橫流駐波增長(zhǎng)因子模式在跨聲速邊界層的應(yīng)用

王玉軒，徐家寬，*，張 揚(yáng)，喬 磊，白俊強(qiáng)，3

(1.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安 710072；2.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049；3.西北工業(yè)大學(xué)無人系統(tǒng)技術(shù)研究院，西安 710072)

0 引言

以減阻、減排為核心的“綠色航空，清潔藍(lán)天”計(jì)劃的提出使得層流設(shè)計(jì)和層流控制技術(shù)成為全球的研究熱點(diǎn)。要進(jìn)行層流設(shè)計(jì)和控制技術(shù)研究，轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)技術(shù)是首當(dāng)其沖需要解決的難題[1]。

經(jīng)過近半個(gè)世紀(jì)的研究和諸多知名研究機(jī)構(gòu)關(guān)于亞跨聲速邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的研究和實(shí)踐，基于線性穩(wěn)定性理論（linear stability theory,LST）的eN方法表現(xiàn)突出。eN方法是一種半經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法，一般通過線性穩(wěn)定性理論求解得到不穩(wěn)定波的增長(zhǎng)因子N在空間的分布，人為給出轉(zhuǎn)捩臨界N值，從而獲得轉(zhuǎn)捩位置。Klebanoff等[2]的研究表明小擾動(dòng)環(huán)境下，邊界層內(nèi)擾動(dòng)的T-S波線性演化區(qū)域幾乎占據(jù)轉(zhuǎn)捩前整個(gè)層流區(qū)域的80%左右，盡管橫流波到非線性階段飽和區(qū)域較長(zhǎng)，但是其線性發(fā)展區(qū)域仍然占大部分區(qū)域，這是使用線性穩(wěn)定性理論預(yù)測(cè)T-S波轉(zhuǎn)捩和橫流轉(zhuǎn)捩能夠成功的根基。二維邊界層的eN方法于20世紀(jì)50年代被Smith[3]和Van Ingen[4]提出，在航空航天領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。該方法后來被Mack[5]和Cebeci[6]等進(jìn)一步拓展至三維邊界層，使得基于LST的eN方法在理論分析層面趨于完善。為了使得eN方法能夠計(jì)算部分工程問題，國(guó)內(nèi)外的眾多知名科研機(jī)構(gòu)都發(fā)展了基于傳統(tǒng)線性穩(wěn)定性理論的eN分析程序[7-10]，與CFD求解器和邊界層方程等外部求解器耦合迭代從而實(shí)現(xiàn)線性穩(wěn)定性分析。法國(guó)宇航研究中心（ONERA）[11]和德國(guó)宇航研究中心（DLR）的科研人員[12]基于多年的穩(wěn)定性分析數(shù)據(jù)構(gòu)造了基于線性穩(wěn)定性理論的eN數(shù)據(jù)庫(kù)，將該數(shù)據(jù)庫(kù)與CFD求解器和邊界層方程等外部求解器一起耦合求解，從而獲得所需要的擾動(dòng)增長(zhǎng)因子N。

傳統(tǒng)的基于線性穩(wěn)定性理論的標(biāo)準(zhǔn)eN方法包括以下六個(gè)步驟：第一，求解精確的層流基本流；第二，對(duì)層流基本流進(jìn)行速度分解和坐標(biāo)變換以及法向一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；第三，猜測(cè)不穩(wěn)定波可能出現(xiàn)的區(qū)域和參數(shù)區(qū)間，通過求解擾動(dòng)波的特征值篩選不穩(wěn)定波；第四，沿流線方向積分特征值獲得不同擾動(dòng)的增長(zhǎng)因子（N factor）；第五，給定臨界N值判定轉(zhuǎn)捩位置；第六，通過固定轉(zhuǎn)捩的方式給出層流區(qū)和湍流區(qū)的分布，從而計(jì)算氣動(dòng)力。

