揭示數(shù)學(xué)本質(zhì) 提升學(xué)生素養(yǎng)
——對(duì)“基本不等式的證明”教學(xué)的思考*

黃智華 (江蘇省南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心 210002)

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

學(xué)生來自四星級(jí)重點(diǎn)高中高一普通班，基礎(chǔ)較好，有一定的自學(xué)能力、推理能力及運(yùn)算能力，而且已經(jīng)有了課前預(yù)習(xí)自學(xué)的習(xí)慣.

1.2 教材分析

所用教材為蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修5)》.“基本不等式的證明”是第3章第4節(jié)的內(nèi)容，這節(jié)內(nèi)容由“基本不等式的證明”和“基本不等式的應(yīng)用”兩部分組成.基本不等式在后續(xù)的學(xué)習(xí)中是作為定理直接應(yīng)用的，它在求函數(shù)最值、證明不等式方面有廣泛的應(yīng)用，課標(biāo)要求熟練掌握、靈活運(yùn)用，所以要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用、深化認(rèn)識(shí)和理解的完整過程.基本不等式的證明及簡單應(yīng)用是本節(jié)課的重點(diǎn).

教材給出了證明基本不等式的三種證法，分別是作差比較法、分析法和綜合法，并在“思考”中給出了基本不等式的一種幾何解釋，可以認(rèn)為是基本不等式的一種幾何法證明.幾何法證明是從圖形的度量關(guān)系得到基本不等式，賦予基本不等式以幾何直觀，這種證明方法需要構(gòu)造合適的圖形，這也成為教學(xué)的難點(diǎn)，但它可以突出數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解與掌握.

例1所承載的教學(xué)功能是基本不等式的簡單應(yīng)用，用它證明其他不等式，以此熟練掌握基本不等式.在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生延用比較法、分析法、綜合法來證明，這符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律；不同的證明方法可以活躍學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的思維能力.分析、比較各種證明方法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)用基本不等式來證明是最簡潔的，它屬于綜合法證明不等式.必須追問：怎么會(huì)想到運(yùn)用基本不等式來證明的？帶領(lǐng)學(xué)生一起分析問題的結(jié)構(gòu)特征：不等式左邊是兩個(gè)正數(shù)的和，右邊是常數(shù)，可以看作是左邊兩個(gè)正數(shù)(互為倒數(shù))的積，符合基本不等式的本質(zhì)特征，所以可以直接運(yùn)用基本不等式來證明.例1有兩個(gè)小題，要揭示它們本質(zhì)是一樣的，都是求證“一個(gè)正數(shù)和它的倒數(shù)之和大于等于2”.

教學(xué)目標(biāo) (1)經(jīng)歷基本不等式的探究發(fā)現(xiàn)和邏輯論證的過程，體驗(yàn)、感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂，感知從特殊到一般、化抽象為具體的數(shù)學(xué)研究方法；

(2)會(huì)用作差比較法、分析法和綜合法證明基本不等式，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，理解幾何法證明基本不等式，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，滲透數(shù)學(xué)文化，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；

(3)能用基本不等式證明其他相關(guān)的不等式，能夠利用基本不等式求函數(shù)最值，突出體現(xiàn)整體換元法；

(4)能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和分析解決問題.

教學(xué)重點(diǎn) 基本不等式的證明及簡單應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn) 基本不等式的幾何法證明.

2 教學(xué)過程

2.1 基本不等式的探究及證明

問題1實(shí)數(shù)a,b的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)分別是什么？

說明考慮到教材上的問題情境不太切合實(shí)際、學(xué)生解決起來有困難，所以教學(xué)就從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題引入課題，這更利于教學(xué)活動(dòng)的有效開展，有利于突出教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，有利于構(gòu)建邏輯連貫、前后一致的教學(xué)進(jìn)程，有利于發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知力.在學(xué)生思考問題1時(shí)，提出只有a,b同號(hào)才有等比中項(xiàng)，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑和批判性思維.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自己主動(dòng)提出問題2，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí).在猜想結(jié)論的時(shí)候，學(xué)生得出了錯(cuò)誤的結(jié)論，教師便將錯(cuò)就錯(cuò)，讓學(xué)生經(jīng)歷從錯(cuò)誤走向正確的真學(xué)習(xí)過程，深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

問題3請(qǐng)同學(xué)們證明猜想出的結(jié)論.

方法1 作差比較法，具體證明過程略.

方法2 分析法，具體證明過程略.

方法3 綜合法，具體證明過程略.

方法4 幾何法，通過構(gòu)造圖形來證明.

方法4應(yīng)該是在學(xué)生課前預(yù)習(xí)自學(xué)的基礎(chǔ)上給出的.追問學(xué)生是怎么想到的？這是本節(jié)課的難點(diǎn).借此介紹“無字證明”，展示中國古代數(shù)學(xué)的成就，滲透數(shù)學(xué)史，提升數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).

