新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)滲透方法與策略

孫 峰

(樂山師范學(xué)院,數(shù)理學(xué)院,四川 樂山 614004)

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的學(xué)科。數(shù)學(xué)與人類生活和社會發(fā)展緊密相關(guān)，在人類歷史發(fā)展和社會生活中，數(shù)學(xué)發(fā)揮著不可替代的作用，它是各門科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)和工具，在自然科學(xué)、工程技術(shù)、系統(tǒng)科學(xué)、管理科學(xué)及社會科學(xué)等領(lǐng)域起著舉足輕重的作用。正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授所說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！盵1]數(shù)學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)滲透到現(xiàn)代社會及人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€方面。然而，作為一門基礎(chǔ)的自然學(xué)科和一種精確的科學(xué)語言，數(shù)學(xué)又是極為抽象的，它是如何應(yīng)用于實際問題，并非顯而易見。數(shù)學(xué)如何用，是需要一定的技巧和手段的。數(shù)學(xué)建模在實際問題與數(shù)學(xué)之間架設(shè)了一座橋梁，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法解決實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)建模不僅能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。對于中學(xué)生而言，不僅要“學(xué)數(shù)學(xué)”，還要“用數(shù)學(xué)”。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)( 2017 年版2020年修訂)》[2]中將數(shù)學(xué)建模列為高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，足見數(shù)學(xué)建模的重要性。但是，從高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)調(diào)查研究[3-6]發(fā)現(xiàn)高中生對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知不足，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)普遍不高，數(shù)學(xué)建模能力較差。提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是必要的。在本文中，我們將探討高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的滲透。

一、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)及其意義

數(shù)學(xué)模型是對實際問題的一種數(shù)學(xué)模擬，是針對具體實際問題，為了特定目的，簡化、抽象得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(包括數(shù)學(xué)公式、圖形或算法等)。數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的全過程，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫實際問題的模型并加以解決的一種數(shù)學(xué)手段。粗略來說，數(shù)學(xué)建?？梢苑殖扇蟛糠郑簩嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題的解決，數(shù)學(xué)結(jié)果返回實際。根據(jù)姜啟源等的經(jīng)典著作[7]，數(shù)學(xué)建模的具體步驟包括：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗和模型應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實問題與數(shù)學(xué)之間架設(shè)了一座橋梁，其重要性是不言而喻的。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)( 2017 年版2020年修訂)》[2]中將數(shù)學(xué)建模列為高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，并介紹到“數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題”。

在高中數(shù)學(xué)課堂中滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，具有以下意義：

(1)有助于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，實現(xiàn)從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“用數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)變。在以往的教育中，學(xué)生往往只關(guān)注數(shù)學(xué)理論知識的學(xué)習(xí)，忽略數(shù)學(xué)的應(yīng)用，不清楚數(shù)學(xué)知識到底有何用，只知道埋頭學(xué)習(xí)。在注重“素質(zhì)教育”的今天，課堂中滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)后，學(xué)生知道數(shù)學(xué)是如何具體地作用于現(xiàn)實問題，知曉數(shù)學(xué)有用，并知道如何用。有了數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實問題實踐中的支持，學(xué)生對數(shù)學(xué)理論知識的理解將會更加深刻，并且逐步形成“用數(shù)學(xué)”的能力。

(2)有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中加入一些和實際生活相關(guān)的數(shù)學(xué)建模案例，因為案例貼近生活，不像數(shù)學(xué)知識那般抽象枯燥，所以這些案例的引入，能充分調(diào)動學(xué)生的探索欲和求知欲，從而激發(fā)并調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識的興趣。在實際問題的有效解決后，學(xué)生更加折服于數(shù)學(xué)的實用性，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣會進一步提高。

(3)有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗，提升實踐能力。數(shù)學(xué)建模是學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的實踐活動，學(xué)生經(jīng)歷一系列的數(shù)學(xué)建?；顒?，“學(xué)以致用”可得到充分體現(xiàn)，數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗不斷累積，實踐能力逐步提升。

(4)有助于學(xué)生增強創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)建模旨在用數(shù)學(xué)解決生活中的實際問題。這些問題往往沒有現(xiàn)成的解決方法，需要學(xué)生根據(jù)實際問題做出抽象簡化。另外，這些實際問題的解決往往沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)答案，只要言之有理都是可行的，這鼓勵學(xué)生提出各種各樣的解決辦法，包括一些打破常規(guī)的想法和思路，這對學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的提高有促進作用。

二、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)寫入《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》已經(jīng)有一段時間，但是相關(guān)調(diào)研[3-6]發(fā)現(xiàn)，高中生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)并不高，存在以下問題：

(1)對數(shù)學(xué)建模的重視程度不夠。部分高中生仍處于“應(yīng)試”模式，以高考為目的，如果高考中對數(shù)學(xué)建模不作要求，就不會重視數(shù)學(xué)建模相關(guān)案例。

(2)對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知水平整體不高。大部分高中生對數(shù)學(xué)建模的含義、步驟等方面理解不夠清晰，對數(shù)學(xué)建模的知識內(nèi)容涉及較少，沒有表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)建模的興趣。

