基于時(shí)延估計(jì)的不確定混聯(lián)機(jī)構(gòu)自適應(yīng)慣性增益滑模控制方法

蔣毅躦，高國琴，方志明

（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）

0 引言

混聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種由串行鏈和并行鏈相結(jié)合所組成的機(jī)械結(jié)構(gòu)，具有剛度大、承載能力強(qiáng)和工作空間大等優(yōu)點(diǎn)［1］。為提升現(xiàn)有汽車涂裝輸送設(shè)備的承載能力與柔性化水平，本文基于混聯(lián)機(jī)構(gòu)研發(fā)了一種承載能力強(qiáng)、柔性化水平高的汽車電泳涂裝輸送系統(tǒng)［2-3］?；趧?dòng)力學(xué)模型的混聯(lián)機(jī)構(gòu)控制方法，考慮動(dòng)力學(xué)特性，其非線性部分可以通過設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行補(bǔ)償，在理論上能實(shí)現(xiàn)良好的控制效果［4］。然而，混聯(lián)機(jī)構(gòu)的非線性、強(qiáng)耦合，復(fù)雜多輸入多輸出特性，導(dǎo)致建立其動(dòng)力學(xué)模型較為復(fù)雜，同時(shí)其還因進(jìn)出電泳槽液存在模型參數(shù)變化與外界擾動(dòng)突變等不確定因素［5］。為此，有必要從實(shí)時(shí)獲取混聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型、解決不確定性問題方面進(jìn)行研究，以提高該混聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)控制性能。

為解決實(shí)時(shí)獲取混聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型問題，Hsia 等［6］最早提出時(shí)延估計(jì)技術(shù)以估計(jì)機(jī)械臂的模型，現(xiàn)已在機(jī)器人控制領(lǐng)域中獲得廣泛關(guān)注［7-8］。其核心思想是利用時(shí)延估計(jì)（TDE）技術(shù)，通過采樣系統(tǒng)在上一時(shí)刻的時(shí)延狀態(tài)（輸出與加速度）估計(jì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，是一種無需復(fù)雜被控對象動(dòng)力學(xué)模型，避免在線實(shí)時(shí)計(jì)算其逆動(dòng)力學(xué)的方法［9］。但傳統(tǒng)TDE 技術(shù)應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)控制時(shí)常存在兩個(gè)問題，一是存在時(shí)延估計(jì)誤差影響跟蹤精度，二是難以選取合適的時(shí)延估計(jì)常量慣性增益。

時(shí)延估計(jì)誤差與采樣頻率有關(guān)且具有非線性，是限制控制器性能的固有因素［10］。為解決時(shí)延估計(jì)誤差對跟蹤精度所造成的影響，在初期研究中提出了基于TDE 的PD控制算法，以抑制時(shí)延估計(jì)誤差在跟蹤精度方面帶來的影響，但針對采樣頻率較低的時(shí)變不確定系統(tǒng)抑制效果有限［11-12］。相較于TDE-PD 控制策略，基于TDE 的等速趨近滑?？刂扑惴?，不僅可以抑制時(shí)延估計(jì)誤差帶來的影響，還能使系統(tǒng)在時(shí)變不確定性問題下達(dá)到更高的跟蹤精度［13-14］。Jin 等［15］提出基于TDE 的非奇異快速終端滑模（NFTSM）控制方法，在提升時(shí)延估計(jì)誤差下不確定系統(tǒng)跟蹤精度的同時(shí)，利用NFTSM 的系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂、改進(jìn)終端滑?？刂疲═SMC）收斂速度緩慢甚至“收斂停滯”問題，并解決奇異性問題的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)更短時(shí)間的誤差收斂，達(dá)到較高的跟蹤精度［16-17］。

針對上述問題，本文利用TDE 技術(shù)實(shí)時(shí)獲取時(shí)延估計(jì)動(dòng)力學(xué)模型，引入非奇異快速終端滑模抑制時(shí)延估計(jì)誤差對跟蹤精度的影響，以保證滑模面收斂速度與系統(tǒng)的非奇異性。針對該不確定混聯(lián)機(jī)構(gòu)難以選取合適定常慣性增益問題，對慣性增益矩陣提出自適應(yīng)規(guī)則，不僅能動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)得到合適慣性增益的值，且能使系統(tǒng)迅速抑制由外界擾動(dòng)突變等引起的突變時(shí)延估計(jì)誤差。最后，提出一種基于時(shí)延估計(jì)的自適應(yīng)慣性增益滑模控制方法，以提高混聯(lián)機(jī)構(gòu)在不確定性問題下的魯棒性與軌跡跟蹤精度。

