“問題解決”中推理教學(xué)的策略
——以“兩角差的余弦公式”為例*

周文英 (江蘇省常熟中學(xué) 215516)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，命題或公式類教學(xué)多側(cè)重于結(jié)論運(yùn)用，輕結(jié)論探索，而基于“問題解決”的推理教學(xué)實(shí)踐能夠彌補(bǔ)這一不足.推理教學(xué)實(shí)踐更為關(guān)注結(jié)論的由來，強(qiáng)調(diào)師生探索結(jié)論的過程，且在課堂“教”與“學(xué)”的整個(gè)環(huán)節(jié)之中將問題作為中介，連接各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，將學(xué)生置身于問題解決的學(xué)習(xí)情境之中，不僅強(qiáng)化了學(xué)習(xí)活動的實(shí)踐性，同時(shí)也使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更具推理特色.

1 引入問題，建構(gòu)新課開端

在新課初始階段，教師所設(shè)置的問題直接影響著教學(xué)重點(diǎn)引入的效果.對此提高問題引入的有效性，幫助學(xué)生奠定一個(gè)良好的知識建構(gòu)的開端應(yīng)是教師培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的首要步驟.在具體的操作中，建議從以下兩個(gè)方面展開.

(2)結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)引入探究問題.由于上述兩個(gè)誘導(dǎo)公式所表示的均為特殊角與任意角α的和或差的三角函數(shù)與該任意角α的三角函數(shù)恒等關(guān)系，故本節(jié)課的教學(xué)可以將問題設(shè)置為：如果將特殊角換為任意角β，那么任意角α與β的和或差的三角函數(shù)與α,β的三角函數(shù)存在什么關(guān)系？通過引入該問題幫助學(xué)生作好推理準(zhǔn)備.

2 問題解決，優(yōu)化推理過程

本節(jié)課將問題解決作為主線，在教師的引導(dǎo)下使學(xué)生主動地參與到兩角差的余弦公式推導(dǎo)活動中，師生共同探索結(jié)論產(chǎn)生的過程，對兩角差的余弦公式追根溯源.

首先，教師在屏幕上呈現(xiàn)圖1；其次，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1，回顧課堂初始環(huán)節(jié)所提出的問題；最后，師生共同推導(dǎo)兩角差的余弦公式.公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)如下：

圖1

環(huán)節(jié)1 師(思路疏導(dǎo))：在問題解決的過程中，我們需要明確圖中給出的已知條件，通過初步的觀察我們可以明確，圖中x軸與y軸垂直相交于圓心O，如果令α≠2kπ+β，k∈Z，且圓與x軸的正半軸交點(diǎn)為A(1, 0)，以x軸的正半軸為始邊開始作角α,β,α-β，那么α終邊、β終邊、α-β終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為點(diǎn)P1(cosα, sinα),A1(cosβ,sinβ),P(cos(α-β),sin(α-β)).現(xiàn)在同學(xué)們將屏幕上的圖、剛才老師所擬定的假設(shè)以及α終邊、β終邊、α-β終邊與單位圓的交點(diǎn)分別寫到草稿紙上.

環(huán)節(jié)2 師：在問題解決的過程中我們可以利用圓的什么特性？線段AP與A1P1之間存在什么關(guān)系？為什么？通過上述問題引導(dǎo)學(xué)生開展小組探究.

環(huán)節(jié)3 小組合作探究交流匯報(bào)，教師適時(shí)將學(xué)生匯報(bào)過程中有價(jià)值的信息板書在黑板上.若某個(gè)小組所作的匯報(bào)沒有呈現(xiàn)公式推導(dǎo)的完整性，可以鼓勵其他小組予以補(bǔ)充.

環(huán)節(jié)5 師(板書)：cos2(α-β)+sin2(α-β)=1，cos2α+sin2α=1，cos2β+sin2β=1.要求學(xué)生對(*)化簡，組內(nèi)對比化簡結(jié)果是否一致，請學(xué)生在黑板上板演化簡過程.

環(huán)節(jié)6 師(第二次公式推導(dǎo)總結(jié))：回顧公式推導(dǎo)的條件，即α≠2kπ+β，k∈Z，將這一條件代入化簡后的等式中，公式是否成立？給學(xué)生3～5分鐘的時(shí)間，教師總結(jié)：無論角度如何變化，圖1中各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均不會發(fā)生改變，線段AP始終等于A1P1，對于任意角α與β，都有Cα-β=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，我們將其稱為兩角差的余弦公式.

3 隨堂習(xí)題，訓(xùn)練推理能力

3.1 凸顯數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是學(xué)生邏輯推理能力的基礎(chǔ)和源泉，所以在訓(xùn)練學(xué)生推理能力的過程中，教師應(yīng)將習(xí)題作為載體，使學(xué)生通過問題解決獲得對某一數(shù)學(xué)思想的深入理解.在上述公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)結(jié)束后，教師將隨堂習(xí)題作為載體凸顯從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化學(xué)生問題解決的能力.隨堂習(xí)題設(shè)計(jì)如下：

用Cα-β推導(dǎo)(過程略).