經(jīng)過國(guó)內(nèi)外知名科研機(jī)構(gòu)的驗(yàn)證，基于線性穩(wěn)定性理論的eN方法可以對(duì)工程中出現(xiàn)的常規(guī)氣動(dòng)外形表面的Tollmien-Schlichting（T-S）波轉(zhuǎn)捩、層流分離泡轉(zhuǎn)捩和橫流不穩(wěn)定性轉(zhuǎn)捩進(jìn)行預(yù)測(cè)，滿足工程需求。這種RANS求解器與eN求解模塊的迭代耦合策略在一定程度上將傳統(tǒng)的線性穩(wěn)定性理論分析推廣到了比平板、翼型更為復(fù)雜的常規(guī)氣動(dòng)外形，在機(jī)翼、翼身組合體、升力體等構(gòu)型的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)中得到了廣泛應(yīng)用[13-14]，可以解決大部分工程問題，理論上該方法適用于任意復(fù)雜外形的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)。但是，該方法實(shí)現(xiàn)難度較高，前后處理較為復(fù)雜。存在以下問題：第一是分析過程比較復(fù)雜，即使是數(shù)據(jù)庫(kù)方法，也需要獨(dú)立的轉(zhuǎn)捩分析模塊去單獨(dú)處理線性穩(wěn)定性理論的求解，然后與RANS求解器進(jìn)行耦合迭代。該方法各模塊的代碼之間耦合性較差、復(fù)雜度高，且在并行化計(jì)算方面較難實(shí)現(xiàn)。對(duì)于稍微復(fù)雜的基本流求解和速度分解等都很難保證求解精度，依然需要進(jìn)行積分和搜索等非當(dāng)?shù)夭僮?，不符合RANS模式僅依賴當(dāng)?shù)刈兞康陌l(fā)展需求。第二是只能給出局部規(guī)則區(qū)域的層流-湍流分布，難以給出復(fù)雜氣動(dòng)外形的全機(jī)層流-湍流氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，這對(duì)層流優(yōu)化設(shè)計(jì)而言是非常難以接受的。第三個(gè)是對(duì)于擾動(dòng)源的考慮不足，對(duì)于壁面粗糙度的影響，需要通過改變橫流駐波轉(zhuǎn)捩臨界N值的方法加以考慮。Crouch等[15]發(fā)展的臨界N值判定準(zhǔn)則尚不具備普適性，僅由一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)標(biāo)定而來。

隨著近年來基于RANS方程的當(dāng)?shù)鼗D(zhuǎn)捩模式的快速發(fā)展[16-28]，結(jié)合兩者的優(yōu)點(diǎn)，讓線性穩(wěn)定性理論模式化的思路逐漸涌現(xiàn)。1982年，Drela和Giles[29]對(duì)不同壓力梯度下的層流相似性解進(jìn)行了大量的線性穩(wěn)定性分析，從而獲得了T-S波的擾動(dòng)增長(zhǎng)因子N與形狀因子和動(dòng)量厚度雷諾數(shù)的直接函數(shù)映射關(guān)系。這是研究人員首次對(duì)線性穩(wěn)定性理論進(jìn)行簡(jiǎn)化，使得eN方法可以非常便捷地應(yīng)用到翼型繞流的轉(zhuǎn)捩判定當(dāng)中。2013年開始，Coder和Maughmer[30]基于Drela等[29]的研究成果，首次提出了流向擾動(dòng)增長(zhǎng)因子NTS的輸運(yùn)模式。該模式的構(gòu)造思想為：對(duì)不同壓力梯度下的邊界層相似速度型進(jìn)行大量的變參數(shù)穩(wěn)定性分析，從而提煉出N值包絡(luò)線與當(dāng)?shù)匦螤钜蜃雍蛣?dòng)量厚度雷諾數(shù)以及邊界層特征尺度之間的函數(shù)映射關(guān)系；然后對(duì)關(guān)系式中出現(xiàn)的非當(dāng)?shù)刈兞恐鹨贿M(jìn)行合理的當(dāng)?shù)鼗岢鲂碌牧鲌?chǎng)識(shí)別因子，構(gòu)造新的計(jì)算函數(shù)，最后與湍流模式耦合形成轉(zhuǎn)捩-湍流預(yù)測(cè)模式。模式構(gòu)造完成后應(yīng)用非常簡(jiǎn)單便捷，與CFD求解器求解基本流一起計(jì)算，一次性求解即可獲得整個(gè)氣動(dòng)構(gòu)型的層流-湍流分布和整體的氣動(dòng)力等數(shù)據(jù)。隨后，Coder不斷對(duì)該模式進(jìn)行改進(jìn)，尤其是提出了滿足伽利略不變性的形狀因子參數(shù)[31]，使得該模式在非慣性坐標(biāo)系下也不再有缺陷，整體預(yù)測(cè)性能趨于完善。但是該模式只能預(yù)測(cè)流向的T-S波轉(zhuǎn)捩和層流分離泡轉(zhuǎn)捩，無法對(duì)橫流轉(zhuǎn)捩進(jìn)行預(yù)測(cè)。而航空航天飛行器表面，橫流轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象非常突出。Coder等[32]在2020年對(duì)該方法進(jìn)行了發(fā)展，將橫流判據(jù)加入其中，使得該方法能夠用于橫流轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)。但是，其對(duì)于橫流的預(yù)測(cè)，采用的是Langtry等[18]通過風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，沒有對(duì)橫流不穩(wěn)定波的發(fā)展進(jìn)行獨(dú)立的、物理的建模。低湍流度環(huán)境被認(rèn)為與高空實(shí)際飛行環(huán)境相似，在此環(huán)境下，盡管非定常橫流渦的增長(zhǎng)率更大，但是三維橫流邊界層流動(dòng)主要由定常橫流渦主導(dǎo)轉(zhuǎn)捩[33]。因此，對(duì)于小擾動(dòng)飛行環(huán)境，后掠翼表面橫流定常波的分析和建模是關(guān)注的重點(diǎn)。為了完善這一功能，Xu等[34-35]提出了橫流定常波擾動(dòng)增長(zhǎng)因子NCF輸運(yùn)模式，以橫流強(qiáng)度因子和螺旋度雷諾數(shù)為根基發(fā)展了完全基于當(dāng)?shù)刈兞康腘CF輸運(yùn)模式，經(jīng)過廣泛的低速算例驗(yàn)證，證實(shí)了其合理性。隨后，該模式又進(jìn)一步被添加了壁面溫度效應(yīng)修正[36]，使其可以對(duì)跨聲速的部分變壁面溫度算例進(jìn)行預(yù)測(cè)。