(3)缺少數(shù)學(xué)建模的全過程教學(xué)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)存在“應(yīng)用題”化的教學(xué)，把數(shù)學(xué)建模等同于應(yīng)用題，缺少對實際問題的剖析和提煉，缺少如何把實際問題數(shù)學(xué)化的過程，沒有實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的全過程教學(xué)。

(4)數(shù)學(xué)建模的實踐較少。部分高中生沒有參與過數(shù)學(xué)建模活動，在日常生活中也很少運用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題。

(5)數(shù)學(xué)建模能力普遍不高。根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)學(xué)建模水平的劃分，大部分高中生主要集中在水平一和水平二。大多數(shù)學(xué)生只能在熟悉情境中利用已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)模型解決問題，對于適當(dāng)修改模型以解決類似問題方面的能力稍有欠缺。

三、高中數(shù)學(xué)課堂中滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)示例

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中將課程內(nèi)容分為“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”和“概率與統(tǒng)計”等主題。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)應(yīng)在各個主題中得到培養(yǎng)和提升。在日常的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，在相關(guān)數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)完后講解相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模案例，加深學(xué)生對知識的理解，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的運用。下面我們將介紹數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在一些數(shù)學(xué)專題中的滲透示例。

(一)函數(shù)專題中的建模示例

案例1 商鋪租金問題——某商鋪租金一年2萬元，房東為鼓勵租客提前交付租金，承諾提前交付的租金可按照銀行一年期存款利率予以抵扣。租客欲租10年，并提前一次性交付租金，那么租金多少？

模型分析：提前交付的租金按照一年期存款利率采取復(fù)利方式計算，提前交付的租金連同其利息收入抵扣當(dāng)年租金。

模型假設(shè)：租金每年2萬元維持不變；存款利率不變，按照當(dāng)前一年期利率(2%)計算；租戶一次性交付10年租金。

模型建立：設(shè)S為一次性交付的租金，xi為第i年提前交付的租金，第i年的租金提前了i-1年交付，本息和為xi(1+2%)i-1，因提前交付租金本息和抵扣該年租金，故

xi(1+0.02)i-1=2，

從而

由此可知，一次性交付的租金為

結(jié)果解釋：租戶一次性交付10年租金的話，只需要交18.32萬元。

注意，教師在講解等比數(shù)列求和的相關(guān)知識后，可介紹該案例。教師在講解時，應(yīng)以學(xué)生為主，引導(dǎo)學(xué)生分析。在計算利息時，我們采取的是復(fù)利計算，當(dāng)然也可以采取單利計算的方式。另外，學(xué)生在分析時可能會有這樣的思路：租戶按每年2萬元提前交付租金，房東將提前交付租金產(chǎn)生的利息補償給客戶，以2年租期為例，提前交付租金共計4萬元，有2萬元提前一年交付，產(chǎn)生的利息為0.04萬元，退還后，租戶實際交付租金為3.96萬元，但按照上述模型計算，交付租金大于3.96萬元。教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，這種計算方式的漏洞主要在于利息本應(yīng)到期后才獲得，提前支付不會有那么多。對于學(xué)生的不同思路，教師要積極肯定，鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生找出新的解決方法。

案例2 客房的定價問題——某賓館有客房200間，營業(yè)一段時間后，經(jīng)理得到客房定價和住房率的大致信息：定價280元/間，住房率約50%；定價240元/間，住房率約60%；定價200元/間，住房率約70%；定價160元/間，住房率約80%。欲使賓館每天獲得最高收入，每間客房應(yīng)定價多少？

模型分析：從所給數(shù)據(jù)信息看，房間定價每降低40元，入住率增加約10%，由此假設(shè)出定價和入住率的關(guān)系，進而根據(jù)收入最高，確定客房定價。

模型假設(shè)：隨著客房定價的下降，住房率呈線性增長，即定價下降40元，入住率提高10%；房間定價最高480元(按照第一條假設(shè)，480元定價時，入住率為0)；每一間房間的定價相等。

模型建立：設(shè)住房總收入為y元，房間定價為x元/間，根據(jù)假設(shè)相應(yīng)的入住率為

入住的房間數(shù)為

住房收入總收入為

y=0.5x(480-x),0≤x≤480。

模型求解：根據(jù)一元二次函數(shù)的最值，求解得到x=240,y=28 800。

結(jié)果解釋：住房定價為240元/間時，住房收入可取得最大值28 800元。

(二)幾何與代數(shù)專題中的建模示例

案例3 包湯圓問題——同等重量的湯圓粉，包大湯圓和包小湯圓，哪種用餡兒更多？

模型分析：湯圓可以近似看成球體，由湯圓粉做成的外皮和中間的餡兒組成。同等重量的湯圓粉加工得到的湯圓外皮重量是一樣的，如果大小湯圓的表皮厚度一樣，則大小湯圓外表皮的面積是一樣的。因此問題主要在于對比表皮面積相同的大小湯圓的總體積。

