壓縮感知理論在IR-UWB系統(tǒng)信道估計(jì)中的應(yīng)用

董 璇，單 巍，姜恩華

（淮北師范大學(xué)，安徽 淮北 235000）

0 引言

2006年，壓縮感知理論被提出，該理論主要包括稀疏信號(hào)的壓縮采樣和重構(gòu)［1，2］。通過觀測(cè)矩陣Φ?對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，得到觀測(cè)信號(hào)y。已知觀測(cè)矩陣Φ?和觀測(cè)信號(hào)y，通過重構(gòu)算法，重構(gòu)出稀疏信號(hào)。壓縮感知理論包含三個(gè)關(guān)鍵部分：信號(hào)稀疏的表示、觀測(cè)矩陣的構(gòu)造和重構(gòu)算法。UWB超寬帶無線通信系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)短距離數(shù)據(jù)無線傳輸［3］，由于無線信道是衰落的信道，其信道參數(shù)不斷變化，如何準(zhǔn)確地估計(jì)出UWB系統(tǒng)的無線信道參數(shù)，是UWB系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)無線傳輸?shù)年P(guān)鍵問題。由于無線信道參數(shù)滿足稀疏性，可以采用壓縮感知理論重構(gòu)出UWB系統(tǒng)的無線信道參數(shù)。

1 壓縮感知理論

根據(jù)壓縮采樣過程中有無噪聲，壓縮感知理論可以分為無噪聲的壓縮感知理論和有噪聲的壓縮感知理論。

1.1 信號(hào)的稀疏表示

壓縮感知理論是對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，若輸入信號(hào)X不是稀疏信號(hào)，需要對(duì)輸入信號(hào)X進(jìn)行稀疏變換，如式（1）所示，Ψ為變換矩陣，θ為稀疏信號(hào)。

1.2 無噪聲的壓縮感知理論

采用觀測(cè)矩陣Φ?對(duì)輸入信號(hào)X進(jìn)行觀測(cè)，得到觀測(cè)信號(hào)y，如式（2）所示。若傳感矩陣A滿足約束等距性RIP，則可以通過式（3）重構(gòu)出稀疏信號(hào)θ［1，2］。

1.3 有噪聲的壓縮感知理論

當(dāng)采用觀測(cè)矩陣Φ?對(duì)輸入信號(hào)X進(jìn)行觀測(cè)，在觀測(cè)過程中有噪聲，如式（4）所示，其中w為噪聲。若傳感矩陣A滿足約束等距性RIP，可通過式（5）重構(gòu)出稀疏信號(hào)θ。

1.4 重構(gòu)算法

重構(gòu)算法能夠根據(jù)觀測(cè)信號(hào)y和傳感矩陣A重構(gòu)出稀疏信號(hào)θ。重構(gòu)算法主要分為貪婪算法和凸優(yōu)化算法。貪婪算法主要有OMP算法、GOMP算法、ROMP算法和CoSaMP算法等。凸優(yōu)化算法主要有BP算法和梯度投影方法等。

2 UWB超寬帶無線通信系統(tǒng)信道估計(jì)

UWB超寬帶無線通信系統(tǒng)主要分為IR-UWB系統(tǒng)、DS-CDMS-UWB系統(tǒng)和MB-OFDM-UWB系統(tǒng)等。本文探討IR-UWB系統(tǒng)的信道估計(jì)，其信道采用IEEE 802.15.SG3a標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的信道模型。

2.1 UWB多徑信道模型

IEEE 802.15.SG3a標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的信道模型可分為CM1、CM2、CM3和CM4信道模型［4］，CM1為0-4米的視距信道模型，CM2為0-4米的非視距信道模型，CM3為4-10米的非視距信道模型，CM4為比較差的無視距多徑信道。

2.2 IR-UWB超寬帶系統(tǒng)

IR-UWB系統(tǒng)發(fā)送端主要包括：數(shù)據(jù)信號(hào)、調(diào)制和脈沖整形，在接收端進(jìn)行信號(hào)接收、解調(diào)和解碼得到數(shù)據(jù)信號(hào)［5］，如圖1所示。

