高中數(shù)學(xué)中基本不等式的最值問(wèn)題

摘 要：本文通過(guò)基本不等式的典型題目的教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)到如何在數(shù)學(xué)題目的千變?nèi)f化中，抓住數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)內(nèi)涵，以不變應(yīng)萬(wàn)變，靈活地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而更好地提高課堂效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān).

關(guān)鍵詞：基本不等式；最值；方法？搖

高三的復(fù)習(xí)課對(duì)課堂效率提出了更高的要求，老師需要對(duì)課堂進(jìn)行準(zhǔn)確的調(diào)控，對(duì)復(fù)習(xí)題進(jìn)行合理的安排，以更好地提高課堂教學(xué)效率，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān). 在課前的準(zhǔn)備中，題目的選取是其中關(guān)鍵的一步，而題目的選取又取決于題目難度的循序漸進(jìn)，既要考慮到學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的掌握程度，又要考慮到學(xué)生能否通過(guò)典型題目的練習(xí)與訓(xùn)練，達(dá)到溫故而知新的目的，加深學(xué)生對(duì)題目的理解程度，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，鍛煉學(xué)生思維的深度與廣度.

在教學(xué)基本不等式時(shí)，學(xué)生對(duì)于概念的掌握比較輕松，ab≤■（a>0，b>0），能夠總結(jié)三點(diǎn)要求，做到一正，即a>0，b>0；二定，即a+b能取到最小值時(shí)，ab為定值，或者ab能取到最大值時(shí)，a+b為定值；三相等，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立. 在熟練掌握了這三個(gè)條件后，要求學(xué)生能夠順利解決各類基本不等式的問(wèn)題. 但是，實(shí)際上，有些問(wèn)題在運(yùn)用基本不等式時(shí)，會(huì)有多種解題方法與思路，而有些解題方法看似簡(jiǎn)單，實(shí)則不具有解題的完備性和代表性，這里充分體現(xiàn)了基本不等式知識(shí)點(diǎn)的靈活性. 其中有一類基本不等式問(wèn)題，形式相似，但是卻遇到了適合各自的不同的解題方法，不妨看下面幾道題目.

例1 已知a>0，b>0，a+b-ab=0，求a+b的最小值.

解法一：由a+b-ab=0？圯a+b=ab. 因?yàn)閍+b≥2■，所以ab≥2■？圯ab≥4.所以a+b≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

解法二：由a+b-ab=0？圯■+■=1，則a+b=（a+b）■+■=1+■+■+1≥4. 當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即a=b時(shí)，等號(hào)成立.

解法三：由a+b-ab=0？圯a=■，則a+b=■+b=■=■=b-1+■+2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立.

解法一中，直接利用基本不等式，由已知條件出發(fā)，利用不等式的傳遞性，直接找到已知條件與求解之間的關(guān)系，學(xué)生比較容易想到，屬于解基本不等式中的基本方法. 解法二中，在運(yùn)用基本不等式時(shí)借助了“1”的代換，也是從已知條件出發(fā)，結(jié)合求解式子的特征，巧妙地運(yùn)用了基本不等式特殊的結(jié)構(gòu)，在這兒雖然“1”的代換的方法具有一定的技巧性，但是便于學(xué)生掌握和運(yùn)用，學(xué)生也樂(lè)于接受，另外一方面也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想. 解法三中，通過(guò)減元的思想，把二元轉(zhuǎn)化為一元，再利用基本不等式求解. 對(duì)于解法三，雖然學(xué)生比較好理解，但是，開(kāi)始的時(shí)候，學(xué)生卻不喜歡運(yùn)用這種方法，主要是因?yàn)榻忸}過(guò)程比較繁瑣，計(jì)算結(jié)果又容易出錯(cuò)，吃力還不一定討好. 所以，盡管學(xué)生能夠接受這樣的方法，但是很少有學(xué)生采納，在實(shí)際的解題過(guò)程中，真正運(yùn)用這種方法的學(xué)生很少，而在后面的解題過(guò)程中，學(xué)生就會(huì)體會(huì)到這種方法的重要性. 再看第二例.

例2 已知a>0，b>0，a+b-ab=0，求3a+2b的最小值.

這道題目的已知條件與第一題一樣，結(jié)論由原來(lái)的a+b改成了現(xiàn)在的3a+2b，這么微小的變化，會(huì)不會(huì)影響到解題的方法呢. 不妨用上面的三種解法依次解下去，看看解題過(guò)程中，發(fā)生了什么樣的變化.

解法一：由a+b-ab=0？圯ab≥4，而3a+2b≥2■≥4■.

解法二：由a+b-ab=0？圯■+■=1，

所以3a+2b=（3a+2b）■+■=3+■+■+2≥5+2■.

