強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)備考系列講座(11)
——立體幾何求解與證明路徑

王慧興

(清華大學(xué)附屬中學(xué))

1 知識(shí)與技能

1.1 要點(diǎn)梳理

表1

1.2 要點(diǎn)解析

(1)幾何觀點(diǎn):基于幾何體概念以及相關(guān)幾何元素之間的位置關(guān)系,經(jīng)歷圖形分析與必要的幾何作圖過程,根據(jù)定義與性質(zhì)進(jìn)行推理,完成證明與計(jì)算.

(2)幾何作圖:基于幾何分析,在已有空間圖形中,增添必要的幾何元素以輔助推理與計(jì)算.

(3)如圖1所示,特殊三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)在底面上的射影位置:當(dāng)PA＝PB＝PC時(shí),點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的外心;當(dāng)∠PAB＝∠PAC時(shí),點(diǎn)P在平面ABC上的射影落在∠BAC的平分線上.特別地,當(dāng)∠PAB＝∠PAC,且∠PBA＝∠PBC時(shí),點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的內(nèi)心或旁心;當(dāng)dP-AB＝dP-AC＝dP-BC時(shí),點(diǎn)P在平面ABC的射影是△ABC的內(nèi)心或旁心;當(dāng)PA⊥BC,且PB⊥AC時(shí),點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的垂心.

圖1

(4)幾個(gè)常用的二級(jí)結(jié)論.

三余弦定理:如圖2所示,P?α,PO⊥平面α于點(diǎn)O,點(diǎn)A是平面α內(nèi)異于點(diǎn)O的一點(diǎn),∠PAO＝θ1,它是PA與平面α所成角,另取點(diǎn)B∈平面α,使得∠OAB＝θ2,記∠PAB＝θ3,則cosθ1cosθ2＝cosθ3.

圖2

面積射影關(guān)系:如圖3所示,AA′⊥平面BCA′,二面角A-BC-A′的平面角大小是∠ADA′,設(shè)∠ADA′＝θ,則S△ABCcosθ＝S△A′BC.

圖3

異面直線上兩點(diǎn)之間的距離:如圖4所示,兩條異面直線a,b的距離是d,所成角是θ,A∈a,B∈b,A和B兩點(diǎn)的連線段是a,b的公垂線段,E∈a,F∈b,并且AE＝m,BF＝n.由B和a確定一個(gè)平面β,在平面β上過點(diǎn)B作a′∥a,由b和a′確定一個(gè)平面α;由AB⊥a,得AB⊥a′,所以平面β⊥平面α;過E作EM⊥平面α于M,則M∈a′.

圖4

在△MBF中,BM＝AE＝m,BF＝n,∠FBM∈{θ,180°－θ},下面求FM.

二面角的兩個(gè)面上兩點(diǎn)之間的距離:如圖5 所示,在平面α,β內(nèi)分別取一點(diǎn)M,N,從這兩點(diǎn)分別引棱l的垂線段MA,NB,并且MA＝m,NB＝n,記AB＝d,其在平面α上,過點(diǎn)B作線段BT與AM平行且相等,連接MT,則四邊形ABTM是矩形,故MT∥l,且MT＝d,連接NT,由AB⊥平面BNT,得MT⊥平面BNT.在△NBT中,BN＝n,BT＝m,∠NBT＝θ,由余弦定理得

圖5

在Rt△TMN中,∠MTN＝90°,MT＝d,由勾股定理可得

(5)錐體截面與高比例關(guān)系:平行于棱錐底面的截面,其面積與底面面積的比等于從頂點(diǎn)到截面的距離與從頂點(diǎn)到底面的距離比的平方.如圖6所示,在五棱錐P-ABCDE中,五邊形A′B′C′D′E′是平行于底面的一個(gè)截面,PO⊥平面ABCDE交平面A′B′C′D′E′于 點(diǎn)O′,則.同理,如圖7所示,在圓錐PO中,R分別為圓O′、圓O的半徑).

圖6

圖7

(6)四面體有外接球與內(nèi)切球.

任意一四面體ABCD都有外接球和內(nèi)切球.