圖1 IR-UWB超寬帶系統(tǒng)的組成

IR-UWB系統(tǒng)主要有2PPM-TH-UWB和PAMDS-UWB。由于二進(jìn)制PSK可以看作PAM的一個(gè)特例，當(dāng)采用二進(jìn)制PSK調(diào)制時(shí)，調(diào)制信息為bk∈{+ 1,-1}，p(t)為脈沖信號(hào)，脈沖發(fā)生器輸出的發(fā)送信號(hào)s(t)如式（6）所示，Tf為脈沖周期。

發(fā)送信號(hào)s(t)通過UWB信道，在接收端，收到接收信號(hào)r(t)。UWB信道的單位脈沖響應(yīng)如式（7）所示，hl為第l路多徑信道增益系數(shù)，τl為第l路多徑信道的延時(shí)。

假如UWB信道的噪聲w(t)為高斯白噪聲，則接收信號(hào)r(t)如式（8）所示。

把式（8）時(shí)域離散化，表示成時(shí)域離散信號(hào)h(n)與s(n)的時(shí)域卷積，如式（9）所示，N為信道單位脈沖響應(yīng)h(n)的長度，w(n)為時(shí)域離散化的高斯白噪聲。

由于計(jì)算序列的線性卷積可以通過序列的循環(huán)卷積計(jì)算，循環(huán)卷積的長度L≥N+M-1［6］。序列的循環(huán)卷積可以通過矩陣方法計(jì)算，所以式（9）可以寫成矩陣形式，如式（10）所示，S為循環(huán)卷積矩陣，H為UWB信道的單位脈沖響應(yīng)向量，R為接收信號(hào)向量，W為加性高斯噪聲向量。

假如發(fā)送信號(hào)s(n)的長度為M，需要在s(n)后面補(bǔ)N-1個(gè)零，使其長度為L。通過補(bǔ)零后的s(n)，構(gòu)造循環(huán)倒向序列 [s(0)s(L-1)s(L-2) …s(1)] ，從而構(gòu)造出循環(huán)卷積矩陣S。同理，UWB信道的單位脈沖響應(yīng)h(n)后面補(bǔ)M-1個(gè)零，使其長度為L，代 入 式（10），計(jì) 算 出 接 收 信 號(hào) 向 量R=[r(0),r(1),r(2),…,r(L-1)]T，如式（11）所示。

3 IR-UWB系統(tǒng)中的信道估計(jì)

采用最小平方誤差LS算法和壓縮感知理論的重構(gòu)算法完成IR-UWB超寬帶無線通信系統(tǒng)的信道估計(jì)。

3.1 LS信道估計(jì)算法

在IR-UWB系統(tǒng)中，若單位脈沖響應(yīng)向量H的LS估計(jì)值為，構(gòu)造代價(jià)函數(shù)如式（12）所示［7］，求代價(jià)函數(shù)的極值，即求測(cè)量值和模型值的差的模的平方的最小值。通過對(duì)式（12）求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，讓導(dǎo)數(shù)等于0，求得單位脈沖響應(yīng)H的LS估計(jì)值，如式（13）所示。

3.2 基于壓縮感知理論的IR-UWB系統(tǒng)中的信道估計(jì)

本文借助循環(huán)卷積的矩陣計(jì)算方法，推導(dǎo)出IR-UWB超寬帶無線通信系統(tǒng)的壓縮感知模型，通過GOMP重構(gòu)算法，重構(gòu)出IR-UWB系統(tǒng)的信道參數(shù)。

