探討一般三棱鏡偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系

顧菊觀，王夢(mèng)影，徐海斌，曹炳松，俞軼帆，周天佑

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州 3 130003)

1 引言

光學(xué)教材[1]和光學(xué)實(shí)驗(yàn)教材[2]都分析討論的是頂角一定的等邊三棱鏡情況。文獻(xiàn)[3]研究了空氣中的三棱鏡偏向角和棱鏡頂角的關(guān)系。文獻(xiàn)[4-7]討論了空氣中的三棱鏡偏向角、最小偏向角與棱鏡頂角、棱鏡折射率的關(guān)系。文獻(xiàn)[8]討論了影響棱鏡頂角和最小偏向測(cè)量的因素。文獻(xiàn)[9-10]分析討論和總結(jié)了空氣中三棱鏡折射率、入射角的多種測(cè)量方法，研究了要得到可測(cè)量的偏向角對(duì)應(yīng)的入射點(diǎn)問題。文獻(xiàn)對(duì)于一般三棱鏡與頂角的研究很少，同時(shí)對(duì)于偏向角與入射角、偏向角與頂角的關(guān)系曲線中的直線部分和負(fù)值部分沒有具體理論和模擬說(shuō)明。應(yīng)用幾何光學(xué)理論、Matlab研究一般三棱鏡偏向角與棱鏡頂角的理論公式和關(guān)系曲線，運(yùn)用Tracepro模擬光線傳播進(jìn)行分析討論，對(duì)關(guān)系曲線中的直線部分和負(fù)值部分進(jìn)行具體理論和模擬分析說(shuō)明，其結(jié)果能很好的指導(dǎo)教學(xué)和實(shí)驗(yàn)等過(guò)程中棱鏡頂角、折射率和入射角的選擇，更加深對(duì)一般三棱鏡偏向角影響因素的認(rèn)知和理解。

2 偏向角與棱鏡頂角關(guān)系的理論分析

由圖1和幾何關(guān)系得

圖1 一般三棱鏡的光路示意圖

偏向角為從AC面出射的出射光線以銳角逆時(shí)針轉(zhuǎn)至從AB面入射的入射光線對(duì)應(yīng)的夾角且為正值，與文獻(xiàn)[1-10]一致。偏向角與入射角、出射角、頂角的關(guān)系為

得到的偏向角與B、C角沒有關(guān)系，與入射角、出射角和頂角有關(guān)。其結(jié)果與空氣中等邊三棱鏡和文獻(xiàn)[1，3，5-7]一致。

由（1）、（2）式及折射定律（3）式

化簡(jiǎn)得

（4）式代入（2）式得偏向角與入射角、頂角的關(guān)系

上式化簡(jiǎn)得

（7）是指給定棱鏡及兩側(cè)的折射率，給定AB面上的入射角，要在AC面上觀察到折射光線（即文獻(xiàn)[1-10]所定義的偏向角）所對(duì)應(yīng)的棱鏡頂角必須小于最大棱鏡頂角。文獻(xiàn)（11）的最大棱鏡頂角是指給定棱鏡折射率和兩側(cè)折射率情況下對(duì)應(yīng)的棱鏡最小入射角時(shí)，能在AC面上觀察出射光線及得到文獻(xiàn)定義的偏向角所對(duì)應(yīng)棱鏡的最大頂角。（7）式的棱鏡最大頂角是指給定棱鏡及兩側(cè)的折射率和AB面上的入射角時(shí)，能在AC面上觀察出射光線及得到文獻(xiàn)定義的偏向角所對(duì)應(yīng)棱鏡的最大頂角。文獻(xiàn)（11）和（7）式所定義的最大棱鏡頂角是不同的。

3 偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系曲線和模擬光路（棱鏡在空氣中）

給定折射率和入射角，由（5）式可以得到偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系曲線。

3.1 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=300

給定折射率和入射角i1=300，圖2說(shuō)明偏向角隨頂角的變化是非線性的，偏向角隨頂角增大而增大；達(dá)到最大頂角后沿直線線性下降，此時(shí)對(duì)應(yīng)的偏向角與頂角呈線性關(guān)系是一致的（圖6、8、9、12、16、20的直線部分同理解釋）；圖3說(shuō)明要從AC面觀察到出射光線，棱鏡的頂角要小于最大頂角；圖4說(shuō)明當(dāng)棱鏡頂角大于最大頂角后，觀察到的光線和偏向角都不是文獻(xiàn)所定義的。因此，在給折射率和入射角的情況下，實(shí)驗(yàn)時(shí)要注意三棱鏡頂角的選擇。

圖2 一般三棱鏡偏向角與頂角的關(guān)系曲線

圖3 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖4 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖5 全反射對(duì)應(yīng)的偏向角光路示意圖

