初中數(shù)學(xué)習(xí)題的重構(gòu)與再設(shè)計

闕 成 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校 215100)

1 問題提出

2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)的意見》，文件明確要求減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān).其中減輕學(xué)生作業(yè)負擔(dān)的關(guān)鍵是提高作業(yè)質(zhì)量.因此，研究“雙減”背景下的作業(yè)設(shè)計勢在必行.

在實際教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在每日作業(yè)中產(chǎn)生的很多錯誤都對應(yīng)著單一的知識點.在作業(yè)的講評過程中，由于時間有限，教師很容易“就題論題”，脫離知識點產(chǎn)生和應(yīng)用的情境.這樣，學(xué)生在訂正和復(fù)習(xí)過程中依然無法逃離碎片化知識的反復(fù)記憶與機械練習(xí)，教師也會陷入到重復(fù)講解的困境中.長此以往，很難使學(xué)生從知識間的聯(lián)系出發(fā)理解所學(xué)內(nèi)容，也無法真正做到“減負提質(zhì)”.

因此，本文從“二元一次方程組”課后作業(yè)的兩道易錯題出發(fā)，根據(jù)考查目標(biāo)的不同，闡述習(xí)題重構(gòu)的設(shè)計思路和實施流程，并結(jié)合實際教學(xué)效果進行調(diào)整，做到“教、學(xué)、做合一”.希望能借此提升學(xué)生在課前、課堂、課后的學(xué)習(xí)效率，在減輕學(xué)生作業(yè)負擔(dān)的同時，達到“學(xué)科育人”的目的.

2 習(xí)題的重構(gòu)與再設(shè)計

下文中的兩道習(xí)題來自蘇科版數(shù)學(xué)七下10.2節(jié)“二元一次方程組”對應(yīng)的課后作業(yè)，一題為概念題，一題為開放型問題.學(xué)生在完成過程中都出現(xiàn)了不少錯誤與困惑.筆者根據(jù)學(xué)生情況與教學(xué)目標(biāo)的不同進行再設(shè)計，將其分別以課前作業(yè)、課堂作業(yè)的形式呈現(xiàn)，提升這兩道題的育人價值.

2.1 課前作業(yè)的思考與設(shè)計

·題目呈現(xiàn)

下列方程組中，屬于二元一次方程組的是( ).

·題目反思

·課前作業(yè)設(shè)計

請結(jié)合上一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容、課本新課的預(yù)習(xí)、課外資料的查找、同學(xué)間交流，判斷下列方程組是否是二元一次方程組：

G.口袋中有x個紅球、y個白球，共10個球，可建立方程x+y=10；班級里有x名男生、y名女生，共40名學(xué)生，可建立方程x+y=40.將兩方程聯(lián)立所得的方程組.

·設(shè)計思路

該課前作業(yè)從小型化、精準(zhǔn)化、過程化、梯度化四個角度進行設(shè)計，思路如圖1.

圖1

①小型化

課前作業(yè)的設(shè)計初衷是幫助學(xué)生提前為新課做好準(zhǔn)備，提高上課效率，從而減輕掌握知識的困難.這就意味著其本身不能加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)，因此，該作業(yè)就必須是小型的，能夠在10分鐘內(nèi)完成.本例中，需要學(xué)生提前預(yù)習(xí)的切口很小，就是課本“二元一次方程組”的判定.

②精準(zhǔn)化

為了使課前作業(yè)更為有效，需要給學(xué)生提出具體明確的任務(wù).本例中的7種情況，相對于書本的描述性定義，給學(xué)生提供了更豐富的資源去探究.并且每種情況對應(yīng)一個需要注意的點：選項A—方程的次數(shù)為1；選項B—方程組中未知數(shù)的數(shù)量不能超過2個；選項C—必須是整式方程；選項D—方程組中不是每個方程都必須含有兩個未知數(shù)；選項E—是選項D的更特殊的情況；選項F—可以超過兩個方程聯(lián)立；選項G—各方程中的每個字母必須代表同一數(shù)量才能聯(lián)立.學(xué)生在判斷的過程中可以清楚地體會出自己通過預(yù)習(xí)已掌握或仍模糊的點.