3.2.1 IR-UWB系統(tǒng)信道估計(jì)的壓縮感知模型

由于式（10）中的UWB信道的單位脈沖響應(yīng)向量H為稀疏信號(hào)，可以構(gòu)造一個(gè)(L/4)×L的高斯隨機(jī)矩陣Φ。把高斯隨機(jī)矩陣Φ作為觀測(cè)矩陣，對(duì)式（10）中的接收信號(hào)R進(jìn)行觀測(cè)，求得觀測(cè)信號(hào)y，如式（14）所示，觀測(cè)信號(hào)y為(L/4)×1列向量。

在式（14）中，單位脈沖響應(yīng)向量H為稀疏信號(hào)，由于高斯隨機(jī)矩陣Φ，滿足RIP約束等距性，所以矩陣A滿足RIP約束等距性。通過傳感矩陣A對(duì)稀疏信號(hào)H進(jìn)行觀測(cè)，求得測(cè)量信號(hào)y。

若已知測(cè)量信號(hào)y和傳感矩陣A，根據(jù)壓縮感知理論，通過重構(gòu)算法，重構(gòu)出單位脈沖響應(yīng)向量H，重構(gòu)H的壓縮感知模型如式（15）所示。

3.2.2 壓縮感知重構(gòu)算法

通過壓縮感知理論中的貪婪算法對(duì)式（15）求解，重構(gòu)出單位脈沖響應(yīng)向量H。常用的貪婪算法包括：OMP算法、GOMP算法、ROMP算法和CoSaMP算法等。

OMP算法首先初始化殘差為測(cè)量信號(hào)y，找到傳感矩陣A中與殘差最相關(guān)的列，計(jì)算稀疏信號(hào)θ的最小二乘解，更新殘差，通過循環(huán)迭代，最后求得稀疏信號(hào)θ［8］。

GOMP算法在尋找與殘差相關(guān)的列時(shí)，選擇S個(gè)最相關(guān)的列［9］。ROMP算法在尋找與殘差相關(guān)的列時(shí)，按照正則化規(guī)則，選擇K個(gè)最相關(guān)的列，K為信號(hào)的稀疏度［10］。CoSaMP算法在尋找與殘差相關(guān)的列時(shí)，選擇2K個(gè)最相關(guān)的列，K為信號(hào)的稀疏度，從計(jì)算的稀疏信號(hào)中選擇絕對(duì)值最大的K列［11］。然后計(jì)算稀疏信號(hào)θ的最小二乘解，更新殘差，通過循環(huán)迭代，最后求得稀疏信號(hào)θ。

GOMP算法的重構(gòu)精度優(yōu)于OMP算法、ROMP算法和CoSaMP算法，所以選用GOMP算法用來重構(gòu)IR-UWB系統(tǒng)中的信道參數(shù)。

4 基于壓縮感知理論的IR-UWB系統(tǒng)信道估計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)

首先搭建壓縮感知理論用于IR-UWB超寬帶無線通信系統(tǒng)的信道估計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，采用GOMP算法實(shí)現(xiàn)IR-UWB系統(tǒng)的信道估計(jì)。計(jì)算歸一化均方誤差NMSE，與LS算法相比，在相同信噪比SNR下，比較GOMP算法和LS算法重構(gòu)信道參數(shù)的精度。

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

搭建的基于壓縮感知理論的IR-UWB系統(tǒng)信道估計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖2所示。

圖2 基于壓縮感知理論的IR-UWB系統(tǒng)信道估計(jì)仿真

首先，按照IEEE 802.15.SG3a標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的CM1、CM2、CM3和CM4信道模型的參數(shù)，生成IRUWB系統(tǒng)信道的單位脈沖響應(yīng)向量H。

其次，按照二進(jìn)制PSK調(diào)制信息為bk∈{+ 1,-1}，生成發(fā)送信號(hào)s(n)，按照循環(huán)卷積矩陣的構(gòu)造方法，通過s(n)生成循環(huán)卷積矩陣S，通過(L/4)×L維隨機(jī)高斯矩陣Φ，求得傳感矩陣A=Φ·S。

