借助空間向量,妙解圖形折疊問題

李福全

(河北省任丘市第一中學)

圖形折疊問題是高考空間立體幾何中比較常見的一類問題,這類問題是指將一平面圖形翻折后變成空間幾何體,然后根據平面圖形的數(shù)量關系研究空間幾何體中各元素數(shù)量關系的問題.解決這類問題的關鍵是確定翻折前后相關元素的不變量與變化量,運用空間向量知識加以分析.

1 判定命題

例1將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,給出下列四個結論:①AC⊥BD;②AB,CD所成角為60°;③△ADC為等邊三角形;④AB與平面BCD所成角為60°.其中真命題是________(請將你認為是真命題的序號都填上).

解析對于①,如圖1所示,取BD的中點O,連接AO,CO,易知BD垂直于平面AOC,故BD⊥AC,①正確.

圖1

圖2

對于③,在Rt△AOC中,由AO＝CO＝,得＝a,故△ADC為等邊三角形,③正確.

對于④,易知∠ABO為直線AB與平面BCD所成的角,可求得∠ABO＝45°,故④錯誤.

綜上,選①②③.

點評本題主要考查平面圖形的折疊、空間線面位置關系的判定與性質、空間角的求解等知識.求解的關鍵是正確分析平面圖形折疊后對應的立體幾何圖形,并能結合相應的性質加以分析與判定.

2 求解角度

例2如圖3所示,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝3,AC＝6,D,E分別為AC,AB上的點,且DE∥BC,DE＝2.如圖4所示,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD.

圖3

圖4

(1)求證:A1C⊥平面BCDE;

(2)若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大小.

圖5

點評本題主要考查空間幾何中的線面位置關系及其判定、空間角的求解及其應用.在折疊過程中,要注意折疊前后對應直線的平行、垂直關系以及線段的長度等,進而為利用空間向量求解空間角奠定基礎.

3 求解二面角的余弦值

例3如圖6所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,BE⊥AD于E,且DE＝2BC＝2BE,將梯形ABCD沿BE折疊成如圖7所示的幾何體,∠AED＝為AE的中點.

圖6

圖7

圖8

點評本題主要考查線面平行的證明、二面角的計算、空間向量及其應用等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

平面幾何圖形折疊成空間幾何體的變換問題難度比較大,對空間想象能力要求較高.這類問題主要對空間幾何體中的點、線、面沿著相應的直線進行折疊變換,設置角度、距離、軌跡等眾多問題,探求定值、最值等,是一類思維方式多樣、難度較大的創(chuàng)新性問題,也是模擬考試、高考、自主招生考試中的熱點問題,具有很好的選拔性與區(qū)分度.

(完)