證明如圖8所示,記△BCD的外心為O,過點(diǎn)O作平面BCD的垂線l,任取O′∈l,則O′B＝O′C＝O′D.取點(diǎn)O′＝O1,使O1B＝O1C＝O1D＜O1A;取點(diǎn)O′＝O2,使O2B＝O2C＝O2D＞O2A.

圖8

因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)O′在直線l上連續(xù)移動(dòng)時(shí),差值δ＝O′D－O′A連續(xù)變換,由介值定理,在線段O1O2上存在一點(diǎn)O,滿足δ＝0,即OB＝OC＝OD＝OA,則點(diǎn)O為四面體A-BCD的外接球球心,故任意一四面體都有外接球.如圖9所示,作二面角A-BC-D的等分角面BCE,再作二面角A-BD-C的等分角面BDF,記BE∩DF＝K,則平面BCE∩平面BDF＝BK.

圖9

作二面角A-CD-B的等分角面CDG,連接AK并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)X,則平面AXB∩平面CDG＝XG,所以XG與BK是平面ABX上的兩條相交直線,記XG∩BK＝O,則點(diǎn)O是上述三個(gè)等分角面的公共點(diǎn),所以點(diǎn)O到平面ABC、平面ACD、平面ABD等距離,點(diǎn)O是四面體A-BCD內(nèi)切球的球心,故任一四面體總有內(nèi)切球.

(7)等積變換.

祖暅原理:夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面面積都相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.

三棱錐A-BCD是等積變換最活躍的幾何體,即

(8)簡(jiǎn)單多面體的歐拉示性數(shù):V＋F－E＝2(多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E).記V＋FE＝f,現(xiàn)用圖論方法論證這個(gè)示性數(shù)公式f＝2.

設(shè)想多面體的面是用橡皮做成,先剪掉一個(gè)面,再把剩余部分展開,得到一個(gè)平面圖G(V,E),其中區(qū)域數(shù)為F－1,數(shù)值f－1＝V＋F′－E不變;再?gòu)耐庀蚶镏鸩饺サ暨?該邊關(guān)聯(lián)的2個(gè)頂點(diǎn)不去掉),每去掉一條邊,面也同時(shí)減少一個(gè),數(shù)值f－1＝V＋(F′－1)－(E－1)＝V＋F′－E保持不變,直到不存在由邊圍成的區(qū)域,這時(shí)圖G(V,E)簡(jiǎn)化成樹,f－1的值仍保持不變;再?gòu)臉渲δ┒?逐步去掉一個(gè)頂點(diǎn)及其關(guān)聯(lián)的邊,每次操作,頂點(diǎn)與邊各減少1,因此f－1＝V＋F′－E的值不變;這種操作可以直至剩下一條邊及其關(guān)聯(lián)的兩個(gè)頂點(diǎn),所以f－1＝2＋0－1＝1,即f＝2,則V＋F－E＝2.

(9)正多面體.

五種正多面體:每個(gè)正多面體的頂點(diǎn)數(shù)記作V、面的個(gè)數(shù)記作F、棱的條數(shù)記作E.

綜上,共有五種正多面體,如表2所示.

表2

圖10

求平面的斜線l與平面α的夾角歸結(jié)為直線l與其在平面α上的射影的夾角,即兩條相交直線的夾角,這時(shí)更常用的方法是通過直線l的方向向量a與平面α的法向量n的夾角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,但〈a,n〉∈(0,π),所以

求二面角α-l-β的平面角θ∈(0,π),分別求出平面α,β的法向量n1,n2,這兩個(gè)法向量夾角〈n1,n2〉的取值范圍是(0,π),所以當(dāng)n1,n2都指向二面角內(nèi)部或都指向n1,n2外部時(shí),θ＝π－〈n1,n2〉;當(dāng)n1,n2之一指向二面角內(nèi)部,另一個(gè)指向二面角外部時(shí),θ＝〈n1,n2〉,故|cosθ|＝|cos〈n1,n2〉|,因此sinθ＝.應(yīng)注意的是cosθ＝±cos〈n1,n2〉都會(huì)出現(xiàn),正負(fù)選擇依據(jù)是識(shí)別兩個(gè)法向量的方向.