再次，通過傳感矩陣A對(duì)單位脈沖響應(yīng)向量H進(jìn)行觀測(cè)，求得觀測(cè)信號(hào)y。在已知傳感矩陣A和觀測(cè)信號(hào)y時(shí)，通過壓縮感知重構(gòu)算法，重構(gòu)出單位脈沖響應(yīng)向量的估值H?。

最后，通過歸一化均方誤差NMSE，與LS算法估計(jì)的單位脈沖響應(yīng)向量比較。

4.2 重構(gòu)IR-UWB信道參數(shù)

借助Matlab軟件，編寫M腳本程序，實(shí)現(xiàn)對(duì)IRUWB系統(tǒng)的信道估計(jì)。假設(shè)：發(fā)送數(shù)據(jù)的s(n)的長度M為3660，IR-UWB系統(tǒng)的信道單位脈沖響應(yīng)h(n)的長度N為3660，所以線性卷積的長度為7319，于是循環(huán)卷積的長度L取為7319，觀測(cè)信號(hào)y的長度取為1830。采用IEEE 802.15.SG3a標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的CM1、CM2、CM3和CM4信道模型參數(shù)生成其單位脈沖響應(yīng)h()n。采用式（15）所示的壓縮感知模型，采用GOMP壓縮感知重構(gòu)算法，分別重構(gòu)了CM1、CM2、CM3和CM4信道的單位脈沖響應(yīng)h?()n，并與原始信道的單位脈沖響應(yīng)h()n比較，如圖3所示。

圖3 GOMP算法重構(gòu)的IR-UWB系統(tǒng)的信道參數(shù)

通過比較GOMP重構(gòu)算法重構(gòu)的信道單位脈沖響應(yīng)與原始信道單位脈沖響應(yīng)，可以看出，GOMP重構(gòu)算法能夠很好地重構(gòu)出IR-UWB系統(tǒng)多徑信道的單位脈沖響應(yīng)。

4.3 IR-UWB信道估計(jì)性能分析

通過壓縮感知理論中的GOMP重構(gòu)算法估計(jì)的IR-UWB信道參數(shù)，與LS算法估計(jì)的信道參數(shù)相比，通過計(jì)算CM1、CM2、CM3和CM4信道各自的歸一化均方誤差NMSE［12］，比較信道參數(shù)估計(jì)的精度。歸一化均方誤差NMSE的計(jì)算公式如式（16）所示。

借助Matlab軟件，編寫M腳本程序，計(jì)算GOMP重構(gòu)算法和LS算法估計(jì)的CM1、CM2、CM3和CM4信道單位脈沖響應(yīng)的NMSE，如圖4所示。

圖4 GOMP算法和LS算法重構(gòu)信道參數(shù)的NMSE比較

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在相同信噪比SNR的情況下，GOMP算法重構(gòu)的CM1、CM2、CM3和CM4信道單位脈沖響應(yīng)h?(n)的精度高于LS算法。

5 結(jié)語

本文借助壓縮感知理論，實(shí)現(xiàn)了IR-UWB超寬帶無線通信系統(tǒng)中的信道估計(jì)。首先論述了壓縮感知理論，詳細(xì)分析了信號(hào)的稀疏表示、無噪聲和有噪聲的壓縮感知模型和壓縮感知重構(gòu)算法。其次，論述了IR-UWB無線通信系統(tǒng)，IR-UWB多徑信道采用IEEE 802.15.SG3a標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的CM1、CM2、CM3和CM4信道模型。再次，通過循環(huán)卷積的矩陣計(jì)算方法，推導(dǎo)出IR-UWB系統(tǒng)信道估計(jì)的壓縮感知模型。最后，借助MATLAB軟件，編寫M腳本程序，采用GOMP算法重構(gòu)了IR-UWB系統(tǒng)中的信道單位脈沖響應(yīng)，與LS算法比較，通過計(jì)算歸一化均方誤差NMSE可以看出，GOMP算法重構(gòu)信道脈沖響應(yīng)的精度高于LS算法。