指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)高考評價及教學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)徦?/h1>

2023-01-09 08:54:25寧連華南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院210023

中學(xué)數(shù)學(xué)月刊訂閱 2022年11期 收藏

關(guān)鍵詞：運算考查解題

寧連華 (南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210023)

指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)業(yè)質(zhì)量評價是近幾年數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域研究的熱點問題，尤其是在高考這種關(guān)鍵性考試中如何測評核心素養(yǎng)、學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展處于什么樣的水平、數(shù)學(xué)教學(xué)又如何適應(yīng)這樣的評價等等問題，更成為數(shù)學(xué)教育研究人員及一線教師關(guān)注的焦點.實際上，早在2019年11月，教育部考試中心業(yè)已發(fā)布了《中國高考評價體系》，系統(tǒng)構(gòu)建了包括“核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”在內(nèi)的高考考查內(nèi)容體系，提出了“一核、四層、四翼”的評價框架[1].始自2020年，新高考數(shù)學(xué)試卷開始踐行這一評價體系，幾年下來，展現(xiàn)出了核心素養(yǎng)評價的基本格局，也引起了社會的廣泛關(guān)注.尤其是2022年七省市共同使用的新高考數(shù)學(xué)I卷更是以其意想不到的“難”掀起了一場“波瀾”，衍生了對新高考走向的追問與考辯.的確，這種頗具挑戰(zhàn)性的考評方式是數(shù)學(xué)新高考的必然趨勢，還是一種偶然現(xiàn)象？學(xué)生對這一評價方式的適應(yīng)性程度究竟如何？數(shù)學(xué)教學(xué)又該如何作出相應(yīng)的調(diào)整與轉(zhuǎn)向？諸多問題尚需數(shù)學(xué)教育界給予相應(yīng)的關(guān)注和研究.

1 數(shù)學(xué)新高考考查的邏輯路徑

檢索近幾年國務(wù)院及教育部的一些重要政策、文件，不難發(fā)現(xiàn)，國家層面對高考評價問題給予了高度重視.早在2014年9月，國務(wù)院即發(fā)布了《關(guān)于深化考試招生制度改革的實施意見》，明確提出深化高考內(nèi)容改革，依據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)設(shè)計命題內(nèi)容，增強(qiáng)基礎(chǔ)性、綜合性，著重考查學(xué)生獨立思考和運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力[2].這一綱領(lǐng)性文件拉開了新一輪高考改革的序幕.

隨后，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》也對高考評價提出了具體、明確的要求[3]：在指導(dǎo)思想上要注重“對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查”；在考查內(nèi)容上要“聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性”；在考查方法上則要“注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧，關(guān)注數(shù)學(xué)文化”.同時，又明確了命題的一些基本要求，例如，“應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問題，還應(yīng)包括開放性問題和探索性問題，重點考查學(xué)生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識”“適度增加試題的思維量”“應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成，關(guān)注學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)的能力”.可以看出，立足于核心素養(yǎng)的高考評價已經(jīng)超越了一貫堅持的“知識為基，能力為重”的考查路向，而是放眼于全方位地考查學(xué)生的綜合素養(yǎng).

與之同時，教育部考試中心又著力研制了《中國高考評價體系》.這是一套完整的用于指導(dǎo)高考內(nèi)容改革和命題工作的測評體系，從高考的核心功能、考查內(nèi)容、考查要求和考查載體等維度構(gòu)建了“一核、四層、四翼”的高考評價體系；解決了“為什么考、考什么、怎么考”等關(guān)涉考試評價的本源性問題，給出了“培養(yǎng)什么人、怎么培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人”這一教育根本問題在高考領(lǐng)域的答案[1]2.反映在數(shù)學(xué)學(xué)科上，則是要凸顯數(shù)學(xué)的理性精神，考查學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的表達(dá)等關(guān)鍵能力.

特別是，中共中央、國務(wù)院又于2020年發(fā)布了《深化新時代教育評價改革總體方案》文件，特別對高考改革提出了“改變相對固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性，減少死記硬背和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象”的命題精神.