圖6 一般三棱鏡偏向角與頂角的關(guān)系曲線

圖2 中的直線部分因在AC 面上發(fā)生全反射，出射光線從BC 面出射（如圖4、5）。對(duì)應(yīng)的偏向角是虛數(shù)，取實(shí)部即為對(duì)應(yīng)的直線部分的偏向角。

實(shí)際上，此時(shí)的偏向角θ是對(duì)應(yīng)圖5中的FH線與入射光線EH線的夾角。由圖5在ΔEFH中得

（8）式的Matlab計(jì)算結(jié)果與（9）式相一致的。由（9）式知，此時(shí)的偏向角對(duì)于給定的入射角只與棱鏡頂角有關(guān)，且為線性關(guān)系，對(duì)應(yīng)于圖2的直線部分，（9）式理論分析與關(guān)系曲線相符合。以下的偏向角與頂角的關(guān)系曲線圖中的直線部分分析都與此相同。

3.2 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=600

由圖2和圖6知，棱鏡最大頂角在折射率給定時(shí)，隨入射角的增大而增大。從圖6知，對(duì)于入射角i1=600時(shí)，棱鏡頂角大于Amax=69.08420不能得到文獻(xiàn)定義的偏向角，直線部分的原因和解釋與圖2相同。棱鏡頂角小于Amax=69.08420能從AC面觀察到出射光線和測(cè)量偏向角，圖7給出的是棱鏡頂角A=600（小于最大頂角的情況）時(shí)對(duì)應(yīng)的模擬光路傳播情況，能從AC觀察到出射光線和測(cè)量偏向角。

圖7 一般三棱鏡模擬光路示意圖

3.3 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=100

圖8 一般三棱鏡偏向角與頂角的關(guān)系曲線

3.4 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=89.20

由圖2、6、8、9知，當(dāng)入射角增加時(shí)，對(duì)應(yīng)的棱鏡最大頂角也是增大的。

由圖9知對(duì)應(yīng)的是入射角i1=89.20時(shí)偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系曲線，直線部分的原因和解釋與圖2相同。圖10 給出的是棱鏡頂角A=740（小于Amax=74.73870）和i1=89.20時(shí)對(duì)應(yīng)的模擬光路傳播情況，能從AC 觀察到出射光線和測(cè)量偏向角。棱鏡頂角大于Amax=74.73870，如圖11所示A=800時(shí)對(duì)應(yīng)的光路軌跡，不能得到文獻(xiàn)定義的偏向角。

圖9 一般三棱鏡偏向角與頂角的關(guān)系曲線

圖10 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖11 一般三棱鏡模擬光路示意圖

4 偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系曲線和模擬光路（棱鏡兩側(cè)折射率不同）

棱鏡左側(cè)是水，右側(cè)是空氣的情況，給定折射率和入射角，由（5）式可以得到偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系曲線。

4.1 n1=1.3330,n2=1.6475,n3=1,i1=300

圖12 對(duì)應(yīng)的是左側(cè)折射率n=1.33300,入射角i1=300時(shí)偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系曲線，從曲線得到與圖2、6、8、9 相似的曲線形狀外，相同入射角情況下棱鏡最大頂角增大，直線部分的原因和解釋與圖2 相同。圖13 說(shuō)明當(dāng)棱鏡頂角A=650且大于最大頂角Amax=61.23460時(shí)的光線軌跡，光線有從AB 和BC 面出射的，都不符合文獻(xiàn)定義的偏向角的要求。

圖12 一般三棱鏡偏向角與頂角的關(guān)系曲線

圖13 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖12 的曲線中偏向角有負(fù)的存在，說(shuō)明棱鏡頂角小于一定值后，得到的偏向角與原來(lái)定義的偏向角（出射光線逆時(shí)針轉(zhuǎn)到入射光線以銳角為正值表示）轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，如圖14 和15 所示。圖14 是棱鏡頂角A=80時(shí)對(duì)應(yīng)的入射光線和出射光線的情況，對(duì)應(yīng)偏向角如圖15 所示。

圖14 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖15 一般三棱鏡的偏向角為負(fù)值時(shí)的示意圖示意圖

圖15 中對(duì)應(yīng)的MDFN 是入射光線，EFH 是出射光線，DE 是棱鏡內(nèi)的折射光線，θ是出射光線EFH 順時(shí)針轉(zhuǎn)至入射光線MDFN 對(duì)應(yīng)的夾角即為偏向角且為負(fù)值。i1,r1是AB 面上的入射角和折射角，r2,i2是AC面上的入射角和折射角。對(duì)應(yīng)的偏向角由θ=i1+i2?A或（5）式可得到，理論與關(guān)系曲線一致。