③過程化

課前作業(yè)并不是獨立存在的作業(yè)，它需要與之前學(xué)過的內(nèi)容關(guān)聯(lián)，并指向未來將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，起到承上啟下的作用.本題的選項A～C在上一節(jié)課“二元一次方程”中就有所涉及，在完成的過程中要求學(xué)生回顧上節(jié)課的內(nèi)容，可以起到復(fù)習(xí)的功能.同時，需要學(xué)生利用舊知解決新問題，鍛煉了學(xué)生的應(yīng)用意識，幫助學(xué)生構(gòu)建起知識體系，也為之后研究“三元一次方程組”等其他問題打下基礎(chǔ).

本題的選項D～G是學(xué)生用已有知識比較難以判斷的情況，這也激發(fā)了學(xué)生探究的興趣.部分學(xué)生能夠通過對定義的深刻理解、同學(xué)間討論、課外資料的查找解決其中部分或全部問題.這個過程進一步培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.實際作業(yè)中，鼓勵學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)進行資料查找，這符合2022版新課標(biāo)[1]對于“利用信息技術(shù)，豐富學(xué)習(xí)資源.在實際問題解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力，提高學(xué)生的信息素養(yǎng)”的要求.

即使學(xué)生在完成作業(yè)過程中無法判斷部分情況，這也使得這部分學(xué)生可以帶著疑問進入新課課堂，更容易投入到新課學(xué)習(xí)中.

④梯度化

本例中的作業(yè)雖然以小型化作為目標(biāo)，但依然有很明顯的梯度設(shè)置.選項A～C著重基礎(chǔ)性，學(xué)生上手比較容易；選項D～G有一定拓展性，在規(guī)定的10分鐘時間內(nèi)可能有一部分學(xué)生無法完成.這保證了所有學(xué)生都對新課有一定的準(zhǔn)備，同時讓部分學(xué)生進一步挖掘，在過程中體驗成就感與解決問題的滿足感.

2.2 課堂作業(yè)的思考與設(shè)計

·題目呈現(xiàn)

·題目反思

我們現(xiàn)在解二元一次方程組主要靠的是列舉兩個方程的解，尋找公共解(當(dāng)時并未開始學(xué)解二元一次方程組).但是列舉的話會不會出現(xiàn)遺漏？因為每一個二元一次方程都有無數(shù)個解.所以說兩個二元一次方程聯(lián)立在一起可不可能出現(xiàn)多個解？可不可能無解？如果這兩個猜想成立，就和兩條直線的交點情況非常相似了.

這位學(xué)生的疑問和猜想，實際上就非常好地將二元一次方程組解的情況與兩直線的交點情況進行了類比，結(jié)合了“二元一次方程組的解”中的基礎(chǔ)知識、基本活動經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決新問題.這也是課標(biāo)對學(xué)生“四能”的要求.如果能將其設(shè)計為概念教學(xué)后的課堂作業(yè)，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)能力在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上生長，經(jīng)歷假設(shè)再到驗證的過程，加深學(xué)生對知識的理解.

·課堂作業(yè)設(shè)計

(教師介紹完“二元一次方程組的解”的概念后)

(1)請同學(xué)們回憶已學(xué)過的知識，并試著畫示意圖填寫表1中左邊的部分：

表1

附學(xué)生完成的課堂作業(yè)如表2：

表2

·設(shè)計思路

該課堂作業(yè)從生長性、過程性、階梯性、方法性四個角度進行設(shè)計.

①生長性

本例中的作業(yè)設(shè)計，首先請學(xué)生回憶兩直線交點的情況，啟發(fā)學(xué)生進行類比猜想，結(jié)合二元一次方程組的知識進行歸納.這不僅構(gòu)建了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，也是對數(shù)學(xué)問題研究路徑的自發(fā)重走.學(xué)生在填寫表格的過程中自然能夠體會數(shù)學(xué)不僅是知識間的關(guān)聯(lián)，能感受到分類討論的研究方法也是有共通之處的.然后，再將研究成果指向具體問題的解決，學(xué)生就會關(guān)注到兩方程間的關(guān)系.借此，學(xué)生不僅很好地操練了基礎(chǔ)知識和基本技能，更積累了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，核心素養(yǎng)得以生長.