1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)描述及基于TDE的控制器

1.1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)描述

本文選用課題組自主研發(fā)的汽車電泳涂裝輸送用混聯(lián)機(jī)構(gòu)，該雙邊對稱混聯(lián)機(jī)構(gòu)的單側(cè)結(jié)構(gòu)如圖1 所示（其中，各數(shù)字指代如下：1-導(dǎo)軌、2-底座、3-行走驅(qū)動(dòng)電機(jī)、4-減速機(jī)、5-移動(dòng)滑塊、6-升降驅(qū)動(dòng)電機(jī)、7-連桿、8-從動(dòng)輪、9-主動(dòng)輪、10-連接桿、11-車體、12-翻轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)電機(jī)、13-電動(dòng)絲桿）?；炻?lián)機(jī)構(gòu)的行走驅(qū)動(dòng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)行走輪帶動(dòng)整個(gè)機(jī)構(gòu)做前進(jìn)和后退的平移運(yùn)動(dòng)。由于升降、翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)是結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的雙邊對稱混聯(lián)機(jī)構(gòu)，控制策略設(shè)計(jì)要求較高，因此著重研究升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模及控制策略。

Fig.1 Hybrid mechanism for automobile electrocoating conveying圖1 汽車電泳涂裝輸送用混聯(lián)機(jī)構(gòu)

對于該混聯(lián)機(jī)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

其中，q=(q1q2φ1)T為單側(cè)的滑塊位移與主動(dòng)輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角度為對應(yīng)的速度和加速度；M(q)為廣義慣性矩陣為Coriolis 矩陣；G(q)為重力項(xiàng)矢量；為摩擦力項(xiàng)；τd為集總擾動(dòng)項(xiàng)；τ為控制力矩向量。

1.2 基于TDE的控制器

將式（2）考慮時(shí)間變量重寫為如下：

將N 表示為時(shí)間t的函數(shù)，代表系統(tǒng)在運(yùn)行時(shí)隨時(shí)間發(fā)現(xiàn)的變化，其他作此下標(biāo)的均代表此涵義。N 的估計(jì)值可以通過TDE 技術(shù)估計(jì)得到。

采用TDE 技術(shù)的傳統(tǒng)時(shí)延估計(jì)控制器（TDC）已被提出，其控制律為［6］：

其中，e=qd-q(t)定義為軌跡跟蹤誤差，qd為關(guān)節(jié)的期望運(yùn)行軌跡。式（6）等號右邊的第一部分能夠補(bǔ)償混聯(lián)機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)部分，而第二部分則為線性期望誤差動(dòng)態(tài)方程，作用于該閉環(huán)系統(tǒng)中。為提高系統(tǒng)魯棒性和收斂速度，式（6）的第二部分可采取其他公式，詳見第2章。

1.3 慣性增益Μˉ

由此可見，經(jīng)過運(yùn)算后實(shí)現(xiàn)了整個(gè)關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)的解耦與線性化處理。但是通常由于時(shí)延值選取等一系列原因，時(shí)延估計(jì)項(xiàng)無法完全補(bǔ)償混聯(lián)機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)部分，存在估計(jì)誤差，因而式（7）重新寫為：

定義誤差的表達(dá)式為：

將式（9）稱為TDC 估計(jì)誤差，當(dāng)滿足式（10）的條件時(shí)ε是有界的。對于任意t≥0 的時(shí)間，時(shí)延控制估計(jì)誤差（TDE errors）在常數(shù)矩陣滿足約束條件式（10）時(shí)都是有界的［6，10］。理論上可以通過式（10）計(jì)算得到，但實(shí)際上的值很難準(zhǔn)確獲得，它會(huì)因如機(jī)器人位姿、外界不確定等因素而發(fā)生變化。進(jìn)而在實(shí)際應(yīng)用中通常采用試錯(cuò)法調(diào)節(jié)，一個(gè)合適的慣性增益能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定性與控制性能，相反也會(huì)對控制器造成嚴(yán)重影響。但增益的選擇是一個(gè)復(fù)雜不容易的問題，因?yàn)楫?dāng)機(jī)器人的慣量變化時(shí)，即使在當(dāng)前選擇了一個(gè)合適的值，之后也可能無法滿足約束條件式（10）。因此，傳統(tǒng)的TDC 在應(yīng)用中通常存在以下兩點(diǎn)問題：①PD 型的線性誤差動(dòng)態(tài)方程處理復(fù)雜集總未知項(xiàng)時(shí)魯棒性不足；②常量在系統(tǒng)處于時(shí)變、不確定性等問題的工作狀態(tài)時(shí)難以保證系統(tǒng)穩(wěn)定性與控制性能。