當(dāng)且僅當(dāng)2b2=3a2？圯b=■a時(shí)，等號(hào)成立.

解法三：由a+b-ab=0？圯a=■，則

3a+2b=■+2b=■=■=2（b-1）+■+5≥5+2■，當(dāng)且僅當(dāng)b=■+1時(shí)，等號(hào)成立.

通過(guò)觀察，上面三種解法，與例1的三種解法一模一樣，但是，這道題目的三種解法卻出現(xiàn)了不一致的結(jié)果——解法一與解法二、三的結(jié)果不一致. 很明顯，解法一出了問(wèn)題，問(wèn)題的關(guān)鍵是，解法一的問(wèn)題出在哪里是否有問(wèn)題？在此，筆者稍作停頓，留出時(shí)間給學(xué)生思考；然后，筆者讓學(xué)生四人一個(gè)小組進(jìn)行討論，盡量讓他們自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，這個(gè)地方要做到盡量讓學(xué)生自己找到問(wèn)題，在必要的時(shí)候做出適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，提醒學(xué)生從基本不等式成立的條件出發(fā). 學(xué)生的反應(yīng)還算比較快，通過(guò)學(xué)生的思考與討論，有的小組已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，稍做整理后，小組代表站起來(lái)發(fā)言：因?yàn)樵谶\(yùn)用基本不等式解決問(wèn)題時(shí)，需要做到“一正二定三相等”，解法一實(shí)際上用了兩次基本不等式，兩次中雖然都具備了“一正”，但“二定”與“三相等”不能夠保持一致. 第一次由已知條件推出結(jié)論的基本不等式等號(hào)成立的條件是a=b，而第二次由求解推出的基本不等式等號(hào)成立的條件是3a=2b，前后出現(xiàn)矛盾，所以結(jié)果是錯(cuò)誤的，此方法不對(duì). 可見(jiàn)，在運(yùn)用基本不等式時(shí)，它的三個(gè)限制條件是很重要的，從這道例題，學(xué)生體會(huì)到了條件三的重要性. 基本不等式并不是想象中的那么簡(jiǎn)單，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)量相等的時(shí)候，不等式才能成立，從例2很明顯可以看出來(lái)，解法一看似簡(jiǎn)單，實(shí)則容易出現(xiàn)混亂，簡(jiǎn)單的問(wèn)題里面所蘊(yùn)含的東西其實(shí)不簡(jiǎn)單. 就在筆者準(zhǔn)備拿出第三個(gè)例題時(shí)，這時(shí)又有位同學(xué)站起來(lái)說(shuō)：我這兒還有個(gè)方法，我們小組內(nèi)一致認(rèn)為方法是對(duì)的. 他把解題過(guò)程寫到黑板上，書寫如下：

a+b-ab=0？圯a+b=ab，a+b≥2■？圯ab≥2■？圯ab≥4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立），因?yàn)閍>0，b>0此時(shí)a=2，b=2，所以3a+2b的最小值為10.

開(kāi)始的時(shí)候，大家覺(jué)得很有道理，剛才不是說(shuō)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，基本不等式能夠成立嗎，現(xiàn)在不就是只有一次相等的條件嗎？實(shí)際上，大家不難發(fā)現(xiàn)，在這位學(xué)生的解題過(guò)程中，實(shí)際是在求a+b的最小值，而題目要求的是3a+2b的最小值，所以此方法是不對(duì)的. 如果按照剛才這位學(xué)生的說(shuō)法，題目應(yīng)該改寫如下：已知a>0，b>0，a+b-ab=0，求a+b取得最小值時(shí)3a+2b的值. 所以這位學(xué)生的解法可以說(shuō)是偷換了概念. 就在筆者剛剛解釋完時(shí)，又有一個(gè)小組提出新的解法：因?yàn)?a+2b≥2■，當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b時(shí)，等號(hào)成立，而a+b-ab=0，可與3a=2b組成方程組，解出a與b的值了. 再代入2■，則3a+2b的最小值也就解出來(lái)了. 雖然結(jié)果與上面的正確答案不符，但是，看著這樣一個(gè)很完備的解題過(guò)程，大家一時(shí)找不到推翻他的理由，當(dāng)這位學(xué)生寫完后，大家又開(kāi)始激烈地討論起來(lái)，很快，有的小組發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，有了結(jié)果：“一正”有了，可是“二定”不滿足，在用基本不等式時(shí)，ab的值不是定值，所以此方法不行，如果要這樣解題，題目就要改成：當(dāng)ab=3時(shí)，求3a+2b的最小值. 而原題中的解法二和解法三的乘積都是定值，這樣看來(lái)，通過(guò)大家的實(shí)踐與討論，大家對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)已經(jīng)越來(lái)越深刻. 在用解法一解決第一個(gè)例題時(shí)，很簡(jiǎn)單，學(xué)生也容易接受，但是，在用同樣的解法解決第二個(gè)例題時(shí)，卻出現(xiàn)了錯(cuò)誤，通過(guò)這樣的對(duì)比，學(xué)生能夠?qū)静坏仁接懈忧逦恼J(rèn)識(shí). 可見(jiàn)，在解決不等式的問(wèn)題時(shí)，不僅僅要注意解題的方法，更要注意解題的方法的多樣性. 再看第三例：

例3 已知a>0，b>0，a+b+ab=1，求a+b的最小值.