②過程性

本例的作業(yè)設(shè)計并不是與課堂教學(xué)內(nèi)容割裂的，而是融入在新知識的講授中，幫助知識與技能的生成.同時，在課堂實際布置中也不是讓學(xué)生在固定時間從頭填到尾，它需要教師將其拆分，幫助學(xué)生更好地體驗其中的過程.比如在“兩直線交點情況”部分填寫完后，就需要給學(xué)生對照新學(xué)內(nèi)容思考的時間.在方程組的舉例部分，也要鼓勵學(xué)生在組內(nèi)分享，盡可能選取更具代表性的方程組.最后，在表格完成后，需要學(xué)生在班內(nèi)進行分享，互相點評是否有錯誤或亮點.

在這一過程中，教師要在學(xué)生間積極走動，關(guān)注學(xué)生的投入情況.對于無法融入討論或進展受阻的學(xué)生，應(yīng)給予“支架”幫助.

③階梯性

這一課堂作業(yè)的圓滿完成，不僅需要學(xué)生對之前已學(xué)幾何內(nèi)容有比較清晰的記憶、對新知識有比較深刻的認識，同時也對探究問題的方法和能力有一定的要求.所以設(shè)計作業(yè)以及輔導(dǎo)作業(yè)的過程中，教師需要注意梯度的設(shè)置.

對于能力不足的學(xué)生，要給予一定數(shù)量的“支架”幫助其回憶舊知、應(yīng)用新知，甚至可以給出“方程組解的情況”的分類標(biāo)準(zhǔn)，幫助其獲得解決問題的成就感.對于知識掌握扎實、有一定探究經(jīng)驗的學(xué)生，可以鼓勵其探究如何舉出更具代表性的例子.另外，在完成表格的基礎(chǔ)上，再次回顧這兩個問題的探究方式，尋找其他類似的情境，讓學(xué)生進一步體會數(shù)學(xué)思想方法的延續(xù)性.

④方法性

課堂作業(yè)的設(shè)計不僅是為了鞏固新知，也是在探究中讓學(xué)生不斷體驗提出問題、觀察思考、合情猜想、推理驗證、解決問題的過程.只有不斷讓學(xué)生主動去經(jīng)歷這樣的過程，才能真正使學(xué)生獲得理性思維和科學(xué)精神，做到用數(shù)學(xué)的思維去思考.

比如，有學(xué)生將表格中的討論方式發(fā)散到一元一次不等式組解集的情況，生成表3：

表3

這道課堂作業(yè)的設(shè)計可歸結(jié)為圖2.

圖2 “二元一次方程組的解”課堂作業(yè)設(shè)計

3 關(guān)于作業(yè)資源有效利用的思考

筆者認為數(shù)學(xué)作業(yè)資源的有效利用比新資源的開發(fā)更為重要.如果僅僅是把作業(yè)“丟”給學(xué)生，不結(jié)合學(xué)情進行調(diào)整與設(shè)計，那再高質(zhì)量的題目也起不到“減負提質(zhì)”的“雙減”要求.

數(shù)學(xué)作業(yè)是學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)活動的重要載體，經(jīng)歷這一過程，學(xué)生能夠收獲自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意識和能力.教師也可以促進學(xué)生成為自主學(xué)習(xí)者.同時，數(shù)學(xué)作業(yè)承載著學(xué)科特殊的育人功能，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，指向綜合能力的發(fā)展.如果在設(shè)計中能以數(shù)學(xué)學(xué)科知識為基礎(chǔ)，以學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式為抓手，以思維發(fā)展為內(nèi)在本質(zhì)，就能指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(圖3).

圖3

因此，學(xué)生作業(yè)資源可以根據(jù)學(xué)生情況、教學(xué)目標(biāo)的不同進行重新設(shè)計，在課前、課中、課后發(fā)揮它們的價值，并在教學(xué)活動中不斷改進、更新，真正做到“教學(xué)做合一”(圖4).

圖4