備注1：問題①在下文會(huì)作詳細(xì)解釋。

備注2：為確保式（5）的時(shí)延估計(jì)估計(jì)有效性，采樣周期L 應(yīng)該足夠小。在常見的機(jī)器人中，此要求可以很容易通過一個(gè)或幾個(gè)采樣周期的選取加以實(shí)現(xiàn)。但當(dāng)系統(tǒng)的采樣周期較長時(shí)，則需要對TDC 進(jìn)行改進(jìn)以達(dá)到控制要求［19］。

2 基于時(shí)延估計(jì)的自適應(yīng)慣性增益滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

為解決上述提到的兩個(gè)問題，首先通過引入非線性期望誤差動(dòng)態(tài)方程（Nonlinear DED）提高響應(yīng)速度以及抑制時(shí)延估計(jì)誤差項(xiàng)式（9），達(dá)到加強(qiáng)控制性能要求。本文選擇NFTSM 動(dòng)態(tài)方程替換控制律中的線性期望誤差動(dòng)態(tài)方程部分。根據(jù)研究的一般混聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)模型階次，故滑模面與趨近律設(shè)計(jì)選取如式（11）、式（12）［20］：

其中ρ1、ρ2、α、β為控制器參數(shù)，q，p(p＞q)，γ＞1，0 ＜k＜1 都是正奇數(shù)。選用NFTSM 動(dòng)態(tài)方程，其具有限時(shí)間收斂到平衡狀態(tài)、消除抖振以及對系統(tǒng)不確定性和擾動(dòng)具有很好的魯棒性等特點(diǎn)。

本文提出基于NFTSM 滑模面式（11）和趨近律式（12）的TDC 策略，如式（13）：

2.1 自適應(yīng)慣性增益設(shè)計(jì)

再根據(jù)滑模面式（11）將式（14）變形為：

該非線性微分方程的收斂性可參考文獻(xiàn)［20］。當(dāng)考慮估計(jì)誤差時(shí)，式（15）重寫為：

在閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程式（16）中，時(shí)延估計(jì)誤差（TDE error）可以看作是脈沖型擾動(dòng)的輸入誤差。方程在給定時(shí)延估計(jì)誤差ε后，滑模變量s在穩(wěn)態(tài)下的大小主要由決定，同時(shí)ρ1、ρ2與系統(tǒng)響應(yīng)速度有關(guān)。因此，當(dāng)?shù)哪Ｖ翟酱?，滑模變量s就越小。但由于不等式約束式（10）的存在，的模值大小不能無限制增大，否則會(huì)使整個(gè)系統(tǒng)不可控。

其中：·i和·i i分別代表向量·的第i個(gè)元素與對角矩陣·的第ii個(gè)斜對角元素；式中引入滑模變量si與其導(dǎo)數(shù)與ki是正常系數(shù)，起到調(diào)節(jié)慣性增益矩陣變化速率的作用；δi是滑模變量si與的正則化因子這項(xiàng)定義為約束層。通過引入式（11）中定義的s 變量，所提自適應(yīng)律調(diào)節(jié)到一個(gè)合適的范圍內(nèi)，用于保證系統(tǒng)在不確定性問題下的魯棒性，同時(shí)提高了誤差收斂速度。

所設(shè)計(jì)基于時(shí)延估計(jì)的自適應(yīng)慣性增益滑?？刂破髟砜驁D如圖2所示。

Fig.2 Schematic diagram of controller圖2 控制器原理框圖

2.2 穩(wěn)定性證明

根據(jù)Lypunov 理論證明根據(jù)式（18）所提出的基于時(shí)延估計(jì)的自適應(yīng)慣性增益滑?？刂葡到y(tǒng)的一致最終有界性。