(12)各種距離形式不變性:如圖11所示,點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、兩條平行線間的距離、兩條異面直線間的距離、線面平行線與平面之間的距離、兩個(gè)平行平面間的距離,都可以歸結(jié)為一個(gè)向量在另一個(gè)向量n(法向量)上的投影的絕對(duì)值,即,其中S是l或平面α,n是S的法向量.

圖11

(13)空間四邊形對(duì)邊垂直的條件:如圖12 所示,三棱錐A-BCD對(duì)棱垂直的條件是

圖12

注:體會(huì)本結(jié)論與下文例4的區(qū)別.

2 典例精析

2.1 幾何分析

1)動(dòng)態(tài)判斷

例1(上海交通大學(xué))如果三條直線a,b,c兩兩異面,那么與這三條直線都相交的直線l是否存在? 若存在,是有限條還是無窮多條?

解析這樣的直線l存在,并且有無窮多條.把兩兩異面的三條直線a,b,c置于一個(gè)平行六面體的三條棱上,如圖13 所示,直線BC、直線C′D′、直線AA′分別是直線a,b,c.在直線BC上任取一點(diǎn)X?{B,C},由X?c,知經(jīng)過點(diǎn)X與直線c有唯一一個(gè)平面α,記b∩平面α＝Y(jié),由c?平面α,XY?平面α,并且c與XY不平行,可知c∩XY＝Z,記共線三點(diǎn)X,Y,Z所在直線為lX,則lX∩a＝X,lX∩b＝Y(jié),lX∩c＝Z,所以存在滿足題設(shè)條件的直線lX,并且點(diǎn)X在直線a上移動(dòng)時(shí),直線lX也是變化的,故滿足題設(shè)條件的直線有無窮多條.

圖13

2)異面直線夾角與距離

尋求幾何圖形中平行線,做平行移動(dòng),對(duì)所求角與距離進(jìn)行定位,再進(jìn)行幾何計(jì)算.

例2正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1(如圖14-甲),求兩條異面直線B′D′與BC′所成角與距離.

圖14

解析如圖14-乙所示,由于B′D′∥BD,故∠C′BD就是兩條異面直線B′D′與BC′所成角,連接C′D,則BC′＝C′D＝BD＝,所以△C′BD是一個(gè)正三角形,從而∠C′BD＝60°,故兩條異面直線B′D′與BC′所成角為60°.

因?yàn)锽′D′⊥A′C,B′D′⊥CC′,所以B′D′⊥平面A′CC′,從而A′C⊥B′D′.同理,A′C⊥BC′,故A′C與兩條異面直線B′D′,BC′都垂直.下面由A′C追尋這兩條異面直線的公垂線.

記A′C′∩B′D′＝F,取棱CC′的中點(diǎn)E,則EF是△C′A′C的中位線,即EF∥A′C,并且

3)論證平行與垂直

平行與垂直是立體幾何推理論證的主要問題,證明的基本路徑是基于題設(shè)幾何元素位置關(guān)系,運(yùn)用相關(guān)定理(判定與性質(zhì))以邏輯推理構(gòu)建完整通順、自然流暢的證明過程.

例3三個(gè)平面α,β,γ兩兩相交,記α∩β＝l1,β∩γ＝l2,γ∩α＝l3,求證:

(1)如圖15-甲所示,若l1∥l2,則l1∥l3;

(2)如圖15-乙所示,若l1∩l2＝P,則P∈l3.

圖15

證明(1)因?yàn)閘1∥l2,l1?γ,l2?γ,所以l1∥γ.因?yàn)閘1?α,α∩γ＝l3,所以l1∥l3.

(2)因?yàn)閘1∩l2＝P,l1?α,l2?γ,所以P∈α,且P∈γ.因?yàn)棣痢搔茫絣3,所以P∈l3.

例4在三棱錐A-BCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求證:該三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)在其對(duì)面上的射影都是相應(yīng)面三角形的垂心.