在這樣的背景下，新高考評價改革由單純的考試評價向立德樹人重要載體和素質(zhì)教育關(guān)鍵環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)變.力求達(dá)到：上好“立德樹人一堂課”；做精“服務(wù)選才一把尺”；樹好“引導(dǎo)教學(xué)一面旗”.做到科學(xué)設(shè)計考試內(nèi)容，優(yōu)化高考選拔功能，強(qiáng)化能力立意與素養(yǎng)導(dǎo)向.著力推進(jìn)高考的評價理念由“知識、能力立意”評價向“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”評價轉(zhuǎn)變.堅持把創(chuàng)新思維和學(xué)習(xí)能力考查滲透到命題全過程，落實“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”的命題要求，使高考由“解答試題”轉(zhuǎn)向“解決問題”[4].

遵循著這樣的高考改革理路，新高考數(shù)學(xué)試卷展現(xiàn)出了一些明顯的特色和趨勢.以2022年新高考數(shù)學(xué)I卷為例，彰顯出了以下幾個方面的鮮明特色：

(1)改變了相對固化的試題形式，增強(qiáng)了試題的開放性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)性，削弱了靠死記硬背和“機(jī)械刷題”獲得高分的機(jī)會，將偶然性、運氣性、技巧性降到了“冰點”，提升了靠數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)致勝的份額和機(jī)會.

(2)減少了“裸考知識”現(xiàn)象，讓測評發(fā)生在知識處于生成狀態(tài)或應(yīng)用狀態(tài)的情境之中，著意考查了復(fù)雜情況下分析問題、梳理關(guān)系、判斷決策的解決問題能力.

(3)淡化了知識的碎片化、點狀式測試，注重考查知識的聯(lián)結(jié)點、交叉點和生長點，從多點式、混合型考查走向整體化、結(jié)構(gòu)性測試.

(4)強(qiáng)化了對思維過程、探究過程和決策過程的測量與評價，讓數(shù)學(xué)的理性思維和關(guān)鍵能力在解決問題的過程中得以彰顯.

(5)凸顯了對數(shù)學(xué)思想方法的全面考查，涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)換化歸、一般與特殊、歸納與類比、函數(shù)與方程等中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的各種重要數(shù)學(xué)思想方法.

2 學(xué)生對數(shù)學(xué)新高考評價的適應(yīng)情況

自2020年以來，基于“一核、四層、四翼”評價體系的全國新高考數(shù)學(xué)試卷已經(jīng)出現(xiàn)了多套.可以說，每年高考后關(guān)于考生不太適應(yīng)新高考數(shù)學(xué)試卷的反映都存在.一方面是題型的變化，多選題、結(jié)構(gòu)不良題、開放題、數(shù)學(xué)文化題等對學(xué)生是一種全新的體驗，也成為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域廣泛討論并著力應(yīng)對的熱點問題；另一方面是試題對學(xué)生的思維水平、探究水平、創(chuàng)新水平等要求的提升，一定程度上增大了考生答題的挑戰(zhàn)性.不過，真正帶來強(qiáng)烈反響、使學(xué)生普遍感到不適應(yīng)的試卷還是2022年新高考數(shù)學(xué)I卷，包括江蘇、山東、河北、湖南、湖北、福建、廣東等七個共同使用此試卷的省份無一例外地感受到了網(wǎng)絡(luò)輿情帶來的壓力.諸如，“史上最難”“難出天際”“難哭學(xué)霸”等等夾雜著不滿情緒的“吐槽”與“宣泄”，說明考生確實經(jīng)受了一次“超出預(yù)期的磨礪”，試題面貌使多數(shù)考生真真切切地感受到“挑戰(zhàn)”和“無奈”.但平心而論，構(gòu)成這份試卷的試題又頗具韻味，每道題都是精心設(shè)計與打磨過的，考查全面而不落俗套.既沒有絕對的難題，讓人無從入手；也不是真正的繁瑣，讓人無法應(yīng)對.總體上來看，題目靈活多變、形式新穎別致、思維含量高、運算量大，也正是這些因素致使考生答題時間“捉襟見肘”，造成事實上的“難”試卷.

