破思維定勢 變思維角度 提思維品質(zhì)
——例談解析幾何中與“聯(lián)立”相關(guān)的思維定勢

金一鳴 常梨君

(江蘇省常州市田家炳高級中學(xué) 213001)

1 問題提出

思維定勢(thinking set)，也稱“慣性思維”，是由先前的活動而造成的一種對活動的特殊的 心理準(zhǔn)備狀態(tài)，或活動的傾向性．在數(shù)學(xué)問題 解決中，思維定勢對問題解決有積極的一面：利用已有知識、經(jīng)驗與當(dāng)前問題情境建立聯(lián)系，進(jìn)行比較，把新問題化歸成一個已解決的熟知舊問題． 思維定勢亦有消極的一面：易產(chǎn)生思想上的惰性， 養(yǎng)成呆板的解題習(xí)慣．尤其當(dāng)新舊問題形似質(zhì) 異時，思維的定勢會使解題者步入誤區(qū)，造成知識和經(jīng)驗的負(fù)遷移，成為束縛創(chuàng)造性思維的一道枷鎖．

面對解析幾何問題，學(xué)生畏想、畏算，加之部分教師以考試得分為目的的引導(dǎo)，解答往往只有“三板斧”：一寫標(biāo)準(zhǔn)方程，二列二元二次方程組，三用韋達(dá)定理．不可否認(rèn)這種所謂“直線聯(lián)立法”是解決直線與圓錐曲線相交的“通法”，但低級的思維定勢必定阻礙了學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)與核心素養(yǎng)的提升，與新課程理念背道而馳．

2 常見思維定勢及思維突破

新高考“反套路，反刷題”，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)理性思維的價值，注重數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性，突出關(guān)鍵能力的考查，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、方法有更深刻的認(rèn)知．解析幾何問題具有綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大、題目靈活多變等特點(diǎn)，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等核心素養(yǎng)的重要載體．筆者列舉解析幾何中與“聯(lián)立”相關(guān)的常見思維定勢，探討如何破除思維定勢，變化思維角度，提高思維品質(zhì)，提升核心素養(yǎng)．

2.1 定勢一：一定利用“直聯(lián)法”

例1(2013年全國II卷文)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，若AF=3BF，則l的方程為( )．

A．y=x-1或y=-x+1

點(diǎn)評利用直聯(lián)法(直線與拋物線聯(lián)立+韋達(dá)定理)設(shè)而不求構(gòu)造關(guān)于k的方程，是解決本題的常規(guī)思路．事實(shí)上，利用算兩次思想，將AF=3BF進(jìn)行雙重解讀，直接構(gòu)造點(diǎn)坐標(biāo)的二元方程，可以得到A,B是定點(diǎn)，進(jìn)而求出斜率，此法更直接明了．

2.2 定勢二：一定選擇直線聯(lián)立

(2)點(diǎn)A,B,D是雙曲線C上不同的三點(diǎn)，且B,D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，△ABD的外接圓經(jīng)過原點(diǎn)O，求證：直線AB與圓x2+y2=1相切．

點(diǎn)評本題的關(guān)鍵之處在于如何利用y1y2=1得到雙參數(shù)m,n之間的關(guān)系．以A,B兩點(diǎn)為研究對象，利用其為三種曲線(直線、圓、雙曲線)公共點(diǎn)的身份，將思維從直線與曲線聯(lián)立中解脫出來，引入曲線與曲線聯(lián)立，“算兩次”得到m,n的關(guān)系式，從而簡便求解．

2.3 定勢三：一定利用直線消元

圖1

(2)證明：直線CD過定點(diǎn)．

點(diǎn)評本題的關(guān)鍵是四元表達(dá)式3y1(x2-3)=y2(x1-3)的化簡，利用直線x=my+n消元化為2my1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0，但這個表達(dá)式“不對稱”，直接利用韋達(dá)定理不方便，需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)換視角，利用點(diǎn)在橢圓上消元，可直接得到4x1x2-15(x1+x2)+36=0，后續(xù)求解自然水到渠成．

