三角恒等式在單位圓中的完美展現(xiàn)

摘 要：本文利用單位圓給出了三角函數(shù)中一系列三角恒等式的圖形證明. 三角函數(shù)本身是數(shù)與形的完美結合，建議教學中利用三角函數(shù)滲透數(shù)形結合思想的教育，同時用好課本設置的旁白、思考、探究等內容，去嘗試改變課堂教學方式和學生的學習方式.

關鍵詞：三角恒等式；探究；圖形證明；教學建議

單位圓是指平面直角坐標系中圓心為（0，0）、半徑為1的圓. 單位圓在高等數(shù)學中有著十分廣泛的應用. 初等數(shù)學教材在單位圓中定義了三角函數(shù)線，利用單位圓推出了同角三角函數(shù)關系，三角函數(shù)的誘導公式也是根據(jù)單位圓中角的終邊的對稱性導出的，將單位圓中的三角函數(shù)線平移就得到了三角函數(shù)的圖象等等，所以單位圓在三角函數(shù)中的作用不容忽視.

本文從課本一道例題出發(fā)，在單位圓中給出三角函數(shù)中一系列恒等式的圖形證明或揭示三角恒等式的幾何意義.

■引例

蘇教版必修4“同角三角函數(shù)關系” 例4為：求證：■=■.

教材設置了探究：

探究 圖1中隱藏了一個例4的“圖形證明”，你能發(fā)現(xiàn)嗎？

■

與教材配套的《高中數(shù)學教學參考》提供了如下的圖形證明：

P為單位圓周上除A，B外的任意一點，連結PA，PB，則PA⊥PB，設∠POB=α，過P作PM⊥AB于M，則

PM=sinα，OM=cosα，AM=1+cosα，BM=1-cosα.？搖？搖？搖？搖？搖

因為Rt△PMA∽Rt△BMP，所以■=■，即■=■.

對上述圖形作進一步的探究可以發(fā)現(xiàn)很多三角恒等式的圖形證明.

■探究

1. 正切半角公式的幾何意義

如圖2，Rt△PAB中，∠PAB=■， PA交y軸于N，則OA=1，ON=tan■.

■

因為Rt△AON∽Rt△AMP，

則■=■，即■=■，tan■=■.

又Rt△AON∽Rt△PMB，則■=■，即

■=■，tan■=■，

所以tan■=■=■，

即■，■為線段ON的長.

2. 正弦、余弦降冪公式的推導

如圖3，Rt△PAB中，∠PAB=■，PB=2sin■，PA=2cos■.

■

Rt△PAB中，PB2=AB·MB，

得2sin■■=2（1-cosα），即sin2■=■；

同理Rt△PAB中，PA2=AB·AM，得2cos■■=2（1+cosα），即cos2■=■.

3. 降冪公式的幾何意義

Rt△PAB中，∠PAB=■，如圖4，過O作OD⊥PA于D.

■

由OA=OP得D為PA中點，過D作DH⊥AB于H，則H為AM中點，過O作OE⊥PB于E.

由OP=OB得E為PB中點，過E作EG⊥AB于G.

Rt△PAB中，∠PAB=■，PB=2sin■，PA=2cos■，

所以OD=sin■，OE=DP=AD=cos■，

Rt△ODH中，OH=OD·sin■=sin2■，Rt△OEG中，OG=OE·cos■=cos2■.

顯然△ODH≌△BEG，OH=BG=■，即sin2■=■，

△OEG≌△ADH，OG=AH=■，即cos2■=■.

4. 二倍角公式的推導

由探究3知道OG-OH=OG-MG=OM=cosα，即cos2■-sin2■=cosα，

所以cos2α=cos2α-sin2α.

Rt△ODH中，DH=OD·cos■=sin■·cos■，

而DH=■PM，即sin■·cos■=■sinα，

也即sin2α=2sinα·cosα.

5. 兩角和的正弦公式的推導

如圖5，P，Q是以AB為直徑的單位圓上兩點，PM⊥AB于M，QN⊥AB于N，PQ交AB于D. 設∠POB=α，∠QOB=β，則PM=sinα，OM=cosα，QN=sinβ，ON=cosβ，

S△POQ=■sin（α+β），

S△PON=■sinα·cosβ，

S△OQM=■cosα·sinβ，

延長QN，過P作PE⊥QN，則PE=MN，

S△PNQ=■QN·PE，S△QMN=■QN·MN，

所以S△PNQ=S△QMN，所以S△PND=S△QMD，

所以S△PON+S△OQM=S△POQ，

即■sinαcosβ+■cosαsinβ=■sin（α+β），

sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）.

6. 兩角和的正弦、余弦公式的幾何意義

如圖6，P，Q在以AB為直徑的單位圓上，∠POB=α，∠QOB=β，作PM⊥OB于M，PN⊥OQ于N，

則PM=sinα，OM=cosα，PN=sin（α+β）.

■

圖6

過M作DM⊥OQ于D，過P作PE⊥DM于E，則∠PME=β.

Rt△PME中，ME=PM·cosβ=sinα·cosβ，

Rt△ODM中，DM=OM·sinβ=cosα·sinβ，而

PN=ME+DM，所以sin（α+β）=sinα·cosβ+cosαsinβ. 在圖6中，過M作MF⊥PN于F，∠MPF=β，

MF=sinαsinβ，OD=cosαcosβ，ON=cos（α+β），

而ON=OD-DN=OD-MF，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

■建議

1. 強化數(shù)形結合思想的滲透

數(shù)形結合是高中數(shù)學四種重要的思想方法之一. 各地的普通高考考試說明中都有：“……注重知識內在聯(lián)系的考查，注重對中學數(shù)學中蘊涵的數(shù)學思想方法的考查.” 這就要求高中數(shù)學教學必須重視思想方法的傳授，并且找準載體. 三角函數(shù)是由“比值”定義的，三角函數(shù)的本質是比值，所以三角函數(shù)本身就是數(shù)與形的完美結合，三角函數(shù)也就成為滲透數(shù)形結合思想的最理想的載體. 所以我們可以通過與三角函數(shù)知識相結合，在解題的具體操作過程中達到對數(shù)形結合思想方法的體會、領悟，提高運用數(shù)形結合的思想分析和解決問題的能力和自覺性.

2. 改變課堂教學的方式和學生學習的方式

新課程實施了很多年，課堂教學的面貌有所改變，但現(xiàn)在大部分的課堂教學還遠不能適應學生個性發(fā)展的需要. 教材編寫者通過設置旁白、思考、探究、閱讀、實習作業(yè)、鏈接等內容，試圖為教學方式和學習方式的改變提供課題. 例4的探究其實是一個很好的研究素材，通過探究可以幫助學生深化對三角函數(shù)知識的理解，讓學生建立代數(shù)和幾何之間的初步聯(lián)系. 本文的探究還為學生提供了富有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學習興趣，提高思維水平，鍛煉意志品質. 嘗試改變才可能有所改變. 建議在必修4的復習階段，布置分組探究，組織交流，也可以作為學生進行研究性學習的研究課題，分組、分階段實施，數(shù)學教師作為課題指導者參與其中.

以上探究其實還遠沒有結束，還可以探究其他三角公式的幾何證明及幾何意義. 另外，在“探究”中，課本默認了α∈0，■，那么如果α？埸0，■呢？探究5、6、7對圖形的依賴性很強，如果α，β的大小改變又會怎樣呢？