應(yīng)用數(shù)學(xué)期望計算概率

合肥市第七中學(xué)(230001) 李毅然

通常情況下,我們會通過隨機(jī)變量的分布列計算隨機(jī)變量的期望,實際上,我們也可以反過來利用數(shù)學(xué)期望計算概率.

問題甲箱的產(chǎn)品中有5 個正品和3 個次品,乙箱的產(chǎn)品中有4 個正品和3 個次品.

(1)從甲箱中任取2 個產(chǎn)品,求這2 個產(chǎn)品都是次品的概率;

(2)若從甲箱中任取2 個產(chǎn)品放入乙箱中,然后再從乙箱中任取1 個產(chǎn)品,求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率.

參考答案解法:

(1)P{2 個產(chǎn)品都是次品}=

(2)設(shè)事件A為“從乙箱中取一個正品”,事件B1為“從甲箱中取出2 個產(chǎn)品都是正品”,事件B2為“從甲箱中取出1 個正品,1 個次品”,事件B3為“從甲箱中取出2 個產(chǎn)品都是次品”.事件B1,事件B2,事件B3是樣本空間? 的一個分割.

對于本題的第二小問可以有更一般、更簡潔的做法,我們先證明如下引理.

引理袋中裝有N只球,其中白球數(shù)為隨機(jī)變量,其數(shù)學(xué)期望為n(n是實數(shù)),則從該袋中摸一球得到白球的概率為

這個引理告訴我們可以利用數(shù)學(xué)期望來計算一些概率問題,實際上利用該引理及遞推公式可以解決一些很復(fù)雜的古典概型概率計算問題.

對于開頭的問題的第二小問,我們可以有如下解法.

解設(shè)從甲箱中取出的正品數(shù)為X,乙箱的正品數(shù)為Y,則顯然有Y=X+4.易知X服從超幾何分布,

例1甲袋中有a只白球,b只黑球.乙袋中有α只白球,β只黑球.現(xiàn)在從甲袋中隨機(jī)摸出c(c≤a+b)只球放入乙袋中,求從乙袋中再摸一球為白球的概率.

解記X為從甲袋中所摸c只球中的白球數(shù),則X服從超幾何分布,且E(X)=.此時乙袋中共有α+β+c只球,其中白球數(shù)α+X是一個隨機(jī)變量.由引理可得

例1 是前述問題的推廣.

例2甲袋中有a只白球b只黑球,乙袋中有c只白球d只黑球.從兩袋中各摸出一球,并交換放入另一袋中,這樣做了n次之后,再從甲袋中摸出一球,求這球是白球的概率.

解設(shè)Xi,Yi分別表示交換i次后甲、乙兩袋中的白球數(shù),顯然有Xi+Yi=a+c.用ξi,ηi分別表示第i次的交換情況

利用例2 可以很容易解決2020 年江蘇高考理科卷的最后一題.

例3(2020 年高考江蘇理科卷)甲口袋中裝有2 個黑球和1 個白球,乙口袋中裝有3 個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復(fù)n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn,恰有2 個黑球的概率為pn,恰有1 個黑球的概率為qn.

(1)求p1,q1和p2,q2.

(2)求2pn+qn與2pn?1+qn?1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示).

很多時候我們總是利用隨機(jī)變量的分布列來求它的期望,現(xiàn)在從前面的例子可以看出有時也可以反過來利用期望來求一些概率.