本文將重點(diǎn)展示當(dāng)?shù)鼗腘CF輸運(yùn)模式在跨聲速后掠翼流動(dòng)中的公式細(xì)節(jié)和應(yīng)用實(shí)例，驗(yàn)證其在跨聲速邊界層中對(duì)橫流駐波擾動(dòng)增長(zhǎng)因子的預(yù)測(cè)能力，證實(shí)其合理性和可行性，進(jìn)一步促進(jìn)該方法的推廣應(yīng)用。對(duì)于eN方法與轉(zhuǎn)捩經(jīng)驗(yàn)關(guān)系模式的預(yù)測(cè)結(jié)果比較，可以參考文獻(xiàn)[37，38]。

1 輸運(yùn)方程的數(shù)學(xué)描述

在包絡(luò)近似方法中，唯一需要追蹤的變量就是沿流動(dòng)方向發(fā)展的包絡(luò)增長(zhǎng)因子N。Drela等[29]的簡(jiǎn)化模式的線性穩(wěn)定性理論可使用增長(zhǎng)因子標(biāo)量輸運(yùn)方程來實(shí)現(xiàn)流場(chǎng)中增長(zhǎng)因子N的求解。Coder等[30]首先通過無量綱化的當(dāng)?shù)貕毫μ荻葏?shù) HL=實(shí)現(xiàn)非當(dāng)?shù)匦螤钜蜃親12的當(dāng)?shù)鼗?jì)算，從而實(shí)現(xiàn)了整個(gè)輸運(yùn)方程內(nèi)核公式的當(dāng)?shù)鼗蠼狻＿@里S是剪切應(yīng)變率的模，d為流場(chǎng)中任意一點(diǎn)到壁面的最小距離，Ue是邊界層邊緣速度。Coder等[30]構(gòu)造的Tollmien-Schlichting （T-S）不穩(wěn)定波增長(zhǎng)因子輸運(yùn)模式的形式為：

