高考函數(shù)零點問題解題策略透視
——從一道課本“函數(shù)零點”題談起

安徽省太湖中學(xué)(246400) 李昭平

1 引例與解析

題目(新人教A 版選擇性必修第二冊第104 頁第19 題)設(shè)a ∈R,函數(shù)f(x)=ae2x+(a ?2)ex ?x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

分析本題是一道章節(jié)復(fù)習(xí)題,是指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的復(fù)合型函數(shù),綜合考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點、圖象等問題中的應(yīng)用,很好體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結(jié)合、極限思想、特殊化思想、方程思想、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.第(1)問是常見類型,通過討論參數(shù)a,確定導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號,得到單調(diào)性.第(2)問則是含參數(shù)的函數(shù)f(x)的零點問題,有多種解題思路.通過探究得到下述兩種解答.

解答(1)當(dāng)a≤0 時,f(x)在R 內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)a >0時,f(x)在(?∞,?lna)內(nèi)單調(diào)遞減,在(?lna,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.解答過程略去.以下討論第(2)問的解答.

解法1(圖象法)f′(x)=2ae2x+(a ?2)ex ?1=(aex ?1)(2ex+1)=0.當(dāng)a≤0 時,f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,最多一個零點,不合題意,舍去.當(dāng)a>0 時,由f′(x)=0得到aex ?1=0,x=?lna.f(?lna) 是極小值,必須f(?lna)<0,即lna ?

當(dāng)x >0 時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,且g(x)>0.當(dāng)x <0 時,g′(x)>0,g(x) 單調(diào)遞增,且g(?1)<0.g(0)=1 是其極大值,也是最大值.如圖1 可知,當(dāng)0

圖1

點評這種解法,先由f(x)=0 參變分離得到關(guān)鍵要畫出新函數(shù)g(x) 的圖象草圖,難點在于對g′(x)的分子進行因式分解,找g′(x)的零點和判斷g′(x)的符號,需要較高的運算和變形技巧.

2 結(jié)論及其應(yīng)用

對于含參數(shù)的函數(shù)零點問題,一般有以下策略,其中的φ(x)可以是函數(shù)f(x)或f′(x)或f′′(x)等等.

策略1(圖象法)研究函數(shù)φ(x)的零點,先利用導(dǎo)數(shù)研究其大致圖象,再看圖象與橫軸的交點情況,數(shù)形結(jié)合處理問題.

策略2(參變分離?構(gòu)造函數(shù)法)研究函數(shù)φ(x)的零點,先將φ(x)=0 變?yōu)閍=g(x),其中a為參數(shù),再看曲線y=g(x)和直線y=a的交點情況,數(shù)形結(jié)合處理問題.

策略3(一分為二?構(gòu)造函數(shù)?圖象交點法)研究函數(shù)φ(x) 的零點,設(shè)φ(x)=g(x)?h(x) 將φ(x)=0“一分為二”變成g(x)=h(x)再看曲線y=g(x)和曲線y=h(x)的交點情況,數(shù)形結(jié)合處理問題.

顯然,上題是利用策略1 和策略2.根據(jù)本題的結(jié)構(gòu)特征,利用策略3(一分為二?構(gòu)造函數(shù)?圖象交點法)比較困難.這給我們的啟示是,解題中往往按照上述三種路徑去思考,但要選擇最優(yōu)化的思路,快速順利實現(xiàn)解題目標.

2.1 應(yīng)用于函數(shù)f(x)的零點問題

當(dāng)a≥0 時,兩函數(shù)的圖象在x ∈[1,e]上只有一個公共點,不合題意.當(dāng)a <0 時,如圖2,直線h(x)=?a(x?1)極限位置是曲線g(x)=xlnx在點(1,0)處的切線y=x ?1.因此?a >1,且g(e) ≥h(e),解得≤a

圖2

點評本題考查f(x)的零點,利用策略3,“一分為二”成兩個函數(shù)g(x)=xlnx(定曲線)和h(x)=?a(x ?1)(動直線),則問題立即轉(zhuǎn)化為定曲線與動直線的位置關(guān)系.數(shù)形結(jié)合、動靜變化、極限位置,注意對參數(shù)a的分類討論和不等式g(e)≥h(e)中等號能取到.

點評本題以冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的復(fù)合形式為載體,考查零點的存在性問題,利用策略1 先確定極值和大致圖象,融函數(shù)的單調(diào)性、分類討論、數(shù)形結(jié)合、放縮等知識于一體,有一定的難度.在“找點”中,運用了不等式ex >x2(x >0)進行放縮.

2.2 應(yīng)用于函數(shù)f′(x)的零點問題

例3 (2022 年皖江聯(lián)盟聯(lián)考題) 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe?x,a ∈R.

(1) 若 曲 線y=f(x) 在點(0,f(0)) 處的切線方程是y=2x,求a的值;

(2)若f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)恰有兩個零點,求a的取值范圍.

圖3

解 析(1) 因 為f′(x)=+a(1?x)e?x,所 以f′(0)=1 +a.因為曲線y=f(x) 在點(0,f(0)) 處的切線方程是y=2x,所以f′(0)=2.于是1 +a=2,故a=1.以下考慮(2)的解答.

點評本道聯(lián)考題實際上是2022 年全國高考數(shù)學(xué)乙卷第21 題的改編,將原高考題中的條件“f(x)恰有兩個零點”變?yōu)椤皩?dǎo)函數(shù)f′(x)恰有兩個零點”,思路和解法跟高考題類似,但運算量明顯增大,屬于較難題.解法1 是利用策略3,解法2 是利用策略2,都不易.

將例3 的函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe?x中的參數(shù)a變換位置為f(x)=aln(1+x)+xe?x,類比引申則得到:

變式題已知函數(shù)f(x)=aln(1+x)+xe?x,a ∈R.

(1) 若曲線y=f(x) 在點(0,f(0)) 處的切線方程是y=2x,求a的值;

(2)若f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)恰有兩個零點,求a的取值范圍.

解析(1) 因為f′(x)=+(1?x)e?x,所以f′(0)=1+a.因為曲線y=f(x) 在點(0,f(0)) 處的切線方程是y=2x,所以f′(0)=2.于是1+a=2,故a=1.

圖4

圖5

2.3 應(yīng)用于函數(shù)f′′(x)的零點問題

例4(2022 年江西南昌市模考題) 已知函數(shù)f(x)=ex+acosx,其中x>0,a ∈R.

(1)當(dāng)a=?1 時,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(0,π)內(nèi)有且僅有一個極值點,求a的取值范圍.

解析(1)易得函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,過程略去.

圖6

以上我們從一道課本題出發(fā),通過分析、解答,歸納出解函數(shù)零點問題的三種策略.再通過三種運用,強化對策略的認識與理解.在整個過程中,融觀察分析、直覺邏輯、提煉概括、運用升華于一體.這給我們的啟示是: 對一道好的課本題進行多方向、多側(cè)面、多角度研究,應(yīng)用到課堂上,必能收獲豐盈.