學(xué)生的不適應(yīng)主要反映在以下幾個方面：

2.1 想得不清

思維含量高是新高考數(shù)學(xué)I卷的突出特點，要求學(xué)生要能想得清楚，才能使問題迎刃而解.事實證明，學(xué)生“想”的功夫需要提高，該試卷至少有15道題目都需要想明白才能找到解題的路徑和方法，而且，想的時間還不能太長，否則時間根本來不及.

例如，填空題第14題：寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

需要想清楚的問題是：兩個圓是什么關(guān)系？如何尋找與兩個圓都相切的直線？這樣的直線方程怎么求出？

想清楚這些問題，就不會不分青紅皂白地設(shè)出都相切的直線方程，然后再去繁瑣地計算求解.事實上，只要思考分析清楚兩個圓的位置關(guān)系，直觀觀察就不難得到解答，這樣能夠大大節(jié)省運算時間.具備這樣思考問題、尋找路徑的意識，也能夠在不知不覺的磨練中提升直觀想象素養(yǎng).

2.2 變得不當(dāng)

變換問題是解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵.解題正是要把題目所給的條件通過一步步合理的變換，化為熟悉、簡單的形式，從而使問題獲得解決.但“怎么變換”“變得是否合理”就成為解題的關(guān)鍵能力，需要解題者的鑒別、洞察、調(diào)節(jié)的本領(lǐng).從答題情況來看，變換問題確實是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié).實際上，變換問題時，優(yōu)越的方法并不難尋找，但卻出現(xiàn)大量粗淺、蠻干的變換手段，從而把題目變“難”或變“繁”，以致羈絆于繁難的境況無法脫身.

2.3 算得不好

運算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石.沒有一定的運算功夫，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很難有效推進(jìn).尤其在考試中，如果算得不好，難以取得理想的成績.這里算得不好，既包括算的速度不快，也包括算的準(zhǔn)確率不高.速度和準(zhǔn)確率兩者相輔相成，同時又構(gòu)成一對矛盾，速度快容易造成各類疏忽或錯誤，可能會降低準(zhǔn)確率；而準(zhǔn)確率高則需要沉穩(wěn)、仔細(xì)作保障.運算中能做到既快又準(zhǔn)的學(xué)生少之又少.新高考數(shù)學(xué)I卷的運算量確實比較大，考生很難從容地完成所有題目的運算，這也是學(xué)生認(rèn)為試卷難的主要原因.不過，也應(yīng)該看到，學(xué)生的運算智慧存在問題，也就是說，不能巧妙、簡潔地選擇運算路徑，而是不厭其煩地“死算”、蠻干，造成運算質(zhì)量的降低，時間緊迫也就在所難免.

2.4 寫得不精

數(shù)學(xué)的表達(dá)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與傳播的靈魂.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》凝練了數(shù)學(xué)教育的三個重要功能，即“三會”——會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界[3]2.可見數(shù)學(xué)語言表達(dá)的重要性.以文字語言、符號語言、圖形語言、邏輯語言等為特征的數(shù)學(xué)語言構(gòu)成了數(shù)學(xué)這棵大樹的枝干，也必然成為考試評價中的主要考查對象.表達(dá)精準(zhǔn)、邏輯嚴(yán)密是數(shù)學(xué)考試的基本取向.但事實證明，數(shù)學(xué)表達(dá)問題幾乎成為學(xué)生的“頑瘴痼疾”，會做的題目表達(dá)不精準(zhǔn)的現(xiàn)象相當(dāng)普遍.

例如，填空題第15題：若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是.