2.2 基本不等式的內(nèi)容及認(rèn)識(shí)

·基本不等式

·兩個(gè)數(shù)學(xué)概念

·深化對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)

通過設(shè)置以下四個(gè)問題深化對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)與理解：(1)基本不等式的文字語言表述是什么？(2)基本不等式成立的條件是什么？(3)基本不等式等號(hào)取得的條件是什么？(4)基本不等式所揭示的本質(zhì)是什么？

一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象通常可以用三種語言(文字語言、符號(hào)語言、圖形語言)來描述，三種語言相互支撐、相得益彰，三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化可以加深學(xué)生對(duì)這一數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí).讓學(xué)生經(jīng)歷“犯錯(cuò)—尋錯(cuò)—糾錯(cuò)”的探究過程，深化學(xué)生對(duì)基本不等式成立條件的認(rèn)識(shí).等號(hào)取得的條件是在學(xué)生證明過程中加以強(qiáng)化的.基于現(xiàn)在的學(xué)生學(xué)習(xí)了很多數(shù)學(xué)知識(shí)不知道怎么用，什么時(shí)候該用、什么情況下能用，提出問題(4).通過學(xué)生獨(dú)立思考、相互交流討論，得出結(jié)論：給出了兩個(gè)正數(shù)的和與積之間的不等關(guān)系，這其實(shí)也是基本不等式的結(jié)構(gòu)特征.這些認(rèn)識(shí)為學(xué)生正確運(yùn)用基本不等式解決問題奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ).

2.3 基本不等式的應(yīng)用及深化

例1設(shè)a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：

適度拓展的目的是引起學(xué)生對(duì)基本不等式成立條件的重視，這是學(xué)生今后運(yùn)用時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn).通過拓展訓(xùn)練給學(xué)生思考、辨析機(jī)會(huì)，可以深化學(xué)生對(duì)所學(xué)新知的認(rèn)識(shí)，同時(shí)滲透分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.4 課堂小結(jié)

數(shù)學(xué)知識(shí)角度：基本不等式的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)特征、證明方法以及簡單應(yīng)用.

思想方法角度：從特殊到一般進(jìn)行猜想，然后論證猜想結(jié)論，突出數(shù)學(xué)研究方法；體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.

核心素養(yǎng)角度：直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等.

2.5 課后探究及課后作業(yè)

課后探究：現(xiàn)有一臺(tái)天平，兩臂長不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實(shí)重量.這種說法對(duì)嗎？說明你的結(jié)論.

課后作業(yè)：教材第98頁練習(xí)1～2，第101頁習(xí)題1～2.

3 教學(xué)反思

3.1 學(xué)生的自學(xué)要學(xué)到真知識(shí)，課堂教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷真學(xué)習(xí)

現(xiàn)在很多的課改提倡“先學(xué)后教”“少教多學(xué)”，旨在突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位.學(xué)生的自學(xué)是不是真正能學(xué)懂，是不是能抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是否提出有價(jià)值的問題，是否能學(xué)到數(shù)學(xué)研究方法、領(lǐng)悟蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想，這些都值得關(guān)注和研究，課堂教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷真學(xué)習(xí).

3.2 創(chuàng)設(shè)問題情境讓學(xué)生多角度、多層次認(rèn)識(shí)和鞏固新知

其次是讓學(xué)生自主證明猜想得到的結(jié)論，出現(xiàn)了不同的證明方法，特別是幾何證明方法的出現(xiàn)，讓學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面來認(rèn)識(shí)、掌握基本不等式.通過證明，讓學(xué)生既確信基本不等式是正確的，又學(xué)到了數(shù)學(xué)研究的方法.

再次是設(shè)計(jì)了四個(gè)小問題幫助學(xué)生深化對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)，目的是讓學(xué)生能正確使用基本不等式、弄清楚基本不等式的本質(zhì)以及能解決什么問題.

最后是講解例1和變式拓展，加深學(xué)生對(duì)基本不等式成立條件和本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

3.3 關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，使教學(xué)更富有思想性

本節(jié)課的教學(xué)有意識(shí)地滲透了“化歸轉(zhuǎn)化”“分類討論”“數(shù)形結(jié)合”“化抽象為具體、從特殊到一般”等數(shù)學(xué)思想方法，重點(diǎn)突出了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

圖1 圖2 圖3

其次，借助學(xué)生熟悉的初中知識(shí)介紹“無字證明”——通過構(gòu)造圖形來證明數(shù)學(xué)命題，給出了學(xué)生熟悉的公式(a+b)2=a2+2ab+b2的無字證明(圖2).

最后讓學(xué)生從我國古代數(shù)學(xué)家趙爽給出的“勾股定理”的無字證明(圖3)中找出“基本不等式”(這是人教版教材的引入設(shè)計(jì))，既培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖能力、整體代換能力，突出基本不等式的幾何背景，更提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).

滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)增加了課的內(nèi)涵，豐富了數(shù)學(xué)教學(xué)的思想性，從而促進(jìn)了學(xué)生思維的深入，其學(xué)習(xí)就有了深度.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，與數(shù)學(xué)基本方法一起常常在學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用.