其中，擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)σn,TS=1.0， Pn,TS是源項(xiàng)，μ是分子運(yùn)動(dòng)黏度系數(shù)，μt是湍流渦流黏度系數(shù)。源項(xiàng)是基于Drela的LST分析結(jié)果進(jìn)行建模，所用到的失穩(wěn)雷諾數(shù)和N因子增長(zhǎng)斜率函數(shù)等均是流向形狀因子H12的函數(shù)，具體公式信息可以參考文獻(xiàn)[30]。

上述模式只能對(duì)流向轉(zhuǎn)捩（T-S波和層流分離泡轉(zhuǎn)捩）進(jìn)行預(yù)測(cè)，無法預(yù)測(cè)橫流轉(zhuǎn)捩。本文作者基于對(duì)三維層流邊界層相似性解進(jìn)行的大量的線性穩(wěn)定性分析結(jié)果，提出了橫流駐波的擾動(dòng)增長(zhǎng)因子輸運(yùn)模式：

其中，擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)σn,CF等于1.0，源項(xiàng)Pn,CF由以下幾個(gè)部分組成：

式中，ρ是密度， Fonset是開關(guān)函數(shù)， NCF_growth是增長(zhǎng)因子的發(fā)展函數(shù)和TCF是可壓縮修正項(xiàng)目。所有函數(shù)的構(gòu)造都源于對(duì)不同壓力梯度和后掠角（0°～90°）下的Falkner-Skan-Cooke三維層流邊界層相似性解進(jìn)行的線性穩(wěn)定性分析結(jié)果。

第一，開關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為：

根據(jù)穩(wěn)定性理論分析結(jié)果，起始失穩(wěn)橫流雷諾數(shù)RCF0是 橫流形狀因子 Hshape=的函數(shù)，計(jì)算公式為：

這里，Tw是壁溫，Te是邊界層邊緣的溫度。在 Hshape的定義中，dmax是 最大橫流速度的高度，δCF（等于到橫流速度分量變?yōu)槠渥畲笾档?0%時(shí)與壁面的距離，靠近邊界層邊緣一側(cè)的值）是橫流特征厚度。橫流雷諾數(shù)RCF定義為RCF=|wmax|，|wmax|是最大橫流速度的絕對(duì)值，υe是邊界層邊緣的運(yùn)動(dòng)黏度。

關(guān)于橫流雷諾數(shù)RCF的當(dāng)?shù)鼗覀兲岢隽艘粋€(gè)新的當(dāng)?shù)刂甘疽蜃釉撝甘疽蜃拥亩x不同于Grabe等[17]發(fā)展的螺旋度雷諾數(shù)然后， RCF可以通過公式（6）進(jìn)行計(jì)算：

其中βH為Hartree壓力梯度因子。

第二，增長(zhǎng)因子的發(fā)展函數(shù)的計(jì)算公式是：

第三，可壓縮修正項(xiàng)TCF等于其中壁面溫度可以通過以下公式進(jìn)行估算：

其中，r是溫度恢復(fù)因子，Mae是邊界層邊緣馬赫數(shù)、層流邊界層中，r一般等于對(duì)于理想氣體，且沒有額外熱源的情況下，邊界層邊緣速度Ue可以通過總焓不變關(guān)系式獲得：

其中，γH是比熱比，p是壓強(qiáng)。邊界層邊緣的聲速ae也可以使用類似的方法來計(jì)算。此外，ρe可以由等熵關(guān)系式ρe=給出。然后，Mae=。對(duì)于亞聲速流和跨聲速流，此估計(jì)方法對(duì)邊界層邊緣速度和馬赫數(shù)的估算效果很好。

至此，模式中只有Hartree壓力梯度因子βH尚未求解，該參數(shù)與Thwaites壓力梯度因子λθ=有明確的函數(shù)關(guān)系βH=求解Thwaites壓力梯度因子即可獲得βH。Thwaites壓力梯度因子λθ具體的求解方法見文獻(xiàn)[17，36]。

有效間歇因子的觸發(fā)函數(shù)表達(dá)式為：

其中，γ是間歇因子，γeff是有效間歇性因子，用于觸發(fā)湍流模式中的轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象。轉(zhuǎn)捩模式與Menter的SST湍流模式之間的耦合方式如下：

