例析立體幾何中與垂直相關(guān)的探索性問題

何秋霞

(江蘇省南京市高淳區(qū)湖濱高級中學(xué))

立體幾何中的探索性問題具有一定難度,而有關(guān)垂直的探索性問題是其中的一類.探索性問題大致可分為是否成立問題和是否存在問題.它們設(shè)問不同,但本質(zhì)上都是探索性問題.筆者認(rèn)為立體幾何中與垂直相關(guān)的探索性問題可以分為如下兩類:

1)是否成立問題——適合題設(shè)條件的結(jié)論是否成立,探索條件或位置.

2)是否存在問題——滿足某條件時結(jié)論才能成立.

1 是否成立問題

判斷一個命題是否成立,是較為簡單的探索性問題.立體幾何中常見的是否成立問題通常是以幾何體為載體考查線線、線面、面面的位置關(guān)系,其中以垂直關(guān)系最具代表性.解決這類問題常用的思路有兩種:1)先給出判斷結(jié)果再證明或舉反例.2)先假設(shè)結(jié)論成立再進(jìn)行邏輯推導(dǎo),若推導(dǎo)不出矛盾,則結(jié)論正確;若推導(dǎo)出矛盾,則結(jié)論錯誤.

例1如圖1 所示,在四面 體PABC中,△PAC和△ABC均為等腰三角形,且∠APC＝∠BAC＝90°,PB＝AB＝4.判斷AB⊥PC是否成立并給出證明.

圖1

解析已知AB⊥AC,欲判

斷AB⊥PC是否成立,只需判斷AB⊥AP是否成立.

經(jīng)判斷知AB⊥PC不成立,證明如下.

假設(shè)AB⊥PC,由∠BAC＝90°,有AB⊥AC,又PC∩AC＝C,PC?平面PAC,AC?平面PAC,所以AB⊥平面PAC,又AP?平面PAC,所以AB⊥AP,從而BP＞AB,這與PB＝AB矛盾,故假設(shè)不成立,即AB⊥PC不成立.

例2如圖2所示,AB是圓O的一條直徑,C是圓上不同于A,B的點(diǎn),PA垂直于圓O所在平面,平面PAC與平面PBC是否一定垂直? 請說明理由.

圖2

解析判斷面面是否垂直,就是尋找一個平面內(nèi)有無一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線.

經(jīng)判斷知平面PAC⊥平面PBC.證明如下.

因為C在以AB為直徑的圓周上(除A,B兩點(diǎn)外),AC⊥BC,PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.

又PA∩AC＝A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,BC⊥平面PAC,而BC?平面ABC,所以平面PAC⊥平面PBC.

2 是否存在問題

是否存在滿足某個條件的結(jié)論,一般稱為存在性問題.立體幾何中與垂直有關(guān)的存在性問題較為常見.

解決存在性問題的思路有三種:

1)先猜后證——先給出結(jié)論再證明滿足條件,相當(dāng)于找到使命題成立的充分條件,再證明命題成立.

2)先作后算——先作出符合條件的圖形再由題設(shè)條件推導(dǎo)出結(jié)論,相當(dāng)于承認(rèn)命題成立,尋找命題成立的必要條件.

3)邊作邊證邊算——一邊應(yīng)用條件作圖,一邊證明并計算.

2.1 探索線面垂直

探索線面垂直問題是探索與垂直有關(guān)問題的基礎(chǔ)題目.可以將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,進(jìn)而由線線垂直尋找探索點(diǎn)的位置.

例3如圖3所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰三角形,∠A1C1B1＝90°,A1C1＝1,AA1＝,D為A1B1中點(diǎn).

圖3

(1)求證:平面AC1D⊥平面ABB1A1;

(2)在AB1上是否存在一點(diǎn)E,使得AB1⊥平面C1DE? 若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

解析(1)可 證C1D⊥平 面ABB1A1(具體求解過程略).

2.2 探索面面垂直

面面垂直的本質(zhì)仍是線面垂直,因此,探索面面垂直仍回到探索線面垂直.

例4如圖4所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB＝1,BC＝2,CD＝1＋,過A作AE⊥CD,垂足為E.現(xiàn)將△ADE沿AE折起使得DE⊥EC,如圖5所示,問:在線段AE上是否存在一點(diǎn)F,使得平面BDF⊥平面BDC? 若存在,指出F的位置;若不存在,說明理由.

圖4

圖5

解析方法1假設(shè)在線段AE上存在點(diǎn)F,使得平面BDF⊥平面BDC.由DE⊥EC,DE＝,EC＝1,得DC＝2＝BC,取BD的中點(diǎn)M,連接CM,FM,FC,則CM⊥BD,如圖6所示.

圖6

因為平面BDF⊥平面BDC,CM⊥BD,CM?平面BDC,平面BDF∩平面BDC＝BD,所以CM⊥平面BDF,又FM?平面BDF,所以CM⊥FM.因為DE⊥EC,DE⊥AE,AE∩EC＝E,所以DE⊥平面ABCE,DE⊥EB.

方法2假設(shè)在線段AE上存在點(diǎn)F,使得平面BDF⊥平面BDC.延長BC于N,使得BC＝CN＝2,連接DN,如圖7 所示,由＝1,得DC＝2,則DN⊥DB.因為DE⊥EC,DE⊥AE,AE∩EC＝E,所以DE⊥平面ABCE,DE⊥EB.

圖7

探索性問題分散在立體幾何的各模塊之中,考查思維的靈活性,綜合考查邏輯推理素養(yǎng)、運(yùn)算求解能力、空間想象素養(yǎng)、分類討論思想等.

(完)