“感覺、感知、感悟”視角下概念教學(xué)的再思考*

王小青 (江蘇省如皋中學(xué) 226500)

1 “感覺、感知、感悟”教學(xué)過程的理解

動感：動，合“主動與動態(tài)”之意.感，含“感覺、感知與感悟”之蘊(yùn).動感數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動中，教育者有目的地引導(dǎo)學(xué)生自覺思維，調(diào)動學(xué)生自主性和能動性，使學(xué)習(xí)者主動協(xié)調(diào)各種感官，通過感受新事物、新概念、新問題，主動獲取知識，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行反思，實(shí)現(xiàn)自我身心從實(shí)踐走向思維，實(shí)現(xiàn)感性思維與理性思維之合一、感知與感悟之交融的過程[1].

“感覺、感知、感悟”教學(xué)觀念認(rèn)為：教學(xué)過程由“初步感覺，到體驗(yàn)感知，升華為思考感悟”，突出“創(chuàng)設(shè)情境、合作交流、對話展示”.從認(rèn)識論角度看，即為：創(chuàng)設(shè)情境，初步感覺；啟迪思考，體驗(yàn)感知；學(xué)以致用，思考感悟.

2 “感覺、感知、感悟”教學(xué)實(shí)錄——以《向量的數(shù)乘》為例

2.1 初步感覺——在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題

師：甲同學(xué)從點(diǎn)O出發(fā)向東北方向勻速步行，若經(jīng)過1 s的位移用向量a表示，那么如何表示在同方向上經(jīng)過2 s的位移？經(jīng)過3 s的位移呢？

(學(xué)生獨(dú)立思考，得出結(jié)論.)

學(xué)生2：(方法2)符號表示，a+a，a+a+a.

學(xué)生3：(方法3)符號表示，2a，3a.(類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算a+a+a=3a)

師(追問)：3a是何種運(yùn)算的結(jié)果？3a又是什么量？依據(jù)剛才研究的問題，你能提出一個類似的問題嗎？(如何表示從點(diǎn)O出發(fā)向西南方向經(jīng)過1 s的位移？)能將該問題推廣為一般情形嗎？接著要繼續(xù)研究什么問題呢？(給一個實(shí)數(shù)λ與任意向量a的乘積λa來下定義.)

設(shè)計(jì)說明學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)建構(gòu)了向量的概念，理解了向量的加法與減法運(yùn)算法則，那么為何要研究向量的數(shù)乘？怎樣研究？通過實(shí)際情境的創(chuàng)設(shè)，一是讓學(xué)生體會到研究向量數(shù)乘的必要性與合理性，期待建構(gòu)向量數(shù)乘的基本概念；二是啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想、類比實(shí)數(shù)乘法的概念，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.

在教學(xué)過程中，通過教師追問，學(xué)生提出類似的問題；在學(xué)生與問題情境、教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的有效互動中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.

2.2 體驗(yàn)感知：分析問題，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

師：聯(lián)想向量加法的定義，給出一個實(shí)數(shù)λ與任意一個向量a的乘積λa的定義.

設(shè)計(jì)說明學(xué)生已經(jīng)建立了研究向量加法、減法運(yùn)算的定義模型，定義與向量有關(guān)運(yùn)算的思路：(1)確定一個向量，一般從其方向和長度兩方面，所以定義要從兩個角度入手；(2)對特殊情況的規(guī)定(零向量、相反向量)；(3)表達(dá)數(shù)學(xué)概念用文字語言、符號語言、圖形語言.

(學(xué)生獨(dú)立思考，小組討論完善，得出結(jié)論.)

設(shè)計(jì)說明數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)讓學(xué)生體驗(yàn)感知建構(gòu)過程，便于學(xué)生理解概念并進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，有數(shù)學(xué)思考才能解決問題，進(jìn)一步會產(chǎn)生新的問題，有了新的問題，就會有探究，進(jìn)一步就會有反思感悟，才能把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)容，在課堂上要變“結(jié)論告知”為“問題思考”，引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考、合作交流等方式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng).

2.3 思考感悟——應(yīng)用數(shù)學(xué)，解決數(shù)學(xué)問題

例1 (1)如果把非零向量a的長度伸長到原來的3.5倍，方向不變得到向量b，向量b該如何表示？

(3)將下列各小題中的向量b表示為實(shí)數(shù)與向量a的積.

設(shè)計(jì)說明學(xué)生建構(gòu)向量的數(shù)乘等數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用向量數(shù)乘解決這一問題，簡化向量運(yùn)算.在應(yīng)用過程中，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算有一定的規(guī)律性，為研究向量數(shù)乘的運(yùn)算律作鋪墊.

師：聯(lián)想實(shí)數(shù)四則運(yùn)算律，向量的數(shù)乘運(yùn)算符合哪些運(yùn)算律呢？(追問)對于①b=2a，也即6e=2(3e)=(2×3)e.這一運(yùn)算式有怎樣的實(shí)際意義呢？(再追問)既然向量2(3e)與向量(2×3)e相等，能用圖形表示2(3e),(2×3)e嗎？

師：你能將上述結(jié)論進(jìn)一步推廣嗎？類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算，試探究向量數(shù)乘滿足的運(yùn)算律.

設(shè)計(jì)說明教師在追問中提出新問題，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型讓學(xué)生獨(dú)自去解決這一問題，可從向量的大小和方向分別去研究，也可以從圖形去研究.

