斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的廣義離散型刻畫

岳田

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院數(shù)理與光電工程學(xué)院，湖北十堰 442002）

Lyapunov函數(shù)、離散時(shí)間方法、Perron型方法、Datko-Pazy 定理等技術(shù)工具的運(yùn)用使微分系統(tǒng)定性理論研究得到了快速發(fā)展，尤其是指數(shù)穩(wěn)定性方面得到了學(xué)者們的極大關(guān)注，取得了豐富的成果［1-12］。值得一提的是，1972年Datko［1］指出具有一致指數(shù)有界的演化族U={U(t,s)}t≥s≥0呈現(xiàn)一致指數(shù)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)存在p≥1使得

相對(duì)于Datko結(jié)論選取演化族的第1個(gè)分量為積分變量，1967年Barbashin［2］針對(duì)演化族第2個(gè)分量給出了其一致指數(shù)穩(wěn)定的積分刻畫，即演化族一致指數(shù)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)

受上述關(guān)于演化族一致指數(shù)穩(wěn)定的2 個(gè)積分刻畫啟發(fā)，對(duì)于線性斜演化半流，Hai在文獻(xiàn)［5］中利用Banach函數(shù)空間及Banach序列空間分別給出了其一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)與離散特征，并在文獻(xiàn)［7］中給出了其一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)及離散型Bar?bashin定理。特別地，Hai在文獻(xiàn)［7］中給出了Dat?ko 與Barbashin 結(jié)論的統(tǒng)一離散刻畫：線性斜演化半流π=(Φ,σ)一致指數(shù)穩(wěn)定的充要條件為

式中：{pk}與{qn}均為非減正序列。

受文獻(xiàn)［7］啟發(fā)，文中給出更為廣義的離散型特征來(lái)刻畫線性斜演化半流的一致指數(shù)穩(wěn)定性，所得結(jié)論推廣了Datko、Barbashin、Hai等人的結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X為一Banach空間，(Θ,d)為一度量空間，將空間X上的范數(shù)及作用其上的有界線性算子全體?(X)上的范數(shù)記作‖ ?‖。記I為恒等算子，

χA為集合A的特征函數(shù)，Δα表示所有滿足性質(zhì)

的非減正序列{ }sn構(gòu)成的集合，[x]表示不超過x的最大整數(shù)。

定義1［5］若對(duì)任意t≥s≥t0≥0及θ∈Θ滿足：

則稱連續(xù)映射σ:T×Θ→Θ為Θ上的演化半流。

定義2［5］若σ為Θ上的演化半流，且對(duì)任意t≥s≥t0≥0及θ∈Θ映射Φ:T×Φ→?(X)滿足：

存在常數(shù)M≥1與ω> 0使得

稱π=(Φ,σ)為? =X×Θ上的線性斜演化半流。

定義3［5］若存在常數(shù)N,v> 0使得對(duì)任意

則稱線性斜演化半流π=(Φ,σ)一致指數(shù)穩(wěn)定。

定義4［6］集合? 表示滿足如下條件且定義在正序列上的函數(shù)F所構(gòu)成的全體：

1）當(dāng)s1≤s2時(shí)，

2）存在λ> 0，使得對(duì)任意n∈N和α> 0，

3）對(duì)任意α> 0，

引理1［6］設(shè)F∈?，L> 0。記

引理2［10］若存在常數(shù)l∈N+,n∈N及c∈(0,1)使得對(duì)任意不小于n的整數(shù)m及θ∈Θ，

則π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)論

式（20）中，若j?{0,…,n}，則

若j∈{0,…,n}，則

證明：1）必要性。若π=(Φ,σ)一致指數(shù)穩(wěn)定，由定義3 知，存在常數(shù)N,v> 0 使得式（11）成立。經(jīng)運(yùn)算知式（17）～（19）成立，下證式（20）。令

2）充分性。設(shè)m,n∈N，j∈{0,1,…,n}。由于

故借助定理1可得π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的。

3 研究展望

作為公開問題，后續(xù)將主要圍繞線性斜演化半流的多項(xiàng)式漸近行為開展研究工作，如多項(xiàng)式穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性與二分性的Datko 型刻畫以及Bar?bashin 型刻畫；另一方面，由于隨機(jī)斜演化半流在隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論研究中扮演著重要角色，因此后續(xù)將對(duì)隨機(jī)斜演化半流的多項(xiàng)式行為開展進(jìn)一步研究。