證明三棱錐中有兩組對(duì)棱垂直,證明三個(gè)頂點(diǎn)在其對(duì)面上的射影都是垂心,只需證明頂點(diǎn)A在平面BCD上的射影是△BCD的垂心H.如圖16所示,作AH⊥平面BCD于H,則CD⊥AH,BD⊥AH.

圖16

因?yàn)镃D⊥AB,BD⊥AC,所以CD⊥平面ABH,BD⊥平面ACH,故CD⊥BH,BD⊥CH,從而H是△BCD的垂心.

點(diǎn)評(píng)把兩者結(jié)合起來可知,當(dāng)四面體有兩組對(duì)棱互相垂直時(shí),第三組對(duì)棱也互相垂直,這時(shí)三組對(duì)棱的平方和相等,并且每個(gè)頂點(diǎn)在對(duì)面上的射影都是相應(yīng)三角形的垂心.

4)體積計(jì)算與變換

除求空間角與距離之外,求體積是幾何計(jì)算的另一典型內(nèi)容.基于目標(biāo)與體積公式,作幾何計(jì)算,探求中間數(shù)據(jù),指向求體積.另外,基于三棱錐或四面體進(jìn)行等積變換,也是簡(jiǎn)化幾何計(jì)算的有效路徑,尤其是不用作出表示距離的垂線段.

例5 若四棱錐P-ABCD的棱AB,BC的長(zhǎng)均為,其他各條棱長(zhǎng)均為1,求該四棱錐的體積.

解析如圖17 所示,作PO⊥平面ABCD于點(diǎn)O.由PA＝PB＝PC＝PD＝1,所以O(shè)A＝OB＝OC＝OD,故A,B,C,D四點(diǎn)共圓,O是外心.

圖17

由題意,BA＝BC＝,PA＝PC＝1,所以△PBA≌△PBC?∠PBA＝∠PBC?BO平 分∠ABC;同理DO平分∠ADC.

由題意,△ABD≌△CBD?BD平分∠ABC與∠ADC,故點(diǎn)O在BD上,O是線段BD的中點(diǎn),BD是四邊形ABCD外接圓的直徑,從而∠BAD＝90°＝∠BCD.

例6 如圖18所示,過正三棱錐D-ABC底面正△ABC的中心O任意作一平面α,記射線DA,DB,DC分別與平面α相交于點(diǎn)P,M,N.記AD＝l,求證是常數(shù).

圖18

解析如圖19所示,連接OP,OM,ON,把動(dòng)態(tài)四面體D-MNP分割成3個(gè)四面體O-DMP,O-DMN,O-DNP.記∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝θ,DO＝h,DO與平面DAB,平面DBC,平面DCA成等角α,每條側(cè)棱DA,DB,DC與其相對(duì)側(cè)面成等角β.

圖19

5)鋪平與翻折

基于平面圖形翻折立意的一類立體幾何問題,要分析翻折過程中某些垂直與平行的不變性,作為推理基礎(chǔ),同時(shí)要注意后續(xù)空間計(jì)算的中間數(shù)據(jù)也能回到原平面圖形,從而快捷合理地探求.另一方面,鋪平方法也是計(jì)算空間最短距離問題的一條快捷路徑.

例7(上海交通大學(xué))如圖20所示,已知矩形ABCD的邊AB＝,過B,D作AC的垂線,垂足分別為E,F,并且E,F恰是線段AC的三等分點(diǎn),沿著AC將矩形翻折,使得二面角B-AC-D是直二面角,則BD的長(zhǎng)度為__________.

圖20

圖21

解析如圖21所示,作出折疊圖形的直觀圖,得到三棱錐D-ABC.由題意以及折疊過程中的不變性,可知平面DAC⊥平面ABC,且DF⊥AC,則DF⊥平面ABC,即∠DFB＝90°,所以

點(diǎn)評(píng)求解折疊問題應(yīng)按動(dòng)態(tài)情境體驗(yàn)圖形折疊前后不變性質(zhì)與折疊以后空間圖形的形狀,這是正確推理與計(jì)算的基礎(chǔ).本例也可以用如下方法求解簡(jiǎn)化計(jì)算.記AF＝EF＝EC＝m,則

例8(北京大學(xué))設(shè)P為單位正方體ABCDA1B1C1D1的面對(duì)角線AB1上的動(dòng)點(diǎn),則PA1＋PC1的最小值是_________.