正確答案是(-∞,-4)∪(0,+∞).但表達(dá)中出現(xiàn)各種各樣似是而非的形式，如“(-∞,-4)∩(0,+∞)”“(-∞,-4)和(0,+∞)”“(-∞,-4)且(0,+∞)”“(-∞,-4)、(0,+∞)”“(-∞,-4]∪(0,+∞)”等等不精準(zhǔn)表達(dá).類似這樣，會做題但在表達(dá)上隨意隨性的現(xiàn)象司空見慣，不能簡單地將之歸因于學(xué)生的粗心，實際上是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中書寫、表達(dá)的綜合素養(yǎng)使然.

3 指向核心素養(yǎng)評價的教學(xué)轉(zhuǎn)向思考

可以看出，以高考為引領(lǐng)的核心素養(yǎng)評價是以全方位的考查方式檢驗素養(yǎng)的培育情況，自然對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了直接的挑戰(zhàn)，呼應(yīng)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的轉(zhuǎn)向理應(yīng)得到重視.筆者認(rèn)為，指向新高考數(shù)學(xué)評價的教學(xué)應(yīng)當(dāng)在以下幾個方面多加嘗試.

3.1 教深度思考

新高考已經(jīng)釋放了明顯的素養(yǎng)評價信號，學(xué)生思維水平的提高是重中之重.就目前的教學(xué)而論，教思考尤其是深度思考是當(dāng)下應(yīng)對新高考迫在眉睫的任務(wù).新高考數(shù)學(xué)I卷幾乎每道題目都需要想一想，把數(shù)學(xué)高層次思維的要求提上了新的高度.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)立足于培養(yǎng)學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)思維，更多地設(shè)置深度思考活動.

所謂深度思考，即是指一種不斷逼近問題本質(zhì)的思維活動，常常表現(xiàn)在深層次推理、多角度分析、精致化概括、批判性接納、個性化創(chuàng)見等數(shù)學(xué)對象的探索過程中.數(shù)學(xué)教學(xué)中，促成學(xué)生深度思考活動的教學(xué)手段主要有：(1)設(shè)置高質(zhì)量問題串；(2)放手讓學(xué)生提出問題；(3)啟發(fā)學(xué)生正反舉例；(4)提供質(zhì)疑反思機(jī)會；(5)展現(xiàn)思路產(chǎn)生過程；(6)提煉數(shù)學(xué)研究方法；(7)創(chuàng)設(shè)方案決策空間.每節(jié)課，特別是解題教學(xué)中通過上面手段引導(dǎo)學(xué)生深入思考，久而久之，學(xué)生能夠形成深度思考的意識和能力.當(dāng)然，教深度思考的手段不限于以上幾點，只要教師具有引導(dǎo)學(xué)生深度思考的觀念和意識，教學(xué)中的高質(zhì)量思考活動就可能隨時隨地發(fā)生.

3.2 教合理變換

合理變換問題的本領(lǐng)是數(shù)學(xué)解題能力的根本.一般來說，解題始于對題目所給條件的利用與變換，有效的變換是解題成功的關(guān)鍵.因而，教學(xué)生合理地變換條件是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要任務(wù).

通常來說，對一個條件進(jìn)行變換的方法多種多樣，變得恰當(dāng)能使問題迎刃而解，變得不當(dāng)則會使解題陷入“窘境”，甚至進(jìn)入“死胡同”.像高考這類大型考試，因其重要性對解題心理的影響及時間的約束，考生常常暴露出低效或無效變換的樣貌.所以，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)教會學(xué)生從多個角度審視、分析問題，并引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成審慎判斷、甄別選擇變換途徑的習(xí)慣.

實際上，教師都比較善于教“一題多解”，也就是引導(dǎo)學(xué)生從多個角度去變換問題，這有助于鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力.但是，務(wù)必要在“一題多解”的訓(xùn)練過程中增加一個環(huán)節(jié)：比較、權(quán)衡、判斷各種變換中最優(yōu)越的方法是哪一種.即從“一題多變”走向“一題優(yōu)變”.著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞稱之為“最優(yōu)解問題”.考試中具備能直接遴選最優(yōu)變換方法的意識，才是解題方法選擇的境界追求.