4.2 n1=1.3330,n2=1.6475,n3=1,i1=600

圖16 對(duì)應(yīng)的是左側(cè)折射率n=1.33300,入射角i1=600時(shí)偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系曲線，從曲線得到與圖2、6、8、9、12 部分相似的曲線形狀外，圖16 的曲線中存在偏向角為負(fù)的直線部分和曲線部分，曲線部分的解釋與圖12、14、15 的解釋一致的。圖17（A=150）說(shuō)明得到的偏向角與原來(lái)定義的偏向角轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，偏向角是負(fù)值，對(duì)應(yīng)圖16 負(fù)的曲線部分。由圖18 左圖和右圖知給定頂角無(wú)論B 角大小如何，光線經(jīng)AC 全反射后又從AB 面（入射面）出射的（如圖18 所示），不符合文獻(xiàn)定義的偏向角的要求。

圖16 一般三棱鏡偏向角與頂角的關(guān)系曲線

圖17 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖18 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖12 和圖2，圖16 和圖6 比較知，左側(cè)折射率增大對(duì)應(yīng)的最大頂角也增大。圖16 中偏向角為負(fù)的直線部分，光路圖如圖18、19 所示。圖19 中對(duì)應(yīng)的MDFN 是入射光線，EFH 是出射光線，DE 是棱鏡內(nèi)的折射光線，θ是出射光線EFH 順時(shí)針轉(zhuǎn)至入射光線MDFN 對(duì)應(yīng)的夾角即為偏向角（如圖箭頭轉(zhuǎn)向,θ取負(fù)的，圖中標(biāo)的是正值）。i1,r1是AB 面上的入射角和折射角，r2,i2是AC 面上的入射角和折射角。

圖19 一般三棱鏡的偏向角為負(fù)值時(shí)的示意圖示意圖

由圖19 在三角形ΔADE中得

在三角形ΔDEF中得

（10）式代入（11）式得

（12）式的計(jì)算結(jié)果與（5）式計(jì)算結(jié)果及圖16 中偏向角為負(fù)的直線部分是一致的，這就理論上解釋了負(fù)偏向角的直線部分。

5 偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系曲線和模擬光路（棱鏡在水中）

棱鏡兩側(cè)都是水的情況，給定折射率和入射角，由（7）式可以得到偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系曲線。

5.1 n1=1.3330,n2=1.6475,n3=1.3330,i1=600

由圖16 和圖20 比較知，相同入射角時(shí)，棱鏡右側(cè)折射率增大對(duì)應(yīng)的棱鏡最大頂角也增大。由圖2 和圖20 比較知，相同入射角時(shí)，棱鏡兩側(cè)折射率相同時(shí)偏向角與頂角的關(guān)系曲線相似，折射率大時(shí)對(duì)應(yīng)的最大頂角也要大。給定棱鏡折射率、兩側(cè)折射率和入射角，如圖20 所示得棱鏡的頂角有大于 900的情況。圖21 是棱鏡頂角A=950時(shí)對(duì)應(yīng)的光路軌跡情況，說(shuō)明棱鏡頂角大于 900也能從AC 面觀察到出射光線和測(cè)量偏向角。圖22 對(duì)應(yīng)A=1100時(shí)的光路軌跡情況，由圖22 知雖光線有從AC 面出射的，但不是文獻(xiàn)定義的偏向角；也有從BC 面出射的光線，也不存在文獻(xiàn)定義的偏向角。

圖20 一般三棱鏡偏向角與頂角的關(guān)系曲線

圖21 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖22 一般三棱鏡模擬光路示意圖

6 結(jié)論

基于理論推導(dǎo)得到的偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系公式和最大棱鏡頂角公式，通過(guò)Matlab 和Tracepro 得到關(guān)系曲線、模擬光路和最大棱鏡頂角，研究和討論了一般三棱鏡的偏向角與棱鏡頂角、棱鏡折射率、棱鏡兩側(cè)的折射率及入射角的關(guān)系。研究得到對(duì)于給定的棱鏡折射率、兩側(cè)折射率和入射角，偏向角與入射角的關(guān)系曲線有相似和不相同的情況，由曲線知都存在最大棱鏡頂角，且棱鏡頂角大于此角，不能得到文獻(xiàn)定義的出射光線和偏向角；由圖知相同棱鏡折射率，不同的入射角對(duì)應(yīng)的棱鏡最大頂角隨入射角增大而增大；兩側(cè)折射率不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的關(guān)系曲線有不同的部分，既有偏向角與原來(lái)定義的偏向角方向的情況，又有不符合的情況；同時(shí)知棱鏡頂角大于 時(shí)也能觀察到文獻(xiàn)定義的偏向角存在的情況。理論解釋了關(guān)系曲線中為負(fù)偏向角的直線和曲線部分產(chǎn)生的原因。其討論和研究結(jié)果，對(duì)于研究、實(shí)驗(yàn)及教學(xué)過(guò)程選擇棱鏡頂角、棱鏡兩側(cè)折射率及AB 面上的入射角都具有很好的參考價(jià)值。是大學(xué)生科研訓(xùn)練的很好選題，能培養(yǎng)提高學(xué)生的研究能力和計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力。