一類具有Markov切換和脈沖效應(yīng)的兩種群競爭模型的生存性分析

賀小杰，王清龍，劉志軍

(湖北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 恩施 445000)

基于經(jīng)典的Lotka-Volterra模型，Gopalsamy[1]提出了一類具有飽和效應(yīng)的兩種群競爭模型.隨后許多學(xué)者對(duì)該模型和以該模型為基礎(chǔ)延伸的新模型進(jìn)行廣泛的研究并取得了較好結(jié)果，主要涉及持久性、穩(wěn)定性、分支問題和概周期解等方面[2-6].特別是2020年胡靜和劉志軍[6]研究了如下一類具有耦合噪聲和飽和效應(yīng)的兩種群競爭模型：

(1)

在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中種群可能會(huì)受到一些較為劇烈的環(huán)境擾動(dòng)，例如洪水、寒流、干旱等.這些擾動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致種群的生存環(huán)境迅速由一個(gè)狀態(tài)切換為另一個(gè)狀態(tài)，從而改變種群的增長率[7-8].通常情況下，不同環(huán)境之間的切換是無記憶的，且在每個(gè)狀態(tài)停留的時(shí)間是服從指數(shù)分布的.因此，可以用一個(gè)具有有限狀態(tài)空間={1,2,…,N}的右連續(xù)Markov鏈α(t)來描述這一類生態(tài)系統(tǒng)中的隨機(jī)因素[9-11].此外，種群的增長可能會(huì)在某些固定的時(shí)刻受到相對(duì)較短時(shí)間間隔的作用，如投放、捕獲等，這會(huì)使得種群數(shù)量在短期內(nèi)發(fā)生跳躍性的變化，在數(shù)學(xué)上通常把這種變化以“脈沖”形式進(jìn)行體現(xiàn)[12-13].近年來一些學(xué)者研究了具有白噪聲擾動(dòng)和脈沖效應(yīng)的種群模型[14-18]，然而研究具有Markov切換和脈沖效應(yīng)的多種群模型較少.受上述思想的啟發(fā)，本文擬在模型(1)的基礎(chǔ)上考慮如下一類具有Markov切換和脈沖效應(yīng)的兩種群競爭模型:

(2)

1 準(zhǔn)備知識(shí)

令α(t)的生成元Λ=(γij)N×N由下式確定：

為方便后面的討論，給出如下符號(hào)標(biāo)記：

+=(0,+∞)，

在全文中假設(shè)下面(A1)和(A2)始終成立：

證明考慮如下一個(gè)具有Markov切換無脈沖的隨機(jī)微分模型：

(3)

同理可得

β21(α(t))y2(t)dW1(t)+β22(α(t))y2(t)dW2(t).

在每個(gè)間斷點(diǎn)τk∈+，k∈處，右極限滿足

左極限滿足

2 滅絕性與持久性

β11(α(t))dW1(t)+β12(α(t))dW2(t)，

對(duì)上式兩端由0到t積分有

(4)

根據(jù)鞅的強(qiáng)大數(shù)定律[9]可以得到

(5)

對(duì)式(4)兩邊同時(shí)除以t有

根據(jù)α(t)的遍歷性和式(5)可以得到

當(dāng)(δ2)*<0時(shí)，類似上面的討論可以證明種群y2滅絕.證畢.

因此對(duì)所有t>T，將上述不等式代入式(4)可以得到

(6)

因此,

對(duì)上式使用洛必達(dá)法則得到

由于ε>0是任意小的，因此當(dāng)(δ1)*>0時(shí)可以得到種群y1是強(qiáng)平均持久生存.

證明定理3與定理2的證明類似，故省略.

證明對(duì)于任意小的ε>0，存在T>0,使得當(dāng)t>T時(shí)有

將上述不等式代入式(4)獲得

其中η1=(δ1)*+ε/2.經(jīng)過類似式(6)的計(jì)算可以得到

因此有

進(jìn)一步通過使用洛必達(dá)法則可得

由于ε是任意小的.因此當(dāng)(δ1)*=0時(shí)可以斷定種群y1會(huì)非平均持久生存.

3 數(shù)值模擬和討論

通過數(shù)值模擬來支持理論分析結(jié)果.對(duì)于模型(2)取τk=k，k∈，λik=e(-1)k+1/k-1，那么此時(shí)脈沖條件λik滿足假設(shè)(A2)，即脈沖有界.當(dāng)脈沖有界時(shí)通過定理1～4可知由此可以發(fā)現(xiàn)有界脈沖對(duì)種群滅絕和持久沒有影響.

(i) 對(duì)于種群y1，當(dāng)2種狀態(tài)下其他參數(shù)不改變時(shí)，取π11=0.55，通過計(jì)算可以得到(δ1)*=-0.01<0，根據(jù)定理1可知此時(shí)種群y1滅絕(見圖1(a)).對(duì)于種群y2，當(dāng)2種狀態(tài)下其他參數(shù)不改變時(shí)，取π21=0.4，通過計(jì)算可以得到(δ2)*=-0.002 5<0，根據(jù)定理1可知此時(shí)種群y2滅絕(見圖1(b)).

(a) 當(dāng)π11=0.55時(shí)種群y1滅絕(b) 當(dāng)π21=0.4時(shí)種群y2滅絕圖1 兩種群滅絕Fig.1 Extinction of the two species

(ii) 對(duì)于種群y1，當(dāng)2種狀態(tài)下其他參數(shù)不改變時(shí)，取π11=0.65，通過計(jì)算可以得到(δ1)*=0，根據(jù)定理4可知此時(shí)種群y1非平均持久(見圖2(a)).對(duì)于種群y2，當(dāng)2種狀態(tài)下其他參數(shù)不改變時(shí)，取π21=0.425，通過計(jì)算可以得到(δ2)*=0，根據(jù)定理4可知此時(shí)種群y2非平均持久(見圖2(b)).

(iii) 對(duì)于種群y1，當(dāng)2種狀態(tài)下其他參數(shù)不改變時(shí)，取π11=0.8，通過計(jì)算可以得到(δ1)*=0.015>0，根據(jù)定理2可知此時(shí)種群y1強(qiáng)平均持久(見圖3(a)).對(duì)于種群y2，當(dāng)2種狀態(tài)下其他參數(shù)不改變時(shí)，取π21=0.4，通過計(jì)算可以得到(δ2)*=-0.002 5<0，根據(jù)定理2可知此時(shí)種群y2滅絕(見圖3(b)).

(a) 當(dāng)π11=0.65時(shí)種群y1非平均持久 (b) 當(dāng)π21=0.425時(shí)種群y2非平均持久圖2 兩種群非平均持久Fig.2 Non-mean persistence of the two species

(a) 當(dāng)π11=0.8時(shí)種群y1強(qiáng)平均持久(b) 當(dāng)π21=0.4時(shí)種群y2滅絕圖3 兩種群部分持久Fig.3 Partial persistence of the two species

根據(jù)上述討論結(jié)果(i)～(iii)可以發(fā)現(xiàn)，隨著π的變化種群的滅絕和持久狀態(tài)也會(huì)發(fā)生變化，即模型(2)中種群y1和y2的滅絕和持久與Markov鏈α(t)的分布π有著密切的關(guān)系.

4 結(jié)語