整體觀特點 靈活解方程

王亞

一元一次方程的解法既是小學學習一元一次方程的延伸，也是初中階段將要學習的二元一次方程（組）、不等式（組）、分式方程和一元二次方程的基礎(chǔ)。能夠熟練地解一元一次方程是一個基本的運算能力。解一元一次方程的一般步驟有：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1。解答時，我們需要整體觀察所給方程的特點，應(yīng)用恰當?shù)姆椒?，靈活求得方程的解。

例1 解方程：[14]x-2=[12]。

【解析】不難發(fā)現(xiàn)，方程的左右兩邊只有一項含有未知數(shù)，我們可以直接通過移項，再合并同類項、系數(shù)化為1，求得該方程的解。我們還發(fā)現(xiàn)，含有分數(shù)的項有兩項，因此，我們也可以依據(jù)等式的基本性質(zhì)先將分數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，再求解。

解法一：移項，得[14]x=[12]+2。

合并同類項，得[14]x=[52]。

系數(shù)化為1，得x=10。

解法二：去分母，得x-8=2。

移項，得x=2+8。

合并同類項，得x=10。

例2 解方程：4-3（x+1）=2（x-3）。

【解析】該方程中含有括號，應(yīng)先去括號，然后求解。根據(jù)乘法分配律，去括號時，注意括號前面如果是負號，括號里各項都變號，另外，去括號時不要漏乘。

解：去括號，得4-3x-3=2x-6。

移項，得-3x-2x=-6-4+3。

合并同類項，得-5x=-7。

系數(shù)化為1，得x=[75]。

例3 解方程：[x-32][-2x+13]=1。

【解析】我們可以先去分母，再去括號。去分母時，方程的兩邊都乘分母的最小公倍數(shù)。去分母的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，因此，去分母時，不能漏乘常數(shù)項。有些同學常常會漏乘其中的常數(shù)項而導(dǎo)致錯誤。

解：去分母，得3（x-3）-2（2x+1）=6。

去括號，得3x-9-4x-2=6。

移項，得3x-4x=6+9+2。

合并同類項，得-x=17。

系數(shù)化為1，得x=-17。

例4 解方程：[x0.2]-1=[2x-0.80.3]。

【解析】觀察所給方程的整體特點，發(fā)現(xiàn)分母含有小數(shù)，因此，可以先根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，再通過去分母進行求解；還可以直接根據(jù)等式的基本性質(zhì)，在等式的兩邊同時乘一個恰當?shù)臄?shù)，如0.6、6，等等。

解法一：整理，得[10x2]-1=[20x-83]。

去分母，得30x-6=40x-16。

移項，得30x-40x=-16+6。

合并同類項，得-10x=-10。

系數(shù)化為1，得x=1。

解法二：去分母，得[x0.2]×6-1×6=[2x-0.80.3]

×6，即30x-6=40x-16。

移項，得30x-40x=-16+6。

合并同類項，得-10x=-10。

系數(shù)化為1，得x=1。

上面兩種解法的第一步的依據(jù)分別是分數(shù)的基本性質(zhì)、等式的基本性質(zhì)，同學們在解方程時可以靈活運用。如果分數(shù)中含有小數(shù)，將小數(shù)化為整數(shù)，這一方法不同于去分母，是含有小數(shù)的項的分子、分母根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)乘一個適當?shù)臄?shù)，而不是方程所有的項都乘這個數(shù)。

例5 解方程：[19]｛[17]［[15]（[x+23]+4）+6］+8｝=1。

【解析】方程中有多層括號，可先去小括號、再去中括號、最后去大括號。但若各分母的最小公倍數(shù)較大，按常規(guī)方法去分母或去括號比較復(fù)雜，可另辟蹊徑，采用從大到小逐層去括號的方法。每去一層括號后，能合并同類項的一定要合并，這樣可使運算過程簡便。

解：方程兩邊同乘9，得[17]［[15]（[x+23]+4）+6］+8=9。

移項，合并同類項，得[17]［[15]（[x+23]+4）+6］=1。

方程兩邊同乘7，得[15]（[x+23]+4）+6=7。

移項，合并同類項，得[15]（[x+23]+4）=1。

方程兩邊同乘5，得[x+23]+4=5。

移項，合并同類項，得[x+23]=1。

方程兩邊同乘3，得x+2=3。

移項，合并同類項，得x=1。

例6 解方程：3[2x-1]=6。

【解析】這是一個含有絕對值的方程，解答時，需要將方程先化為[x]=a的形式，然后再根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值。

解：兩邊同時除以3，得[2x-1]=2。

根據(jù)絕對值的意義，得2x-1=±2。

當2x-1=2時，x=[32]；

當2x-1=-2時，x=[-12]。

所以，方程有兩個解：x1=[32]，x2=[-12]。

解形如[ax+b]=c的方程時，可將絕對值里面的式子看作一個整體，去掉絕對值后，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程進行求解。

（作者單位：江蘇省建湖縣匯文初級中學）