假設(shè)1：系統(tǒng)不確定部分及外部隨機(jī)干擾項(xiàng)變化緩慢時(shí)延誤差εi有上界，為當(dāng)選用合適的控制增益時(shí)，假設(shè)1成立，具體證明過程可參考文獻(xiàn)［21］。

假設(shè)2：在時(shí)間t=0 時(shí)，滑模變量靠近于零。這是因?yàn)橥ǔＴ趯?shí)際操作中，混聯(lián)機(jī)構(gòu)的初始運(yùn)行位置一般也為期望軌跡的初始位置。

設(shè)計(jì)一個(gè)Lyapunov 方程如下：

將式（15）和自適應(yīng)律式（16）代入式（18）中可得：

3 仿真及結(jié)果比較

3.1 仿真環(huán)境

以式（1）所示的汽車電泳涂裝輸送用混聯(lián)機(jī)構(gòu)作為被控對象，給出兩個(gè)實(shí)例進(jìn)行仿真研究，最終通過比較各方法數(shù)值模擬的結(jié)果驗(yàn)證了所建立模型與提出方法的有效性。情況一為在模型參數(shù)變化的不確定因素下進(jìn)行仿真，特意“隨機(jī)”設(shè)置被控對象的變化負(fù)載質(zhì)量m=15kg；情況二為在基于情況一且受外界擾動(dòng)突變的時(shí)變不確定因素下進(jìn)行仿真，其中混聯(lián)機(jī)構(gòu)的主要參數(shù)參考文獻(xiàn)［2］。

Table 1 Lumped disturbance term parameters表1 集總擾動(dòng)項(xiàng)參數(shù)

3.2 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證所提出控制方法的有效性，將在變負(fù)載具液阻汽車電泳涂裝輸送用混聯(lián)機(jī)構(gòu)中對基于時(shí)延估計(jì)的自適應(yīng)慣性增益滑?？刂品椒ǎê喎Q為：所提方法）的仿真結(jié)果與另外兩種方法的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。這兩種分別是基于拉格朗日動(dòng)力學(xué)模型的NFTSM 控制方法（簡稱控制方法1）與基于時(shí)延估計(jì)的定常慣性增益滑?？刂品椒ǎê喎Q控制方法2）。

非奇異快速終端滑模面參數(shù)為：α=7，β=2，γ=3，p=5，q=3；控制律參數(shù)為：ρ1=5，ρ2=12，k=0.5；慣性增益自適應(yīng)律參數(shù)為 ：δ=[3，3，30]T，diag(0.15，0.15，1.5) × 102，初值控制方法1中控制器使用已有名義模型［2］，其負(fù)載質(zhì)量m=5kg。

由于升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)兩邊對稱，兩邊對應(yīng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)一致，故只給出一側(cè)升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)各主動(dòng)關(guān)節(jié)的仿真曲線。圖3 為在第一種情況下各主動(dòng)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差曲線；圖4 和圖5 分別為在第二種情況下的各主動(dòng)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線與所提方法根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)對于慣性增益矩陣進(jìn)行調(diào)節(jié)的曲線。3 種控制器下各主動(dòng)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤均方根誤差數(shù)據(jù)（RMSE）如表2所示。

如圖3 所示，控制方法1 由于無法在線辨識系統(tǒng)參數(shù)變化的不確定情況，拉格朗日動(dòng)力學(xué)模型的不精確導(dǎo)致軌跡跟蹤誤差較大；而使用了TDE 技術(shù)的控制方法2 與所提方法通過估計(jì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型解決了模型參數(shù)變化帶來的不確定性問題，都有較小的軌跡跟蹤誤差。同時(shí)，通過對慣性增益矩陣的自適應(yīng)調(diào)整，所提方法在同等情況下相對于控制方法1、2 具有較快的收斂速度，如表2 所示，所提方法具有更高的軌跡跟蹤精度。如圖4 所示，所提方法在4 個(gè)時(shí)刻受到外界擾動(dòng)突變項(xiàng)影響產(chǎn)生較大軌跡跟蹤誤差時(shí)，所產(chǎn)生的誤差峰值較小，誤差收斂速度較快，該控制方法對變負(fù)載具液組混聯(lián)機(jī)構(gòu)具有良好的跟蹤性能。如圖5所示，慣性增益自適應(yīng)律根據(jù)軌跡跟蹤誤差的大小對慣性增益矩陣進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，當(dāng)較大初始誤差及外界擾動(dòng)突變項(xiàng)干擾時(shí)，各慣性增益的值變大，使得誤差減??；當(dāng)系統(tǒng)逐漸趨于一個(gè)相對穩(wěn)定的狀態(tài)時(shí)，的值又將減小到一個(gè)較小鄰域內(nèi)。這與上文進(jìn)行理論分析的慣性增益矩陣變化情況相吻合。