注意， γeff是通過控制湍流模式的產(chǎn)生源項(xiàng)Pk,original實(shí)現(xiàn)在邊界層內(nèi)部對(duì)層流和湍流的切換。到這里，橫流駐波增長(zhǎng)因子的輸運(yùn)方程已經(jīng)構(gòu)造完畢，所有變量均實(shí)現(xiàn)了當(dāng)?shù)鼗蠼?。下面將通過兩個(gè)經(jīng)典算例驗(yàn)證和分析該模式的預(yù)測(cè)能力。

2 驗(yàn)證和分析

本文所構(gòu)建的橫流駐波增長(zhǎng)因子輸運(yùn)模式基于CFL3D程序進(jìn)行開發(fā)，且已經(jīng)在文獻(xiàn)[35，36]中進(jìn)行了多次網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證，并且對(duì)NLF(2)-0415無限展長(zhǎng)后掠翼、鐮刀形后掠翼和橢球大迎角工況等經(jīng)典算例進(jìn)行了計(jì)算。結(jié)果均表明本文所構(gòu)建的模式在不可壓縮邊界層廣泛的算例驗(yàn)證中均取得了較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。下面將對(duì)兩個(gè)跨聲速大后掠翼流動(dòng)進(jìn)行驗(yàn)證和分析。

2.1 DLR-F4翼身組合體

DLR-F4翼身組合體在歐洲跨聲速風(fēng)洞（ETW）中通過溫度敏感涂層（TSP）技術(shù)進(jìn)行了轉(zhuǎn)捩測(cè)量試驗(yàn)，該構(gòu)型通常被用于檢驗(yàn)跨聲速后掠翼表面的T-S波轉(zhuǎn)捩、激波誘導(dǎo)附面層分離致轉(zhuǎn)捩和橫流轉(zhuǎn)捩[39]。機(jī)翼前緣后掠角27.1°，試驗(yàn)數(shù)據(jù)和穩(wěn)定性分析結(jié)果表明，橫流主導(dǎo)了內(nèi)側(cè)機(jī)翼的轉(zhuǎn)捩，而T-S波失穩(wěn)或激波誘導(dǎo)附面層分離出現(xiàn)在中部和外側(cè)機(jī)翼表面。該試驗(yàn)來流馬赫數(shù)為0.785，基于平均氣動(dòng)弦長(zhǎng)的雷諾數(shù)為6.0×106，自由來流湍流度小于0.05%，因此可將其視為低擾動(dòng)環(huán)境。宋文萍等[10]在DLR-F4機(jī)翼上進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)的LST分析，證實(shí)了橫流失穩(wěn)主導(dǎo)機(jī)翼內(nèi)側(cè)區(qū)域的轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象。此外，與測(cè)量所得的轉(zhuǎn)捩位置相比，文獻(xiàn)[10]指出NTS和NCF的臨界值可以分別設(shè)置為10.5和7.5。圖1對(duì)比了不同網(wǎng)格尺度下的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果。由圖可知，隨著網(wǎng)格的加密，轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)位置逐漸趨于收斂。最終選擇Fine網(wǎng)格進(jìn)行所有工況的計(jì)算，描述邊界層的O網(wǎng)格內(nèi)部壁面法向網(wǎng)格單元的數(shù)量為401，近壁第一層網(wǎng)格尺度為1×10-6m，與壁面相鄰單元的y+（1）的平均值等于0.95。橫流駐波擾動(dòng)增長(zhǎng)因子輸運(yùn)模式能夠很好地預(yù)測(cè)出機(jī)翼內(nèi)側(cè)的橫流轉(zhuǎn)捩。與Coder等發(fā)展的NTS模式相結(jié)合組成的NTS-NCF模式可以很好地捕捉到橫流不穩(wěn)定性、T-S波轉(zhuǎn)捩和激波誘導(dǎo)附面層分離致轉(zhuǎn)捩。

圖1 不同網(wǎng)格尺度下DLR-F4翼身組合體上表面轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.1 Transition prediction results for the upper surface of DLR-F4 wing-body configuration resolved with different grid scales

圖2 DLR-F4翼身組合體上表面轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig.2 Comparison of the transition results for the upper surface of DLR-F4 wing-body configuration between the prediction and the experiment