模型假設(shè)：假設(shè)大小湯圓的外皮厚度一樣；包湯圓時不對表皮拉扯，保證外皮厚度不變；大小湯圓的規(guī)格一致，所有大湯圓都是一樣的，所有小湯圓都是一樣的；大小湯圓近似看成球體，湯圓餡填充滿湯圓內(nèi)部；湯圓餡大皮薄，忽略表皮的厚度。

模型建立：假設(shè)一個大湯圓的表面積S，體積為V，半徑為R，共有N個大湯圓；一個小湯圓的表面積s，體積為v，半徑為r，共有n(n>N)個小湯圓。湯圓近似看成球體，可得到大小湯圓的表面積和體積為

因大小湯圓外皮厚度一樣，故大湯圓和小湯圓總的表面積一樣，即ns=NS。從而有

n·4πr2=N·4πR2，

于是可知大小湯圓的半徑滿足

進一步，大湯圓與小湯圓總體積比為

結(jié)果解釋：同樣重量的湯圓粉，包大湯圓的個數(shù)N必然小于小湯圓的個數(shù)n，因此小湯圓用的餡兒會更多。若這些湯圓粉可包成大湯圓50個，小湯圓100個，也即是說一張大的湯圓皮可變?yōu)楹穸认嗤膬蓮埿珗A皮，則小湯圓用餡兒的總量將大約是大湯圓用餡兒總量的1.4倍左右。

注意，教師在講解球的表面積和體積的相關(guān)知識后，可介紹該案例。注意引導(dǎo)學(xué)生分大小湯圓兩組對比考慮。另外，模型相對粗糙，在計算時，忽略了湯圓表皮的厚度。

(三)概率與統(tǒng)計專題中的建模示例

案例4 擲骰子游戲問題——某公園有一個擲骰子的“有獎游戲”攤位，玩家2元可擲骰子一次，若兩骰子點數(shù)之和為7，則獲得獎勵5元，否則無獎勵。試問該游戲?qū)ν婕夜絾幔?/p>

模型分析：需要計算出玩家的期望收益，如果為0，說明玩很多次，將會不輸不贏，游戲是公平的；如果小于0，說明對玩家不公平。

模型假設(shè)：骰子沒有任何問題，擲出點數(shù)1到6的概率都是均等的；游戲規(guī)則有效。

模型建立：兩骰子點數(shù)之和可為2到12之間的任何自然數(shù)，表1中給出了具體的情況。

表1 兩骰子點數(shù)之和

模型求解：玩家的期望收益為負(fù)，約為-0.83。

結(jié)果解釋：游戲?qū)ν婕沂遣还降?，如果?00次，玩家就會輸?shù)舸蠹s83元。

注意，教師在講解概率及期望的相關(guān)知識后，可講解該案例。教師需要說明期望的含義。另外，教師還可以對案例進行拓展，讓學(xué)生考慮，公平的游戲，玩一次的費用或者獎勵金額應(yīng)該如何調(diào)整。此外，還可以考慮中獎號碼為多個，獎勵金額不同的情況。

四、高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)建議

數(shù)學(xué)建模對高中生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的發(fā)展是至關(guān)重要的。然而，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升并非一朝一夕就可以實現(xiàn)，是循序漸進的。筆者建議教師在進行數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動時注意以下幾點：

(1)集中講解與分散滲透結(jié)合。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中建議“數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”必修課程課時6學(xué)時，選擇性必修課程課時4學(xué)時。如果對“數(shù)學(xué)建模”專題集中講解，學(xué)生雖然對建模會產(chǎn)生一定的強化認(rèn)識，但難免會忽略數(shù)學(xué)建模與其他主題相關(guān)知識的關(guān)聯(lián)。因此，筆者建議，在進行數(shù)學(xué)建模相關(guān)的教學(xué)活動時，既要有集中的時段進行專題講解，系統(tǒng)介紹數(shù)學(xué)建模的含義及步驟等相關(guān)知識，也要分散到各個教學(xué)主題中，在相關(guān)數(shù)學(xué)知識講解后介紹相應(yīng)的建模案例，在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

(2)合理選題。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)案例最好來自于學(xué)生的生活實際，是學(xué)生生活或?qū)W習(xí)中的現(xiàn)實問題，這樣的問題能有效調(diào)動學(xué)生的探索欲和求知欲。另外，案例不能過于復(fù)雜，是能夠解決的，涉及的數(shù)學(xué)知識應(yīng)是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握的內(nèi)容。如果案例過于復(fù)雜，學(xué)生無法接受，并不利于數(shù)學(xué)建模的開展。

(3)展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的全過程。數(shù)學(xué)建模與一般意義的應(yīng)用題是不一樣的，應(yīng)用題側(cè)重解決問題，而數(shù)學(xué)建模包括問題轉(zhuǎn)化及問題的解決等。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是系統(tǒng)的，包括提出問題、分析問題、解決問題等。教師要按照數(shù)學(xué)建模的大致步驟操作，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，詳盡展示生活實際是如何通過簡化抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的，并將模型求解的結(jié)果返回生活實際。對于一些案例，進行必要的檢驗、參數(shù)分析、改進和拓展遷移等。讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的全過程中提升素養(yǎng)。