思考 依據(jù)實(shí)數(shù)的數(shù)乘運(yùn)算律，向量數(shù)乘有哪些運(yùn)算律呢？向量數(shù)乘與實(shí)數(shù)乘法有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

設(shè)計(jì)說明向量數(shù)乘建構(gòu)過程表現(xiàn)為學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，聯(lián)想向量的加法、減法提出問題，解決問題，再提出問題，分析并解決問題，再發(fā)現(xiàn)問題，并解決問題等.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建構(gòu)的實(shí)踐活動過程，提升學(xué)生研究探索、語言表達(dá)的能力.

例2 已知向量a和向量b，求作向量-2.5a和向量2a-3b.

例3 計(jì)算：(1)3(a-b)-2(a+2b)；

(2)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).

總結(jié)：向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是一個向量，其運(yùn)算法則與多項(xiàng)式運(yùn)算類似.

師：繼續(xù)探究例1的前兩個小題并思考——

設(shè)計(jì)說明建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的目的之一就是能夠用建立的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.通過例3之后的追問、反思，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，向量的數(shù)乘可以解決兩個向量的共線問題，表現(xiàn)在平面圖形中，可以解決三點(diǎn)共線、兩直線平行等問題.學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的過程，由此積累做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn),增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性意識.

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、結(jié)論產(chǎn)生的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價值和作用.其一是對現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象；二是用數(shù)學(xué)的三種語言(文字語言、符號語言、圖形語言)表達(dá)問題；三是用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題.

3 落實(shí)“感覺、感知、感悟”教學(xué)法的思考

3.1 源于問題情境的初步感覺，提升閱讀理解、信息整理素養(yǎng)

數(shù)學(xué)源于生產(chǎn)生活實(shí)際，數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程源于解決實(shí)際生活問題的過程.在課堂教學(xué)過程中，要創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考.學(xué)生在與問題情境的有效互動中，通過對背景材料、實(shí)際問題的初步感覺，先初步了解實(shí)際背景是什么、其中蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)問題，學(xué)會將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.向量是既有大小又有方向的量，日常生活中的位移也是向量，所以“向量的數(shù)乘”這節(jié)課以物理量為背景抽象出向量數(shù)乘的概念，在教學(xué)中發(fā)展學(xué)生信息獲取、知識整合的能力.

3.2 重在數(shù)學(xué)問題的體驗(yàn)感知，提升實(shí)踐探索素養(yǎng)

“實(shí)踐探索素養(yǎng)”是指學(xué)習(xí)者在面對生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時，組織整合相應(yīng)的知識與能力、運(yùn)用不同的技術(shù)方法進(jìn)行各種操作活動以解決問題的綜合品質(zhì).課堂教學(xué)中，教師不是將“結(jié)論性知識和規(guī)律性方法”機(jī)械地交給學(xué)生，而要引導(dǎo)他們經(jīng)歷實(shí)際情境，通過提問、追問等方式，突出問題導(dǎo)向，通過問題驅(qū)動將學(xué)生的學(xué)習(xí)引向深入.學(xué)生通過自己的體驗(yàn)感知，解決問題，再提出新問題，分析問題，解決問題，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.本課例類比向量的加法、減法的概念，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用文字語言、圖形語言、符號語言表達(dá)向量數(shù)乘的定義.引導(dǎo)學(xué)生從已有的研究向量加法、減法的方法，類比熟悉的數(shù)的乘法運(yùn)算律，建構(gòu)向量的數(shù)乘運(yùn)算律，學(xué)生通過思考發(fā)現(xiàn)問題，探究反思，解決問題，發(fā)展操作應(yīng)用和數(shù)學(xué)表達(dá)的能力.

3.3 貴在對建構(gòu)概念模型的反思感悟，探索思維方法素養(yǎng)

“思維方法素養(yǎng)”是指學(xué)習(xí)者在面對生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時，進(jìn)行獨(dú)立思考和探索創(chuàng)新的內(nèi)在認(rèn)識品質(zhì).在課堂教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生感悟知識產(chǎn)生的過程，在應(yīng)用中積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn).“向量的數(shù)乘”強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用向量的數(shù)乘解決物理問題、幾何問題.發(fā)現(xiàn)應(yīng)用數(shù)乘的有關(guān)概念可以證明平面圖形中的平行關(guān)系、研究平面圖形中段落之間的關(guān)系等等.通過引導(dǎo)學(xué)生在多樣化的數(shù)學(xué)活動中去思考、探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提升他們的數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究的能力.

在數(shù)學(xué)課堂上，應(yīng)用“感覺、感知、感悟”教學(xué)法，從實(shí)際問題和背景中抽象出新的數(shù)學(xué)概念，建構(gòu)新概念，建立新概念的運(yùn)算，以及在數(shù)學(xué)問題、實(shí)際模型中應(yīng)用新運(yùn)算等.概念的教學(xué)過程可以描述為三個階段：創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題；啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，掌握基礎(chǔ)知識，形成基本技能；感悟數(shù)學(xué)的思想，領(lǐng)悟知識本質(zhì)，學(xué)以致用，在應(yīng)用中積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐活動經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).通過初步感覺、體驗(yàn)感知、思考感悟，展現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的過程性，實(shí)現(xiàn)活動的探索性，完成“四基”“四能”的教學(xué)，這是改變傳統(tǒng)教學(xué)法[2]，是有創(chuàng)新、融能力與素養(yǎng)的高品質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)，是落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)的有效教學(xué)法.