圖2 展示了在迎角α = -0.87°（CL= 0.5）、α = -1.58°（CL=0.4）和α=-2.59°（CL=0.3）時(shí)，DLR-F4機(jī)翼上表面的摩擦阻力系數(shù)云圖與試驗(yàn)測(cè)得的TSP結(jié)果?？梢郧逦匕l(fā)現(xiàn)，與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果相比，本文發(fā)展的

進(jìn)一步截取α=-0.87°（CL=0.5）工況的上表面的NTS和NCF云圖，如圖3所示。由圖可知，在內(nèi)翼段（y =0.1 m）處，橫流駐波主導(dǎo)失穩(wěn)。向翼梢移動(dòng)，在kink位 置（y =0.24 m）和 接 近 翼 梢 的 位 置（y =0.5 m），則分別是T-S波和激波誘導(dǎo)附面層分離主導(dǎo)失穩(wěn)。產(chǎn)生這種不同轉(zhuǎn)捩機(jī)制的原因主要是內(nèi)翼段上表面為順壓梯度，kink處有雙層逆壓梯度，外翼段則為強(qiáng)逆壓梯度，直接導(dǎo)致附面層分離，進(jìn)而觸發(fā)轉(zhuǎn)捩。這些結(jié)論與參考文獻(xiàn)[10]的標(biāo)準(zhǔn)LST分析結(jié)果一致。

2.2 ARA翼身組合體

層流模型（LFM）翼身組合體是由英國(guó)飛機(jī)研究協(xié)會(huì)（ARA）和西北工業(yè)大學(xué)（NPU）聯(lián)合設(shè)計(jì)的。它是一架無尾飛機(jī)，用于研究跨聲速大后掠機(jī)翼（35°）表面的自然層流（NLF）和混合層流控制（HLFC）[40-41]。該翼身組合體于2017年4月在ARA風(fēng)洞中進(jìn)行了試驗(yàn)。風(fēng)洞中的機(jī)身和機(jī)翼幾何尺寸如圖4（a）所示；進(jìn)行CFD數(shù)值模擬的Fine網(wǎng)格分布與DLR-F4構(gòu)型類似，如圖4（b）所示。

來流馬赫數(shù)為0.7，參考弦長(zhǎng)為0.562 m，參考面積為0.857 7 m2，來流湍流度0.2%，單位米雷諾數(shù)為1.2357×107m-1，風(fēng) 洞 試 驗(yàn) 迎 角 為-0.99°、-2.16°和-3.34°。傳統(tǒng)的LST分析結(jié)果表明NCF,crit值為7.0[40-41]。

圖3 DLR-F4翼身組合體上表面N TS與N CF分布云圖對(duì)比Fig.3 Comparison of the contours for N TS and N CF on theupper surface of DLR-F4 wing-body configuration

圖4 ARA翼身組合體的風(fēng)洞試驗(yàn)構(gòu)型尺寸和CFD網(wǎng)格圖Fig.4 Wind tunnel model and CFDgrid of ARA wing-body configuration

經(jīng)過本文NCF模式的計(jì)算，在不同迎角下，機(jī)翼展向y = 1.05 m位置的壓力分布與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，如圖5所示。圖6對(duì)比了本文NCF模式預(yù)測(cè)所得的橫流駐波NCF因子與傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)LST分析結(jié)果，驗(yàn)證了本文模式總是能夠捕捉到最不穩(wěn)定的最大N值。圖7則展示了在-3.34°迎角下，Coder的NTS模式與本文NCF模式的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比，可見Coder的NTS模式對(duì)于橫流轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)是失效的，本文NCF模式則能夠較為準(zhǔn)確地對(duì)橫流轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測(cè)。

圖5本文模式預(yù)測(cè)所得不同迎角下機(jī)翼表面（y = 1.05 m）壓力系數(shù)分布與ARA風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig.5 Pressure coefficient distributionson the upper surface of the wing (y = 1.05 m)compared between themodel prediction and the wind tunnel experiment for different anglesof attack