2.4 “聯(lián)立”的教材溯源

翻閱人教A版選擇性必修一，與聯(lián)立相關(guān)的內(nèi)容在解析幾何各個章節(jié)中都有滲透，以具體的例題為依托，大多以“位置關(guān)系判定”“求弦長”為主．曲線方程“聯(lián)立”的幾何解釋為：如果曲線C1:f(x,y)=0與曲線C2:f(x,y)=0有公共點(diǎn)，那么公共點(diǎn)滿足曲線C1,C2的方程，即公共點(diǎn)坐標(biāo)為方程組的解，方程組解的個數(shù)是公共點(diǎn)個數(shù)．據(jù)此判定直線與曲線的位置關(guān)系，解決相關(guān)后續(xù)問題．由上可知，聯(lián)立只是一種手段，為何要聯(lián)立？誰和誰聯(lián)立？聯(lián)立后消哪個變量？這些聯(lián)立背后的底層邏輯需要厘清．

3 三點(diǎn)啟示

3.1 形成定勢，夯實(shí)解幾之基

將幾何對象坐標(biāo)化、方程化，再進(jìn)行代數(shù)討論，最后把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論，這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三部曲”．幾何量的坐標(biāo)化最終都可以歸結(jié)到“點(diǎn)的坐標(biāo)化”，聯(lián)立的目的就是求點(diǎn)的坐標(biāo)，如果點(diǎn)的坐標(biāo)可解，那么整個問題就迎刃而解，但坐標(biāo)求解后常為含參多元，所以常利用“設(shè)而不求”的思想．“直線與二次曲線聯(lián)立”是解析幾何在“代數(shù)討論”中常用的一種通法，其解題模式如圖2，這種解題模式能幫助我們快速解決一部分直線與圓錐曲線相交的問題．

圖2

從行為主義的角度來看，學(xué)習(xí)是刺激和反應(yīng)建立聯(lián)系的過程，刺激呈現(xiàn)方式、反應(yīng)后的強(qiáng)化以及重復(fù)練習(xí)的數(shù)量等是影響刺激與反應(yīng)之間建立聯(lián)系的主要因素．因此，對于解析幾何教學(xué)，將“直線聯(lián)立法”進(jìn)行一定量的訓(xùn)練與強(qiáng)化并形成定勢，可以有效縮短學(xué)生解決問題的時間，提升解題技能，提振數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心．

3.2 突破定勢，回歸解幾之源

從“注重圖形分析，巧妙坐標(biāo)轉(zhuǎn)化”著手，破除唯“直線聯(lián)立法”論，探索解析幾何解題的基本思路才是解析幾何教學(xué)的方向．從不同視角將幾何量坐標(biāo)化，最終的化簡結(jié)果殊途同歸，但運(yùn)算量卻差異很大.以例1中“直線l過點(diǎn)F且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，若AF=3BF”這個條件坐標(biāo)化為例(表1)，已知F(1,0)，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)．

表1

由上可以看出，解析幾何的“坐標(biāo)化”可以從位置關(guān)系(點(diǎn)、直線、曲線三者位置關(guān)系)，距離(點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、線線距)，角(三角形內(nèi)角、傾斜角、向量夾角)等方向入手．一方面，在定勢突破過程中，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生厘清解題思路與方法，明確相關(guān)解題方法的內(nèi)在原理與底層邏輯；另一方面，教師要鍛煉學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有問題選擇恰當(dāng)解題方法的能力，讓學(xué)生從解數(shù)學(xué)題走向解決數(shù)學(xué)問題．

3.3 體悟思想，提升核心素養(yǎng)

“形成定勢”，再“突破定勢”，使學(xué)生在“先立后破，破后再立”的過程中掌握解決解析幾何問題的基本思路．學(xué)生解題的目的不能僅僅停留在獲得答案的淺水區(qū)，而應(yīng)該在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，通過獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.教師更要通過自身的引導(dǎo)，讓學(xué)生領(lǐng)悟問題背后的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生思維的提升，從而進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．