巧妙構(gòu)建模型,求解外接球半徑

劉慕花

(甘肅省甘谷縣第四中學(xué))

1 墻角模型

墻角模型是指涉及或隱含三條棱兩兩互相垂直的三棱錐的外接球問題.

在三棱錐P-ABC中,墻角模型有以下三種不同情況,如圖1至圖3所示.

圖1

圖2

圖3

解決問題的關(guān)鍵是找出三條兩兩垂直的線段,直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2求出R.

例1在三棱錐P-ABC中,△ABC為等邊三角形,PA＝PB＝PC＝3,PA⊥PB,則三棱錐P-ABC的外接球的體積為( ).

分析根據(jù)題目條件可知三棱錐P-ABC中的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩相互垂直,結(jié)合補(bǔ)形思維,將三棱錐P-ABC放置在對(duì)應(yīng)的正方體中,則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為三棱錐P-ABC的外接球的半徑,進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)的體積.

解因?yàn)镻A＝PB＝PC,△ABC是正三角形,所以△PAB≌△PAC≌△PBC.

由PA⊥PB,可 知PA⊥PC,PB⊥PC,則 以PA,PB,PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖4),三棱錐P-ABC的外接球可看成正方體的外接球.

圖4

例如，在學(xué)習(xí)人教版初中音樂《漢族民歌》時(shí)，教師可以結(jié)合教材需要進(jìn)行對(duì)課堂改革，引導(dǎo)學(xué)生在課堂上學(xué)唱江蘇民歌和中國(guó)民歌《茉莉花》，嘗試同時(shí)演唱兩種曲調(diào)不同的《茉莉花》，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教導(dǎo)學(xué)生兩首歌的特點(diǎn)，同時(shí)針對(duì)其中民族文化進(jìn)行教育，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)祖國(guó)民族音樂的熱愛和對(duì)祖國(guó)對(duì)家鄉(xiāng)的情感，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的教育培養(yǎng)。

點(diǎn)評(píng)利用墻角模型求解涉及空間幾何體外接球的半徑問題,關(guān)鍵是挖掘題目中隱含的三條棱兩兩互相垂直,進(jìn)一步為構(gòu)建長(zhǎng)方體或正方體的模型解決相關(guān)的外接球問題指明方向,這也是解決此類問題中關(guān)鍵的一步.

2 漢堡模型

漢堡模型是指直棱柱的外接球、圓柱的外接球問題.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,直三棱柱內(nèi)接于球O(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形),漢堡模型有以下兩種不同情況,如圖5、圖6所示.

圖5

圖6

分析如圖7 所示,先過球心作底面ABC的垂線,從而確定底面三角形外接圓的圓心和半徑,再利用直三棱柱的幾何性質(zhì)確定球心到底面的距離,進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出球O的半徑.

解過球心O作平面ABC的垂線(如圖7),則垂足為BC的中點(diǎn)M.因?yàn)?所以球O的半徑R＝,故選C.

圖7

點(diǎn)評(píng)利用漢堡模型求解涉及空間幾何體外接球的半徑問題,關(guān)鍵是結(jié)合直棱柱或圓柱等空間幾何體的對(duì)稱性,根據(jù)兩平行底面的中心連線的中點(diǎn)為其外接球的球心的結(jié)論,利用勾股定理求出關(guān)于外接球半徑的關(guān)系式,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化.

3 垂面模型

垂面模型主要用于一條直線垂直于一個(gè)平面的空間幾何體的外接球問題.在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,垂面模型如圖8所示.

圖8

解決問題的關(guān)鍵:第一步,畫出△ABC的外接圓O1,連接AO1并延長(zhǎng)交圓O1于點(diǎn)D,連接PD,則PD必過球心O,OO1⊥平面ABC,算出圓O1的半徑O1D＝r;第二步,利用勾股定理求三棱錐外接球的半徑:

分析在△BCD中利用勾股定理確定三角形的形狀特征,進(jìn)而求解該三角形的外接圓半徑.由直角三角形的性質(zhì)可知外接球的球心在過直角三角形的斜邊中點(diǎn)且垂直于該三角形所在平面的直線上,根據(jù)中垂線的性質(zhì)確定球心O的位置并構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式,從而得以確定球的半徑,進(jìn)而求解外接球的表面積.

解在△BCD中,因?yàn)锽C＝CD＝1,BD＝所以BC2＋CD2＝BD2,故△BCD為等腰直角三角形,其外接圓半徑

如圖9 所示,取線段BD的中點(diǎn)E,過點(diǎn)E作OE⊥平面BCD,過線段AB的中點(diǎn)作AB的垂直平分線FO.

圖9

設(shè)三棱錐A-BCD的外接球的半徑為R,則OB＝R,且

故三棱錐A-BCD的外接球的表面積S＝4πR2＝5π.

點(diǎn)評(píng)解決此類涉及空間幾何體的外接球半徑問題,關(guān)鍵是根據(jù)過底面外接圓的圓心且垂直于底面的直線過球心,結(jié)合垂直于底面的線段的中垂線也經(jīng)過球心,確定球心的位置.

求解有關(guān)空間簡(jiǎn)單幾何體的外接球問題,關(guān)鍵是掌握基本的思維技巧與策略方法,合理構(gòu)建特殊的立體幾何模型,運(yùn)用簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定外接球半徑,構(gòu)建起不同元素之間的聯(lián)系,認(rèn)真地進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算,合理地進(jìn)行邏輯推理,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象以及邏輯推理等核心素養(yǎng)的提升.

(完)