Fig.3 Tracking error curve of joint trajectory under case 1圖3 情況一下關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差曲線

Fig.4 Tracking error curve of joint trajectory under case 2圖4 情況二下關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差曲線

Fig.5 The inertial gain matrix 圖5 慣性增益矩陣

Table 2 Tracking RMSE of each joint trajectory under case 1表2 情況一各關(guān)節(jié)軌跡跟蹤RMSE

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

汽車電泳涂裝輸送用混聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺以及樣機(jī)進(jìn)入槽液時(shí)的狀態(tài)如圖6所示。

Fig.6 A novel hybrid mechanism for automobile electro-coating conveying system圖6 汽車電泳涂裝輸送用混聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)系統(tǒng)

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的基于時(shí)延估計(jì)的自適應(yīng)慣性增益滑?？刂品椒ǖ挠行耘c可行性，將所提出方法與基于時(shí)延估計(jì)定常慣性增益滑?？刂品椒ǎ刂品椒?）應(yīng)用于輸送混聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)，并通過車體進(jìn)出水槽的過程表示系統(tǒng)受到的時(shí)變不確定因素，分別進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)。樣機(jī)升降關(guān)節(jié)與翻轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差的實(shí)驗(yàn)曲線如圖7 所示，樣機(jī)升降關(guān)節(jié)與翻轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)最大跟蹤誤差與受擾最長收斂時(shí)間的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

Table 3 Experimental results of maximum joint tracking error and maximum disturbed convergence time表3 關(guān)節(jié)最大跟蹤誤差與受擾最長收斂時(shí)間實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由圖7 和表3 可知，所提方法具有較小的跟蹤誤差實(shí)驗(yàn)結(jié)果，且誤差峰值較小，在受擾產(chǎn)生突變誤差后其最長收斂時(shí)間也較短。這進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的基于時(shí)延估計(jì)的自適應(yīng)慣性增益滑?？刂品椒ǖ挠行裕摲椒軌蛲瑫r(shí)保證較好的軌跡跟蹤性能和較高的誤差收斂速度。結(jié)果表明，該控制方法可以保證輸送混聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)在受不確定因素干擾時(shí)的較高軌跡跟蹤精度。

Fig.7 Experimental results of joint trajectory tracking error圖7 關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié)語

文本針對汽車電泳涂裝輸送用混聯(lián)機(jī)構(gòu)建立其動(dòng)力學(xué)模型較為復(fù)雜且難以獲取精確模型參數(shù)的問題，提出一種基于時(shí)延估計(jì)的滑?？刂扑惴?，并通過設(shè)計(jì)慣性增益矩陣自適應(yīng)律克服了不確定因素對系統(tǒng)的影響，最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的基于時(shí)延估計(jì)的自適應(yīng)慣性增益滑模控制算法的有效性。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法在混聯(lián)機(jī)構(gòu)輸送車體進(jìn)出電泳槽液時(shí)，可在保持軌跡跟蹤精度的同時(shí)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提高響應(yīng)速度。本文在研究過程中主要考慮了輸送車體進(jìn)出電泳槽液時(shí)對系統(tǒng)的影響，僅將其當(dāng)做簡單的突變擾動(dòng)干擾，然而在實(shí)際場景下，進(jìn)出電泳槽液的過程需更為詳細(xì)的分析，同時(shí)在空氣與電泳液中運(yùn)行時(shí)也需要考慮不同阻力、摩擦力等。因此，在后續(xù)研究中可對混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)出電泳槽液的工作情況作進(jìn)一步分析，改進(jìn)相應(yīng)控制算法以提高算法實(shí)用性和可行性。