巧構(gòu)空間坐標(biāo)系,妙解立體幾何題

臧永建

(濟(jì)南市章丘區(qū)第五中學(xué))

我們知道,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法可以判斷與證明空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,求解空間角(包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角的平面角等)問(wèn)題.此外,還可以用它巧妙解決立體幾何中的數(shù)量積問(wèn)題、距離問(wèn)題、外接球問(wèn)題以及軌跡問(wèn)題等.

1 數(shù)量積問(wèn)題

例1已知MN是長(zhǎng)方體外接球的一條直徑,點(diǎn)P在長(zhǎng)方體表面上運(yùn)動(dòng),長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別是1,1,,則的取值范圍為( ).

解析根據(jù)題意,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖1所示.

圖1

點(diǎn)評(píng)在解決一些立體幾何體中的向量數(shù)量積問(wèn)題時(shí),可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求解,其中正確構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

2 距離問(wèn)題

例2(多選題)如圖2所示,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E為A1D1的中點(diǎn),F為CC1上 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若由點(diǎn)A,E,F構(gòu)成的平面為α,則( ).

圖2

A.平面α截正方體的截面可能是三角形

B.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí),平面α截正方體的截面面積為

C.點(diǎn)D到平面α的距離的最大值為

D.當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面α截正方體的截面為五邊形

解析如圖3 所示,建立空間直角坐標(biāo)系,延長(zhǎng)AE與z軸交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)PF與y軸交于點(diǎn)M,則平面α由平面AEF擴(kuò)展為平面APM.由此可知A 錯(cuò)誤,D 正確.

圖3

點(diǎn)評(píng)在利用坐標(biāo)法解決一些立體幾何中的距離問(wèn)題時(shí),正確地構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系并利用一些常用的距離公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

3 外接球問(wèn)題

圖4

即三棱錐A-BCD外接球的表面積為S＝4πR2＝52π,故選B.

點(diǎn)評(píng)在解決一些簡(jiǎn)單幾何體的外接球問(wèn)題時(shí),通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)法求解,可以很好地回避確定外接球的球心位置或球的半徑等繁雜的圖形處理與邏輯推理.

4 軌跡問(wèn)題

例4如圖5所示,斜線段AB與平面α所成的角為為斜足.平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB＝,則點(diǎn)P的軌跡為( ).

圖5

A.圓

B.橢圓

C.雙曲線的一部分

D.拋物線的一部分

解析建立如圖6 所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)B(0,1,0),A(0,0,1),P(x,y,0),則＝(0,1,－1),＝(x,y,－1),所以

圖6

變形整理可得3x2＋(y－2)2＝3,所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓,故選B.

點(diǎn)評(píng)在解決一些立體幾何中的軌跡問(wèn)題時(shí),回顧平面解析幾何中求解軌跡問(wèn)題的技巧與方法,通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),借助坐標(biāo)法,利用題目條件合理構(gòu)建相關(guān)的關(guān)系式,進(jìn)而變形整理得到動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的代數(shù)關(guān)系式,從而結(jié)合關(guān)系式的特征確定軌跡類型.

建立空間直角坐標(biāo)系求出空間相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)等,利用坐標(biāo)法確定線段的長(zhǎng)度、向量的夾角、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系,解決一些相關(guān)的數(shù)量積問(wèn)題、距離問(wèn)題、外接球問(wèn)題以及軌跡問(wèn)題等,可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破,全面提升數(shù)學(xué)能力,提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(完)