解法一：由a>0，b>0，a+b+ab=1，可得ab=1-（a+b）；又由a+b≥2■可得ab≤■，即1-（a+b）≤■，解一元二次不等式，可得a+b≥2■-2.

或者：由a>0，b>0，a+b+ab=1，a+ab+b+1=2？圯a（b+1）+（b+1）=2？圯（b+1）（a+1）=2，

由a+1+b+1≥2■可得a+b≥2■-2.

解法二：■+■+1=■？圯■+■-■=-1？圯a+b=（a+b）-■-■+■=-1-■+■-■-1+■，能夠看出來(lái)，解法二在這里不能解決問(wèn)題了.

解法三：a+b+ab=1？圯a=■，可得a+b=■+b=■+b+1-2≥2■-2，當(dāng)且僅當(dāng)b=■-1時(shí)等號(hào)成立.

例4 已知a>0，b>0，a+b+ab=1，求3a+2b的最小值.

如果還用上面的解法一，肯定不行. 再來(lái)模仿上面的解法二，兩邊同時(shí)除以ab得到■+■+1=■？圯■+■-■=-1，則3a+2b=（3a+2b）-■-■+■=-3-■+■-■-2+■.

很明顯，利用基本不等式已經(jīng)不可以繼續(xù)解決問(wèn)題了. 看來(lái)，在這里解法二也行不通，

那么，解法三如何呢，不妨試一試：由a+b+ab=1？圯a=■，代入3a+2b=■+2b=■=■=2（b+1）+■-5≥4■-5，當(dāng)且僅當(dāng)b=■-1時(shí)等號(hào)成立.

第一道例題可以運(yùn)用三種方法；第二道例題僅僅是結(jié)論發(fā)生了變化，解題方法就已經(jīng)受到了限制，只能用解法二和解法三解決；第三道例題的fc3958be13bdd08f7078b822fde599ab8eed4bc490b56e91b64fbfd87c5ca0ac結(jié)論與第一道例題一樣，僅僅是條件的0改成了1，就只能運(yùn)用解法一和解法三了；第四道例題的要求更高，只能運(yùn)用解法三了. 如果僅僅從形式上來(lái)看，這四道題目如果不仔細(xì)觀察，很難看出他們的區(qū)別，但是，解題方法卻發(fā)生了很大的變化. 仔細(xì)推敲解題過(guò)程當(dāng)中發(fā)生的變化，不難發(fā)現(xiàn)在運(yùn)用解法一時(shí)，受到基本不等式的條件的限制比較大，特別是對(duì)結(jié)論的形式要求比較高，所以不能夠適用于后面的其他題目；解法二對(duì)于題目條件的要求比較高，而且解法二具有一定的技巧性，不具有解題的代表性；而解法三，對(duì)于上面的四道例題全部適用，顯示出了解題的通法通解. 可以看出來(lái)，在基本不等式里，運(yùn)用減元的思想，具有解題的普遍性. 這四道題目，通過(guò)仔細(xì)推敲他們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)雖然題目的形式結(jié)構(gòu)類似，但解題的方法要求卻越來(lái)越高，有同學(xué)只掌握了解法一，但在用這個(gè)方法解第二與第三題時(shí)，遇到困難；同樣，有同學(xué)只掌握了解法二，但在用它解決第三題時(shí)，也遇到了困難，體現(xiàn)了思維的單一性. 總之，無(wú)論哪一種方法，都各有它的優(yōu)勢(shì)，可見(jiàn)，平時(shí)在練習(xí)題目時(shí)，不僅要重視解題方法的簡(jiǎn)潔化，更要重視解題方法的多樣性和靈活性；不僅要重視思維的廣度，更要重視思維的深度. 這樣，學(xué)生在遇到不同類型的題目時(shí)，才能靈活地采取不同的策略，優(yōu)化解題的思路，提煉思維靈活度，達(dá)到快速解題的目的. 當(dāng)然，數(shù)學(xué)題目是千變?nèi)f化的，要能夠在變化中找到解題的一般規(guī)律，就要在平時(shí)的解題中多觀察，多發(fā)現(xiàn)，多思考，多比較，才能夠練出解題的火眼精心.