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME)正是數(shù)學(xué)家交流數(shù)學(xué)成果的會(huì)議，大家通過交流，能了解數(shù)學(xué)的最新成果，互相學(xué)習(xí)，增進(jìn)友誼，為攀登數(shù)學(xué)高峰共同努力.

例9(遂寧)圖16中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( ).

圖16

A.科克曲線 B.笛卡爾心形線

C.阿基米德螺旋線 D.趙爽弦圖

解軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，兩旁的部分能完全重合，中心對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，與原來的圖形能完全重合，本題選A.

評(píng)析軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的判斷屬于基本技能，難度不大，我們還要了解題目中三線一圖，科克曲線是一種典型的分形曲線，它是瑞典數(shù)學(xué)家科克于1904年構(gòu)造出來的；笛卡爾心形線傳說是瑞典的小公主根據(jù)法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾給她寫的信中的一個(gè)公式r=a(1-sinθ)，畫出的圖形像心形而得名；阿基米德是古希臘數(shù)學(xué)家，阿基米德螺旋線是一個(gè)點(diǎn)勻速離開一個(gè)固定點(diǎn)的同時(shí)又以固定的角速度繞該固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡；三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)創(chuàng)制了一幅圖，以弦為邊長得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成，被稱為趙爽弦圖，它經(jīng)典而久遠(yuǎn)，被譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”.本題中的四個(gè)圖形三曲一直背景深厚，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)味濃，說明中外數(shù)學(xué)家的積極貢獻(xiàn)得到了國際認(rèn)同，促進(jìn)了人類的文明與繁榮.

數(shù)學(xué)交流不僅是中外交流、古今交流，也可以是師生交流，通過交流，我們?nèi)シ窒?、聆聽和討論?shù)學(xué)的思想、方法，感受、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的文化，豐富自己的底蘊(yùn)，培養(yǎng)責(zé)任擔(dān)當(dāng).

7 結(jié)語

通過對(duì)2022年的中考數(shù)學(xué)文化試題分析可以看到，數(shù)學(xué)史書能開闊視野，數(shù)學(xué)名人樹榜樣力量，數(shù)學(xué)游戲能激發(fā)興趣，數(shù)學(xué)應(yīng)用顯實(shí)用價(jià)值，數(shù)學(xué)探索呈艱辛之路，數(shù)學(xué)交流促專業(yè)成長.在以后的教學(xué)中，根據(jù)陶行知先生“做中學(xué)”的教育思想，教師可以適時(shí)開展數(shù)學(xué)文化講座，讓學(xué)生多閱讀與賞析數(shù)學(xué)文化相關(guān)書籍，參加數(shù)學(xué)文化實(shí)踐活動(dòng)、數(shù)學(xué)文化知識(shí)競賽、繪制數(shù)學(xué)文化手抄報(bào)等，不斷提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).