師(總結(jié))：在問題解決的過程中我們需善于利用一般到特殊的數(shù)學(xué)思想.

3.2 活用數(shù)學(xué)公式

公式的靈活應(yīng)用不僅關(guān)系解題效率，同時(shí)也彰顯邏輯推理能力水平.本節(jié)課中，教師側(cè)重于訓(xùn)練學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)公式，打破思維的局限性，呈現(xiàn)隨堂習(xí)題“計(jì)算cos 105° cos 60°+sin 105° sin 60°”.

師(點(diǎn)撥)：是否可以從右到左逆向使用公式Cα-β？

教(總結(jié))：懂得活用公式，除從左到右應(yīng)用外我們還可以從右到左應(yīng)用公式.

為強(qiáng)化公式逆用能力，可呈現(xiàn)習(xí)題“計(jì)算 cos 15° cos 105°+sin 15° sin 105°”，要求學(xué)生自主解答.此外，為提升學(xué)生活用數(shù)學(xué)公式的能力，教師在總結(jié)后可呈現(xiàn)習(xí)題“計(jì)算cos(-15°)”，要求學(xué)生采用兩種方法解答.

3.3 適當(dāng)創(chuàng)造條件

部分習(xí)題不能直接運(yùn)用公式求解，教師需要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造條件的意識.在本節(jié)課中教師可呈現(xiàn)隨堂習(xí)題“計(jì)算cos 65° cos 20°+cos 25° cos 70°”.

師(點(diǎn)撥)：我們是否可以通過創(chuàng)造條件將公式變形，然后利用Cα-β求解？

求解過程略.

師(總結(jié))：在解決三角函數(shù)求值問題時(shí)，變角是常用的解題技巧，變角可以幫助我們揭示問題的本質(zhì).在運(yùn)用公式的過程中需注意角的范圍、三角函數(shù)值的正負(fù)以及特殊角的關(guān)系.

4 一題多變，揭示推理規(guī)律

隨堂練習(xí)題雖然能對學(xué)生的推理能力起到訓(xùn)練、提升的目的，但學(xué)生對于教師的總結(jié)仍存在較強(qiáng)的依賴，所以隨堂練習(xí)題存在一定的局限性.教師還應(yīng)關(guān)注推理過程中規(guī)律和方法的揭示，使學(xué)生能夠挖掘各個(gè)習(xí)題背后隱藏的規(guī)律.一題多變是達(dá)成此目的的有效手段，本節(jié)課中教師可通過下述例題的解決，使學(xué)生理解已知三角函數(shù)值求角的問題需要結(jié)合三角函數(shù)值與角的范圍.需要注意的是，一題多變環(huán)節(jié)，教師不宜過多地指導(dǎo)和總結(jié)，應(yīng)以學(xué)生自主解答和總結(jié)為主，教師啟發(fā)為輔.

上述教學(xué)環(huán)節(jié)結(jié)束后，教師應(yīng)提出“已知三角函數(shù)值求角問題的推理過程”等問題，提升學(xué)生問題解決的推理能力.

5 結(jié)束語

培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，無論是推導(dǎo)公式、還是問題解決的推理技巧，教師均應(yīng)關(guān)注教學(xué)環(huán)節(jié)中學(xué)生的參與度，一方面將學(xué)生作為課堂教學(xué)的主體使其積極參與推理的過程，另一方面在創(chuàng)設(shè)充足的推理訓(xùn)練機(jī)會的基礎(chǔ)上剔除過多的教學(xué)干預(yù)，利用問題鼓勵全班學(xué)生自主推理.另外，基于“問題解決”的推理教學(xué)，“問題”應(yīng)貫穿于教學(xué)始終，教師需重視“問題”對于培養(yǎng)學(xué)生推理能力所承載的育人價(jià)值.

編者按為密切編輯部與中學(xué)的聯(lián)系，本刊編委第27次“走進(jìn)課堂”，于2021年10月25日赴江蘇省太倉高級中學(xué)觀課議課.江蘇省太倉高級中學(xué)建校于1907年，“廢科舉，力行新學(xué)”，初名為太倉州屬中學(xué)堂.辦學(xué)115年來，雖十六易名，三遷校址，卻不改太倉高中是江蘇省內(nèi)獨(dú)樹一幟、不可或缺的優(yōu)質(zhì)中學(xué)校本色，1997年學(xué)校被確認(rèn)為江蘇省重點(diǎn)高中，1999年率先成為國家級示范性普通高中，2004年3月被評為江蘇省首批四星級高中.學(xué)校秉承“循正守真，志遠(yuǎn)業(yè)精”規(guī)劃發(fā)展總體思路，謀求項(xiàng)目化、特色化創(chuàng)新發(fā)展之路，逐步形成“志遠(yuǎn)育德，業(yè)精育才”課程體系，建成彰顯“人文奠基，科技見長”辦學(xué)特色課程基地群，強(qiáng)化辦學(xué)理念、師資隊(duì)伍、課程實(shí)施、學(xué)校治理、育人模式和辦學(xué)特色建設(shè)，形成了可資借鑒和可供推廣的高品質(zhì)高中經(jīng)驗(yàn).