圖8 展示了不同迎角下NCF模式預(yù)測(cè)結(jié)果與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，兩者吻合良好。風(fēng)洞試驗(yàn)顯示機(jī)翼上表面出現(xiàn)的鋸齒狀轉(zhuǎn)捩區(qū)也驗(yàn)證了橫流駐波主導(dǎo)失穩(wěn)這一事實(shí)。由圖5可知，不同迎角下機(jī)翼上表面的順壓梯度強(qiáng)弱不同，迎角-3.34°下的順壓梯度最強(qiáng)，因而橫流渦的發(fā)展更為迅速，轉(zhuǎn)捩位置最靠前。DLR-F4機(jī)翼前緣后掠角為27.1°，ARA機(jī)翼前緣后掠角為35°，鐮刀翼前緣后掠角從0°變化到55°，橢球表面的當(dāng)?shù)睾舐咏欠秶?，變化更為劇烈。?dāng)?shù)睾舐咏呛晚槈禾荻冗@兩個(gè)對(duì)橫流轉(zhuǎn)捩非常敏感的影響因素均被本文NCF模式精準(zhǔn)捕捉得到，驗(yàn)證了其合理性和準(zhǔn)確性。

圖7 Coder的N TS模式與本文N CF模式預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比（α = -3.34°）Fig.7 Comparison of the prediction results between Coder’s N TS model and the present N CF model (α = -3.34°)

圖8 不同迎角工況下本文N CF模式預(yù)測(cè)所得機(jī)翼上表面摩擦力系數(shù)云圖與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of the skin-friction coefficient contours on the upper surface of the wing between the present N CF model prediction and the wind tunnel experiment for different anglesof attack

3 結(jié)論

基于MIT的Drela團(tuán)隊(duì)簡(jiǎn)化線性穩(wěn)定性理論的思想，Coder等基于當(dāng)?shù)鼗兞渴状螛?gòu)造了流向Tollmien-Schlichting（T-S）波的擾動(dòng)增長(zhǎng)因子輸運(yùn)模式。本文作者在2019年[35]首次提出了橫流駐波的擾動(dòng)增長(zhǎng)因子輸運(yùn)模式，并對(duì)其進(jìn)行了可壓縮修正[36]，使其可以適應(yīng)亞聲速和跨聲速?gòu)?fù)雜氣動(dòng)外形的邊界層流動(dòng)。主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)有以下幾個(gè)方面：

1）揭示了橫流駐波的最大包絡(luò)N值與基本流中邊界層特征厚度、橫流形狀因子、橫流最大速度分量、橫流雷諾數(shù)、壁面溫度、邊界層邊緣馬赫數(shù)的函數(shù)映射關(guān)系，并對(duì)方程源項(xiàng)的構(gòu)造進(jìn)行了可壓縮修正和改進(jìn)；

2）使用橫流強(qiáng)度因子實(shí)現(xiàn)了對(duì)橫流最大速度分量的當(dāng)?shù)鼗蠼?，并?duì)計(jì)算公式進(jìn)行了改進(jìn)；

3）使用螺旋度雷諾數(shù)實(shí)現(xiàn)了對(duì)橫流雷諾數(shù)的當(dāng)?shù)鼗蠼?，并?duì)計(jì)算公式進(jìn)行了改進(jìn)；最終形成了基于當(dāng)?shù)刈兞康倪m用于亞跨聲速邊界層的橫流駐波擾動(dòng)增長(zhǎng)因子輸運(yùn)模式。

本文選取了純粹針對(duì)跨聲速邊界層橫流轉(zhuǎn)捩的風(fēng)洞試驗(yàn)標(biāo)模。不同迎角導(dǎo)致順壓梯度強(qiáng)度不同，進(jìn)而使得橫流強(qiáng)度不同，這些都能被當(dāng)前模式精確捕捉，充分驗(yàn)證了其在跨聲速工況下的合理性和準(zhǔn)確性。未來將繼續(xù)致力于讓流動(dòng)穩(wěn)定性分析變成一個(gè)CFD問題，能夠真正將傳統(tǒng)的穩(wěn)定性理論推廣到工程復(fù)雜外形繞流的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)?；诰€性穩(wěn)定性理論對(duì)超聲速邊界層的Oblique T-S波、橫流波和Mack模態(tài)擾動(dòng)的增長(zhǎng)因子進(jìn)行模式化構(gòu)造并且探索較為普適的臨界N值判據(jù)將是下一步的研究方向。

致謝：感謝史亞云博士和楊體浩博士提供ARA風(fēng)洞試驗(yàn)構(gòu)型和數(shù)據(jù)。