3.3 教運算思維

運算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本，是數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的“承重墻”.但運算素養(yǎng)的提高主要取決于優(yōu)良的運算思維.運算思維主要包括：運算意識、運算手段的遴選、運算過程的調(diào)控等.運算思維高的學(xué)生能夠準(zhǔn)確找到運算的“門檻”(突破口)、“路徑”(算法)、“規(guī)則”(算理)、“機(jī)關(guān)”(竅門)并進(jìn)行“調(diào)適”(反思)，自然能夠保障運算的質(zhì)量與效率.

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)立足于培養(yǎng)學(xué)生的運算思維，要使學(xué)生能用“腦子”去算，追求運算的效率，而不是一味地蠻干.教學(xué)中應(yīng)重點關(guān)注以下幾個方面：

(1)以建立“算感”為突破口，提升運算速度.算感的培養(yǎng)是多方位的，運算前要有預(yù)判意識，運算中要有監(jiān)控意識，運算后要有反思意識.

(2)以習(xí)慣養(yǎng)成為平臺，提升運算準(zhǔn)確率.運算習(xí)慣是決定運算效率的關(guān)鍵，運算時要能凝神靜氣、心無旁騖，逐漸養(yǎng)成一氣呵成、不拖泥帶水的習(xí)慣.

(3)以運算智慧的提高為教學(xué)落腳點，啟導(dǎo)學(xué)生面對運算任務(wù)要能綜合分析運算對象的特點和要達(dá)到的目標(biāo)，選擇行之有效的運算路徑，避免簡單、粗暴的蠻干.

3.4 教精準(zhǔn)表達(dá)

數(shù)學(xué)考試評價中出現(xiàn)的表達(dá)問題常常反映在三個方面：符號表達(dá)不規(guī)范，圖形表達(dá)不精確，邏輯表達(dá)不合理.尤其是圖形表達(dá)和邏輯表達(dá)成為學(xué)生考試答題中的兩個主要障礙.

全國高考數(shù)學(xué)試題涉及圖形的題目很多，例如，新高考數(shù)學(xué)I卷涉及圖形的題目達(dá)15道之多(3,4,6～9,11,12,14～16,19,21,22)，其中只有第19題(立體幾何)提供了圖形，解答過程中還需要學(xué)生辨清圖形，添加輔助線.其余題目都沒有提供圖形，而大多數(shù)題目不借助圖形很難解出.因此，有效、準(zhǔn)確的圖形表達(dá)就成為解決問題的“起搏器”.要適應(yīng)這種狀況，就需要把圖形表達(dá)作為一項基礎(chǔ)工作去落實，應(yīng)當(dāng)成為今后數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).在布置數(shù)學(xué)作業(yè)任務(wù)時，除非必要，一般不提供圖形，讓學(xué)生養(yǎng)成自主畫圖的意識和習(xí)慣，也是直觀想象素養(yǎng)提升的有效路徑.

邏輯關(guān)系表達(dá)一直是學(xué)生的“軟肋”.步驟書寫常常出現(xiàn)因果關(guān)系混亂、脈絡(luò)不夠清晰、推理過程跳躍、敘寫繁瑣冗長等問題.這就要求教學(xué)中需將數(shù)學(xué)表達(dá)的示范引領(lǐng)作用落在實處.有效的做法是進(jìn)行邏輯規(guī)則示范、優(yōu)秀敘寫范例展示、典型錯誤表達(dá)警示等，讓學(xué)生在實實在在的樣例對比中深切感受.

應(yīng)該說，指向核心素養(yǎng)的新高考評價及其適應(yīng)性的教學(xué)路徑尚處于初級階段.進(jìn)程的推進(jìn)、策略的優(yōu)化以及方案的完善仍在路上，需要研究與思考的問題不在少數(shù).“道阻且長，行則將至”，相信隨著持續(xù)的探索與調(diào)適，評價與教學(xué)的契合度將會日臻成熟.

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解析幾何運算細(xì)節(jié)的優(yōu)化策略及教學(xué)建議*

橢圓與雙曲線的錯誤類比與結(jié)論修正一例