解析如圖22 所示,因?yàn)辄c(diǎn)P在定線段AB1上移動(dòng),所以PC1始終在平面AB1C1D上,故把平面AA1B1繞AB1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)鋪平到平面AB1C1D上,得到平面圖形AHB1C1D,記AB1∩HC1＝P0,當(dāng)P＝P0時(shí),(PA1＋PC1)min＝P0H＋P0C1＝HC1,這里的HC1是平面圖形AHB1C1D上的線段.

圖22

2.2 向量法

應(yīng)用向量加、減法、平行四邊形法則、三角形法則以及基本定理建立目標(biāo),經(jīng)向量運(yùn)算與數(shù)量積進(jìn)行推理,完成幾何證明與計(jì)算.

例9題目同例6.

圖23

2.3 坐標(biāo)法

傳統(tǒng)幾何法求空間角與距離都得作出相應(yīng)的幾何圖形,再基于圖形性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算,這對(duì)幾何作圖能力要求較高.基于現(xiàn)在的學(xué)情,學(xué)習(xí)坐標(biāo)法既是對(duì)幾何法的補(bǔ)充也是深化,形成代數(shù)幾何新思維.以坐標(biāo)法構(gòu)建幾何推理與探求幾何計(jì)算的基本路徑:基于圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn),合理建立空間直角坐標(biāo)系,把已知數(shù)據(jù)坐標(biāo)化,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而寫出或求出有關(guān)向量的坐標(biāo),經(jīng)向量運(yùn)算或數(shù)量積、投影計(jì)算,完成幾何推理與計(jì)算.學(xué)生通過解題應(yīng)該體驗(yàn)到適當(dāng)引入幾何推理可以簡(jiǎn)化代數(shù)計(jì)算.因此,要善于在坐標(biāo)計(jì)算過程中進(jìn)行幾何分析與推理,合理簡(jiǎn)化計(jì)算.

例10在三棱錐P-ABC中,∠APB＝∠APC＝60°,∠BPC＝90°,PA＝3,PB＝2,PC＝1,則該三棱錐P-ABC的外接球半徑為R＝________.

解析如圖24 所示,以P為原點(diǎn),射線PB為x軸正方向,射線PC為y軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系P-xyz.取線段BC的中點(diǎn)D,則D是Rt△PBC的外心,三棱錐P-ABC的外接球球心O在過點(diǎn)D與平面PBC垂直的直線上,記其外接球半徑為R.

圖24

3 實(shí)戰(zhàn)演練

1.(山東大學(xué))如圖25所示,在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,三角形ABC在三個(gè)平面的投影面積分別為3,4,5,則該三角形的面積為________.

圖25

2.(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué))如圖26 所示,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1,D,E分別在邊AB,AC上運(yùn)動(dòng),并且DE∥BC,將ADE沿DE折疊,得到四棱錐A-BCDE,求其體積V的最大值.

圖26

3.(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué))設(shè)空間區(qū)域W＝{(x,y,z)|x2＋y2＋z2≤1,z≥0}中存在四個(gè)點(diǎn)兩兩距離都是d,則dmax＝________.

4.(武漢大學(xué))空間圖形W＝{(x,y,z)|0≤x≤y≤z≤1}的體積為( ).

5.(上海交通大學(xué))用一個(gè)平面截一個(gè)單位正方體,若截面是與體對(duì)角線垂直的六邊形,則此六邊形的周長(zhǎng)為________.

6.(上海交通大學(xué))若四面體的各個(gè)頂點(diǎn)到平面α的距離都相等,則稱平面α為該四面體的中位面,則一個(gè)四面體的中位面的個(gè)數(shù)為_________.

7.一個(gè)正四面體與一個(gè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等,現(xiàn)把這兩個(gè)幾何體以一個(gè)側(cè)面對(duì)接起來,得到的多面體是________面體.

(完)